微積分/尤拉方法

尤拉方法是一種基於函式的一階導數值來估計函式值的方法。

求解 $y(x)$ 的通用演算法是

$y_{n+1}=y_{n}+\Delta x_{\rm {step}}\cdot f(x_{n},y_{n}),$

其中 f 是 $y'(x)$ 。換句話說，新的值 $y_{n+1}$ 是舊值 $y_{n}$ 與步長 $\Delta x_{\rm {step}}$ 乘以變化 $f(x_{n},y_{n})$ 的和。

可以將該演算法想象成一個拿著地圖旅行的人：現在我站在這裡，根據周圍的環境，我朝那個方向走 1 公里。然後，我再次檢視地圖，確定我的方向，並再次朝那個方向走 1 公里。我重複這個過程，直到完成我的旅行。

尤拉方法主要用於求解以下形式的微分方程

$y'=f(x,y),y(x_{0})=y_{0}$

示例

一個簡單的例子是求解方程

$y'=x+y,y(0)=1.$

這將得到 $f=y'=x+y$ ，因此，更新規則為

$y_{n+1}=y_{n}+0.1(x_{n}+y_{n})$

這裡使用步長 $\Delta x_{\rm {step}}=0.1$ 。

跟蹤演算法生成的連續值的最佳方法是繪製一個表格，其中包含以下列：$n,x_{n},y_{n},y_{n+1}$ 。

以上方程式可以是例如人口模型，其中 y 是人口規模，x 是時間。