微積分/微積分基本定理

微積分基本定理是微積分的關鍵部分，因為它將導數的概念與積分的概念聯絡起來。因此，我們可以利用我們對導數的知識來求曲線下的面積，這通常比使用積分的定義更快、更簡單。

作為示例，參見§ 1.8 以瞭解自然對數和 1/x 之間的聯絡。

積分中值定理

在討論微積分基本定理時，我們將需要以下定理。

積分中值定理 假設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是連續的。 那麼對於某個 $c\in [a,b]$，有 ${\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)$。

積分中值定理的證明

$f(x)$ 滿足極值定理的要求，因此它在$[a,b]$ 中有最小值 $m$ 和最大值 $M$。 由於

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(x_{k}^{*})\cdot {\frac {b-a}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}f(x_{k}^{*})$

以及由於

$m\leq f(x_{k}^{*})\leq M$ 對所有 $x_{k}^{*}\in [a,b]$

我們有

${\begin{aligned}&\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}m\leq \lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}f(x_{k}^{*})\leq \lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}M\\&\lim _{n\to \infty }mn\cdot {\frac {b-a}{n}}\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \lim _{n\to \infty }Mn\cdot {\frac {b-a}{n}}\\&\lim _{n\to \infty }m(b-a)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \lim _{n\to \infty }M(b-a)\\&m(b-a)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)\\&m\leq {\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq M\end{aligned}}$

由於 $f$ 是連續的，根據 中間值定理，存在某個 $f(c)$ 且 $c\in [a,b]$，使得

${\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)$

微積分基本定理

微積分基本定理的表述

假設 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續。我們可以定義一個函式 $F$ 為

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt\quad {\text{for }}x\in [a,b]$

微積分基本定理第一部分 假設 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續，並且 $F$ 定義為

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

那麼 $F$ 在 $(a,b)$ 上可微，並且對於所有 $x\in (a,b)$，

$F'(x)=f(x)$

當我們有這樣的函式 $F$ 和 $f$，其中 $F'(x)=f(x)$ 對於某個區間 $I$ 內的每個 $x$ 成立，我們說 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的 **原函式**。

微積分基本定理第二部分 假設 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續，並且 $F$ 是 $f$ 的任何原函式。那麼

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

圖 1

注意：少數數學家將第一部分稱為第二部分，將第二部分稱為第一部分。所有數學家都將這裡所說的第二部分稱為微積分基本定理。

證明

微積分基本定理第一部分的證明

假設 $x\in (a,b)$ 。 選擇 $\Delta x$ 使得 $x+\Delta x\in (a,b)$ 。 那麼

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

和

$F(x+\Delta x)=\int \limits _{a}^{x+\Delta x}f(t)dt$

將兩個等式相減得到

$F(x+\Delta x)-F(x)=\int \limits _{a}^{x+\Delta x}f(t)dt-\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

現在

$\int \limits _{a}^{x+\Delta x}f(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt+\int \limits _{x}^{x+\Delta x}f(t)dt$

因此，重新整理得到

$F(x+\Delta x)-F(x)=\int \limits _{x}^{x+\Delta x}f(t)dt$

根據積分中值定理，存在一個 $c\in [x,x+\Delta x]$ 使得

$\int \limits _{x}^{x+\Delta x}f(t)dt=f(c)\cdot \Delta x$

注意， $c$ 取決於 $\Delta x$ 。 無論如何，我們已經證明

$F(x+\Delta x)-F(x)=f(c)\cdot \Delta x$

兩邊除以 $\Delta x$ 得到

${\frac {F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}}=f(c)$

當 $\Delta x\to 0$ 時，我們得到 $F$ 在 $x$ 處的導數的定義，所以我們有

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)$

為了找到另一個極限，我們將使用 **夾逼定理**。 $c\in [x,x+\Delta x]$ ，所以 $x\leq c\leq x+\Delta x$ 。因此，

$\lim _{\Delta x\to 0}{\Big [}x+\Delta x{\Big ]}=x\quad \Rightarrow \quad \lim _{\Delta x\to 0}c=x$

由於 $f$ 是連續的，我們有

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)=f\left(\lim _{\Delta x\to 0}c\right)=f(x)$

這完成了證明。

$\blacksquare$

微積分基本定理第二部分的證明

定義 $P(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ 。然後根據微積分基本定理第一部分，我們知道 $P$ 在 $(a,b)$ 上可微，並且對於所有 $x\in (a,b)$

$P'(x)=f(x)$

因此， $P$ 是 $f$ 的一個原函式。由於我們假設 $F$ 也是 $f$ 的一個原函式，對於所有 $x\in (a,b)$，

${\begin{aligned}&P'(x)=F'(x)\\&P'(x)-F'(x)=0\\&{\Big (}P(x)-F(x){\Big )}'=0\end{aligned}}$

令 $g(x)=P(x)-F(x)$ 。將 均值定理 應用於 $g(x)$ 在 $[a,\xi ]$ 上，其中 $a<\xi <b$，表明

${\frac {g(\xi )-g(a)}{\xi -a}}=g'(c)$

對於 $c$ 在 $(a,\xi )$ 中，$g'(x)=0$ 對於所有 $x$ 在 $[a,b]$ 中都成立。由於 $g(\xi )$ 必須等於 $g(a)$ 對於所有 $\xi$ 在 $(a,b)$ 中都成立，也就是說，g(x) 在 $(a,b)$ 上是常數。

