微積分/不定積分

定義

現在回想一下 $F$ 被稱為 *f* 的反導數，如果 $F'(x)=f(x)$ 。但是， $F$ 不是唯一的反導數。我們可以在 $F$ 上新增任何常數都不會改變導數。有了這個，我們定義 **不定積分** 如下

$\int f(x)dx=F(x)+C$ 其中 $F$ 滿足 $F'(x)=f(x)$ 並且 $C$ 是任何常數。

函式 $f(x)$ ，被積分的函式，被稱為 **被積函式** 。注意不定積分產生的是一個 *函式族*。

示例

由於 $x^{4}$ 的導數是 $4x^{3}$ ，$4x^{3}$ 的一般反導數是 $x^{4}$ 加上一個常數。因此，

$\int 4x^{3}dx=x^{4}+C$

示例：查詢反導數

讓我們看看 $6x^{2}$ 。我們如何找到這個函式的積分？回憶一下微積分中的規則，即

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

在我們的情況下，我們有

${\frac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}$

這是一個開始！我們現在知道我們正在尋找的函式將包含一個 3 次方。我們如何得到常數 6？嗯，

$2{\frac {d}{dx}}x^{3}=2\times 3x^{2}=6x^{2}$

因此，我們說 $2x^{3}$ 是 $6x^{2}$ 的一個反導數。

練習

1. 評估 $\int {\frac {3x}{2}}dx$

2. 求函式 $f(x)=2x^{4}$ 的一般反導數。

不定積分恆等式

不定積分的基本性質

不定積分的常數規則
如果 $c$ 是一個常數，那麼 $\int c\cdot f(x)dx=c\int f(x)dx$

不定積分的和/差規則

$\int {\Big (}f(x)+g(x){\Big )}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

$\int {\Big (}f(x)-g(x){\Big )}dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$

多項式的不定積分

假設我們給定一個形如 $f(x)=x^{n}$ 的函式，並希望確定 $f$ 的反導數。考慮到

${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{n+1}}x^{n+1}=x^{n}$

我們有以下不定積分規則

不定積分的冪規則 $\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$ 對於所有 $n\neq -1$

反函式的積分

要積分 $f(x)={\frac {1}{x}}$ ，我們應該首先記住

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$

因此，由於 ${\frac {1}{x}}$ 是 $\ln(x)$ 的導數，我們可以得出結論

$\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C$

注意，當指數為 $-1$ 時，多項式積分規則不適用。必須使用這種積分方法。由於自然對數函式的自變數必須為正（在實數線上），所以在其自變數周圍新增絕對值符號以確保自變數為正。

指數函式的積分

由於

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

我們看到 $e^{x}$ 是它自己的反導數。這使得我們可以找到指數函式的積分

$\int e^{x}dx=e^{x}+C$

正弦和餘弦的積分

回顧一下

${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$

${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)$

因此 $\sin(x)$ 是 $\cos(x)$ 的反導數，而 $-\cos(x)$ 是 $\sin(x)$ 的反導數。因此，我們得到以下關於對 $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 進行積分的規則：

$\int \cos(x)dx=\sin(x)+C$
$\int \sin(x)dx=-\cos(x)+C$

在關於 積分技巧 的章節中，我們將學習如何對更復雜的三角函式進行積分。

示例

假設我們要對函式 $f(x)=x^{4}+1+2\sin(x)$ 進行積分。上面提到的求和法則允許我們使用冪法則和我們關於對 $\sin(x)$ 進行積分的規則，如下所示：

$\int f(x)dx$	$=\int {\Big (}x^{4}+1+2\sin(x){\Big )}dx$
	$=\int x^{4}dx+\int 1\,dx+\int 2\sin(x)dx$
	$={\frac {x^{5}}{5}}+x-2\cos(x)+C$ .

練習

3. 計算 $\int (7x^{2}+3\cos(x)-e^{x})dx$

4. 計算 $\int {\Big (}{\tfrac {2}{5x}}+\sin(x){\Big )}dx$

換元法

換元法是任何積分大師工具箱中的寶貴財富。它本質上是鏈式法則（你應該熟悉的微分技術）的反向。首先，讓我們來看一個例子

初步例子

假設我們要找到 $\int x\cos(x^{2})dx$ . 也就是說，我們要找到一個函式，它的導數等於 $x\cos(x^{2})$ . 換句話說，我們要找到 $f(x)=x\cos(x^{2})$ 的一個反導數。由於 $\sin(x)$ 的導數為 $\cos(x)$ ，作為第一個猜測，我們可能會嘗試函式 $\sin(x^{2})$ 。但根據鏈式法則，

