微積分/雙曲對數和角度

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在尤拉的預備微積分之後，對數導數的答案出乎意料，但當提供關於雙曲線求積的資訊時，答案卻如預期的那樣。類似地，當變數的倒數被積分，並且只提供尤拉的預備微積分時，積分的答案似乎是偶然的。瞭解到雙曲對數是求積，答案就可以從對數的定義中立即得出。

雙曲扇形和凹梯形

標準位置雙曲扇形有一條邊穿過 (1,1)，另一條邊穿過 (t, 1/t)，其中 t > 1。

考慮三角形 T = {(0,0), (1,0), (1,1)} 和 S = {(0,0), (t,0), (t,1/t)}。那麼面積 T = 面積 S = 1/2。對於 t > 1，透過新增 S 並減去 T 可以從雙曲扇形得到凹梯形。

對於 0 < t < 1，透過新增 T 並減去 S 可以從雙曲扇形得到凹梯形。凹梯形的面積在每種情況下都等於雙曲扇形的面積，因為新增的面積與減去的面積相同。

對於正實數 p，平面上的雙曲旋轉將 (x,y) 對映到 (px, y/p)。對於任何常數 c，雙曲線 xy = c 在雙曲旋轉下被對映到自身，類似於圓形圓盤的邊緣如何被圓形旋轉移動或置換。但是圓形旋轉保留了點之間的距離；雙曲旋轉保留了面積。

圓形角在 (-π, π) 範圍內包括第三和第四象限的負角。假設 x 軸下方的面積被認為是負的，而上面的面積是正的。那麼，以半徑為 √2 的圓的圓形扇形，其圓心在 x 軸上，就能給出該範圍內任何角的大小，通常用指向軸右側的零角來表示。

直線 y = x 被用來將平面分成正半平面和負半平面，用於有向雙曲角的定義。如果 x > y，則點 (x, y) 位於正半平面。雙曲角首先在第一象限定義，零角由 (1,1) 設定，角度的範圍由雙曲線 y = 1/x 描述。

標準位置的雙曲角有一條邊穿過 (1,1)，另一條邊穿過 (p, 1/p)，其中 p 是一個正實數。當 p > 1 時，角度的大小為正，而 0<p<1 給出一個負角，因為大小由扇形面積給出，在 y = x 上側取為負值。

與 (p, 1/p) 對應的標準位置的雙曲角，其面積稱為 log p。因此，相應的凹梯形的面積也是 log p。

對於正實數中的任意區間 [a, b]，存在與 (a, 1/a) 和 (b, 1/b) 對應的標準位置的雙曲角。從第二個角中減去第一個角，得到一個雙曲角，該角對應於區間上的凹梯形，並且具有面積 log b – log a。

此外，p = 1/a 產生一個雙曲旋轉，將雙曲角移動到標準位置，其一邊位於 (b/a, a/b)。這個旋轉後的角度的面積是 log (b/a)，並且由於雙曲旋轉保留了面積，所以雙曲對數具有性質 log b – log a = log (b/a)。

雙曲對數和雙曲旋轉是由格雷瓜爾·德·聖-文森特在 1647 年描述的。透過利用數字 p = e = 2.71828... 萊昂哈德·尤拉在 1748 年透過呼叫指數函式 e^x 的逆函式繞過了雙曲對數。在尤拉之後，這個函式被稱為“自然對數”。

雙曲角在運動學中的應用將在本華夏公益教科書的後面章節中描述：雙曲角。