這意味著存在一個常數 $C=g(a)=P(a)-F(a)=-F(a)$ 使得對於所有 $x\in (a,b)$ ，

$P(x)=F(x)+C$

並且，由於 $g$ 是連續的，我們看到這在 $x=a$ 和 $x=b$ 時也成立。當 $x=b$ 時，我們得到

$\int \limits _{a}^{b}f(t)dx=P(b)=F(b)+C=F(b)-F(a)$

$\blacksquare$

定積分求值的符號

微積分基本定理的第二部分為我們提供了一種計算定積分的方法。只需找到被積函式的反導數，然後用反導數在上界的取值減去反導數在下界的取值即可。即

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

其中 $F'(x)=f(x)$ 。為了方便起見，我們使用符號

$F(x){\bigg |}_{a}^{b}$

來表示 $F(b)-F(a)$

多項式的積分

使用微分的冪法則，我們可以利用微積分基本定理找到冪函式積分的公式。令 $f(x)=x^{n}$ 。我們想找到 $f$ 的反導數。由於冪函式的微分規則將冪降低1，因此我們有

${\frac {d}{dx}}x^{n+1}=(n+1)x^{n}$

只要 $n+1\neq 0$ ，我們可以除以 $n+1$ 得到

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {x^{n+1}}{n+1}}\right)=x^{n}=f(x)$

因此函式 $F(x)={\frac {x^{n+1}}{n+1}}$ 是 $f$ 的反導數。如果 $0\notin [a,b]$ ，則 $F$ 在 $[a,b]$ 上是連續的，應用微積分基本定理，我們可以計算 $f$ 的積分，得到以下規則。

積分的冪法則 I $\int \limits _{a}^{b}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}{\Bigg |}_{a}^{b}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}}$ 只要 $n\neq -1$ 並且 $0\notin [a,b]$ 。

注意，我們允許 $n$ 的任何值，包括負數或分數。如果 $n>0$ ，即使 $[a,b]$ 包含 $0$ ，它也適用。

積分的冪法則 II $\int \limits _{a}^{b}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}{\Bigg |}_{a}^{b}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}}$ 只要 $n>0$ 。

例子

• 要找到 $\int \limits _{1}^{2}x^{3}dx$ ，我們將冪次加1，然後除以4。所以

$\int \limits _{1}^{2}x^{3}dx={\frac {x^{4}}{4}}{\Bigg |}_{1}^{2}={\frac {2^{4}}{4}}-{\frac {1^{4}}{4}}={\frac {15}{4}}$

• 冪法則也適用於負冪。例如

$\int \limits _{1}^{3}{\frac {dx}{x^{3}}}=\int \limits _{1}^{3}x^{-3}dx={\frac {x^{-2}}{-2}}{\Bigg |}_{1}^{3}={\frac {1}{-2}}\left(3^{-2}-1^{-2}\right)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{3^{2}}}-1\right)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{9}}-1\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {8}{9}}={\frac {4}{9}}$

• 我們也可以對分數冪使用冪法則。例如

$\int \limits _{0}^{5}{\sqrt {x}}dx=\int \limits _{0}^{5}x^{\frac {1}{2}}dx={\frac {x{\sqrt {x}}}{\frac {3}{2}}}{\Bigg |}_{0}^{5}={\frac {2}{3}}\left(5^{\frac {3}{2}}-0^{\frac {3}{2}}\right)={\frac {10{\sqrt {5}}}{3}}$

• 使用線性，冪法則也可以被認為適用於常數。例如，

$=\int \limits _{3}^{11}7dx=\int \limits _{3}^{11}7x^{0}dx=7\int \limits _{3}^{11}x^{0}dx=7x{\Bigg |}_{3}^{11}=7(11-3)=56$

• 使用線性法則，我們現在可以積分任何多項式。例如

$\int \limits _{0}^{3}(3x^{2}+4x+2)dx=(x^{3}+2x^{2}+2x){\Bigg |}_{0}^{3}=3^{3}+2\cdot 3^{2}+2\cdot 3-0=27+18+6=51$

練習

1. 求值 $\int \limits _{0}^{1}x^{6}dx$。將你的答案與你在第4.1節練習1中得到的答案進行比較。

2. 求值 $\int \limits _{1}^{2}x^{6}dx$。將你的答案與你在第4.1節練習2中得到的答案進行比較。

3. 計算 $\int \limits _{0}^{2}x^{6}dx$ 。將你的答案與你在第 4.1 節練習 4 中得到的答案進行比較。

4. 計算 $\int \limits _{2}^{3}{\frac {x^{3}+3x^{2}-4}{x^{2}}}dx$

5. 計算 $\int \limits _{1}^{4}2x^{3}+{\frac {1}{3x^{2}}}-4{\sqrt {x}}+5dx$.

6. 給定 $f(x)={\begin{cases}x^{3}&,&x>1\\2x+1&,&x\leq 1\end{cases}}$，然後找到 $\int \limits _{0}^{6}f(x)dx$.

7. 令 $f(x)=\int \limits _{1}^{x}t^{2}dt$。然後找到 $f'(x)$.

8. 給定 $A(\theta )=\int \limits _{1}^{\theta ^{2}}2x\cos \left(4x^{2}\right)dx$。然後找到 $A'(\theta )$.

9. 如果 $M(x)=\int \limits _{x^{3}}^{x}\cos ^{4}(t)-\sin ^{2}(t)dt$。然後找到 $M'(x)$。

10. 對於給定閉區間上的函式 $f(x)={\sqrt {x}}$，$[4,9]$，求定積分中值定理保證的 $c$ 的值。