${\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot {\frac {d}{dx}}x^{2}=\cos(x^{2})\cdot 2x=2x\cos(x^{2})$

這幾乎是我們想要的，除了前面有一個額外的因子 2。但這是很容易處理的，因為我們可以除以一個常數（在本例中為 2）。所以，

${\frac {d}{dx}}{\frac {\sin(x^{2})}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})={\frac {1}{2}}\cdot 2\cos(x^{2})x=x\cos(x^{2})=f(x)$

因此，我們發現了一個函式 $F(x)={\frac {\sin(x^{2})}{2}}$，它的導數是 $x\cos(x^{2})$。也就是說，$F$ 是 $f(x)=x\cos(x^{2})$ 的一個原函式。這給了我們

$\int x\cos(x^{2})dx={\frac {\sin(x^{2})}{2}}+C$

推廣

事實上，這種方法適用於更一般的被積函式。假設 $u$ 是一個可微函式。那麼為了計算 $\int u'(x)\cos {\bigl (}u(x){\bigr )}dx$，我們只需要注意到根據鏈式法則

${\frac {d}{dx}}\sin {\bigl (}u(x){\bigr )}=\cos {\bigl (}u(x){\bigr )}{\frac {du}{dx}}=u'(x)\cos {\bigl (}u(x){\bigr )}$

只要 $u'$ 是連續的，我們有

$\int \cos {\bigl (}u(x){\bigr )}u'(x)dx=\sin {\bigl (}u(x){\bigr )}+C$

現在，這個等式的右邊只是 $\cos(u)$ 的積分，但關於 $u$ 。如果我們將 $u$ 寫成 $u(x)$ ，它就變成了 $\int \cos(u(x))u'(x)dx=\sin(u)+C=\int \cos(u)du$

例如，如果 $u(x)=x^{3}$ ，我們已經計算出

$\int {\bigl (}\cos(x^{3})\cdot 3x^{2}{\bigr )}dx=\sin(x^{3})+C$

一般替換規則

以上討論中，使用餘弦函式並沒有什麼特別之處，可以將其替換為任何其他函式。這樣做就得到了不定積分的替換規則

不定積分的替換規則
假設 $u$ 可微且導數連續，並且 $f$ 在 $u$ 的取值範圍內是連續的。那麼 $\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}{\frac {du}{dx}}dx=\int f(u)du$

注意，看起來你可以在表示式 ${\frac {du}{dx}}dx$ 中“抵消”，只剩下一個 $du$ 。這其實沒什麼意義，因為 ${\frac {du}{dx}}$ **不是一個分數**。但它是一個記住替換規則的好方法。

示例

下面的示例展示了替換技術是多麼強大。乍一看，下面的積分似乎無法解決，但是經過一些簡化，可以使用替換來解決。

示例

我們將證明

$\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2}){\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}={\frac {x}{a^{2}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+C$

首先，我們將積分重新寫成

$\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2}){\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}$	$=\int (x^{2}+a^{2})^{-{\frac {3}{2}}}dx$
	$=\int \left(x^{2}\left(1+{\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\right)\right)^{-{\frac {3}{2}}}dx$
	$=\int x^{-3}\left(1+{\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}dx$
	$=\int \left(1+{\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\left(x^{-3}dx\right)$

現在我們進行以下替換

$u=1+{\frac {a^{2}}{x^{2}}}$

${\frac {du}{dx}}=-2a^{2}x^{-3}\ \implies \ x^{-3}dx=-{\frac {du}{2a^{2}}}$

這產生了

$\int \left(1+{\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\left(x^{-3}dx\right)=$

$=\int u^{-{\frac {3}{2}}}\left(-{\frac {du}{2a^{2}}}\right)$

$=-{\frac {1}{2a^{2}}}\int u^{-{\frac {3}{2}}}du$

$=-{\frac {1}{2a^{2}}}\left(-{\frac {2}{\sqrt {u}}}\right)+C$

$={\frac {1}{a^{2}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}}}+C$

$=\left({\frac {x}{x}}\right){\frac {1}{a^{2}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}}}+C$

$={\frac {x}{a^{2}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+C$

練習

5. 透過代入 $u=2x^{2}$ 來計算 $\int x\sin(2x^{2})dx$

6. 計算 $\int -3\cos(x)e^{\sin(x)}dx$

分部積分

分部積分是另一個用於積分的強大工具。上面提到過可以將積分代換看作是鏈式法則的逆應用。類似地，可以將分部積分看作是乘積法則的逆應用。

一般分部積分

不定積分的分部積分
假設 $f$ 和 $g$ 是可微分的，並且它們的導數是連續的。那麼

$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int \left(f'(x)\int g(x)dx\right)dx$

同樣重要的是要注意
$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int \left(f'(x)\int g(x)dx\right)dx$
不等於
$\int f(x)g(x)dx=g(x)\int f(x)dx-\int \left(g'(x)\int f(x)dx\right)dx$

為了設定 $f(x)$ 和 $g(x)$，我們需要遵循名為 I.L.A.T.E. 的規則。

---

ILATE 定義了我們必須設定 $f(x)$ 的順序。

• I 代表反三角函式
• L 代表對數函式
• A 代表代數函式
• T 代表三角函式
• E 代表指數函式

---

---

f(x) 和 g(x) 必須按照 ILATE 的順序排列，否則最終答案將與主金鑰不符。

示例

示例

求 $\int x\cos(x)dx$

這裡我們令

$u=x$ ，使得 $du=dx$ ，

$dv=\cos(x)dx$ ，使得 $v=\sin(x)$ 。

那麼

$\int x\cos(x)dx$	$=\int u\,dv$
	$=uv-\int v\,du$
	$=x\sin(x)-\int \sin(x)dx$
	$=x\sin(x)+\cos(x)+C$

示例

求 $\int x^{2}e^{x}dx$

在這個例子中，我們將不得不使用分部積分法兩次。

這裡我們令

$u=x^{2}$ ，使得 $du=2xdx$ ，

$dv=e^{x}dx$ ，使得 $v=e^{x}$ 。

那麼

$\int x^{2}e^{x}dx$	$=\int u\,dv$
	$=uv-\int v\,du$
	$=x^{2}e^{x}-\int 2xe^{x}dx$
	$=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$

現在，為了計算最後一個積分，我們再次使用分部積分法。令

$u=x$ ，使得 $du=dx$ ，

$dv=e^{x}dx$，因此$v=e^{x}$

並用分部積分法，得到

$\int xe^{x}dx=xe^{x}-\int e^{x}dx=e^{x}(x-1)$

最終得到

$\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2e^{x}(x-1)+C=e^{x}(x^{2}-2x+2)+C$

示例

求$\int \ln(x)dx$

技巧是將此積分寫成

$\int \ln(x)\cdot 1\,dx$

令

$u=\ln(x)$ 因此 $du={\frac {dx}{x}}$ ，

$v=x$ 因此 $dv=1\,dx$ 。

然後使用分部積分法，

$\int \ln(x)dx$	$=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}dx$
	$=x\ln(x)-\int 1\,dx$
	$=x\ln(x)-x+C$
	$=x{\bigl (}\ln(x)-1{\bigr )}+C$

示例

求$\int \arctan(x)dx$

同樣，技巧是將被積函式寫成$\arctan(x)=\arctan(x)\cdot 1$ 。然後令

$u=\arctan(x)$ 因此 $du={\frac {dx}{1+x^{2}}}$

$v=x$ 所以 $dv=1\,dx$

所以用分部積分法，

$\int \arctan(x)dx$	$=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}dx$
	$=x\arctan(x)-{\tfrac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

示例

求 $\int e^{x}\cos(x)dx$

這個例子兩次使用分部積分法。首先令，

$u=e^{x}$ 所以 $du=e^{x}dx$

$dv=\cos(x)dx$ 所以 $v=\sin(x)$

所以

$\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\sin(x)dx$

現在，為了計算剩下的積分，我們再次使用分部積分法，令

$u=e^{x}$ 所以 $du=e^{x}dx$

$v=-\cos(x)$ 所以 $dv=\sin(x)dx$

那麼

$\int e^{x}\sin(x)dx$	$=-e^{x}\cos(x)-\int -e^{x}\cos(x)dx$
	$=-e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\cos(x)dx$

把這些加起來，我們有

$\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x)-\int e^{x}\cos(x)dx$

請注意，相同的積分出現在該等式的兩邊，但符號相反。積分並沒有抵消；當我們將積分加到兩邊以得到以下結果時，它會翻倍。

$2\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}{\bigl (}\sin(x)+\cos(x){\bigr )}$

$\int e^{x}\cos(x)dx={\frac {e^{x}{\bigl (}\sin(x)+\cos(x){\bigr )}}{2}}$

練習

7. 使用分部積分法，其中 $u=2x-5$ 且 $dv={\frac {dx}{x^{3}}}$，求解 $\int {\frac {2x-5}{x^{3}}}dx$。

8. 求解 $\int (2x-1)e^{-3x+1}dx$。