微積分/廣義積分

定積分的定義

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$

要求區間 $[a,b]$ 是有限的。微積分基本定理要求 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續。在本節中，你將學習一種評估不滿足這些要求的積分的方法——要麼是積分限為無窮大，要麼是在區間 $[a,b]$ 上存在有限個間斷點。不滿足上述要求的積分稱為廣義積分。（如果你不熟悉洛必達法則，建議在閱讀本節之前先複習一下。）

具有無限積分上限的廣義積分

考慮積分

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}$

將有限的上限 $b$ 替換無窮大，得到

$\lim _{b\to \infty }\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{b}}\right)=\lim _{b\to \infty }\left(1-{\frac {1}{b}}\right)=1$

這個廣義積分可以解釋為 $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$、$y=0$（即 $x$ 軸）和 $x=1$ 之間的無界區域的面積。

定義

1. 假設 $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ 對所有 $b\geq a$ 都存在。 那麼我們定義

$\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ ，只要這個極限存在且有限。

如果它確實存在，我們說該積分是收斂的，否則我們說它是發散的。

2. 同樣，如果 $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ 對所有 $a\leq b$ 都存在，我們定義

$\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$

3. 最後假設 $c$ 是一個固定的實數，並且 $\int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx$ 和 $\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx$ 都是收斂的。 那麼我們定義

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx$

示例：收斂的廣義積分 我們聲稱 $\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}dx=1$ 為此，我們計算 $\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}dx$ $=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{0}^{b}e^{-x}dx$ $=\lim _{b\to \infty }(-e^{-x}){\Bigr |}_{0}^{b}$ $=\lim _{b\to \infty }\left(-e^{-b}+1\right)$ $=1$

示例：發散的瑕積分 我們斷言積分 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$ 發散。 這是因為 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$ $=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}$ $=\lim _{b\to \infty }\ln(x){\Bigr |}_{1}^{b}$ $=\lim _{b\to \infty }\left(\ln(b)-0\right)$ $=\infty$ 因此 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$ 發散。

示例：瑕積分 求 $\int \limits _{0}^{\infty }x^{2}e^{-x}dx$ 。 為了計算該積分，我們使用分部積分法兩次，得到 $\int \limits _{0}^{b}x^{2}e^{-x}dx$ $=(-x^{2}e^{-x}){\Bigr |}_{0}^{b}+2\int \limits _{0}^{b}xe^{-x}dx$ $=-b^{2}e^{-b}+2\left((-xe^{-x}){\Bigr |}_{0}^{b}+\int \limits _{0}^{b}e^{-x}dx\right)$ $=-b^{2}e^{-b}+2\left(-be^{-b}-(e^{-x}){\Bigr |}_{0}^{b}\right)$ $=-b^{2}e^{-b}+2(-be^{-b}-e^{-b}+1)$ 現在，$\lim _{b\to \infty }e^{-b}=0$，由於指數函式比多項式函式增長更快，因此我們看到$\lim _{b\to \infty }b^{2}e^{-b}=0$ 以及 $\lim _{b\to \infty }be^{-b}=0$。因此， $\int \limits _{0}^{\infty }x^{2}e^{-x}dx=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{0}^{b}x^{2}e^{-x}dx=0+2(0-0+1)=2$

示例：冪函式 證明$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}={\begin{cases}{\frac {1}{p-1}},&{\text{if }}p>1\\{\text{diverges}},&{\text{if }}p\leq 1\end{cases}}$ 如果$p\neq 1$，則 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}$ $=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{1}^{b}x^{-p}dx$ $=\lim _{b\to \infty }\left({\frac {x^{-p+1}}{-p+1}}\right){\Bigg |}_{1}^{b}$ $=-{\frac {1}{1-p}}\lim _{b\to \infty }\left(b^{-p+1}-1\right)$ $={\begin{cases}{\frac {1}{p-1}},&{\text{if }}p>1\\{\text{diverges}},&{\text{if }}p<1\end{cases}}$ 請注意，我們必須假設 $p\neq 1$ 以避免除以 0。但是 $p=1$ 的情況已經在前面的例子中進行了討論。

具有有限數量間斷點的廣義積分

首先，我們給出在一點處不連續的函式的積分定義。

具有單個間斷點的廣義積分的定義

如果 $f$ 在區間 $[a,b)$ 上連續，並在 $b$ 處不連續，我們定義

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{c\to b^{-}}\int \limits _{a}^{c}f(x)dx$

如果上述極限存在，我們說積分收斂，否則我們說它發散。

類似地，如果 $f$ 在區間 $(a,b]$ 上連續，並在 $a$ 處不連續，我們定義

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{c\to a^{+}}\int \limits _{c}^{b}f(x)dx$

最後假設 $f$ 在點 $c\in (a,b)$ 處不連續，並在 $[a,b]$ 中的所有其他點處連續。如果 $\int \limits _{a}^{c}f(x)dx$ 和 $\int \limits _{c}^{b}f(x)dx$ 收斂，我們定義

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$=$\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx$

示例 1 證明 $\int \limits _{0}^{1}{\frac {dx}{x^{p}}}={\begin{cases}{\frac {1}{1-p}},&{\text{if }}p<1\\{\text{diverges}},&{\text{if }}p\geq 1\end{cases}}$ 如果$p\neq 1$，則 $\int \limits _{0}^{1}{\frac {dx}{x^{p}}}$ $=\lim _{a\to 0^{+}}\int \limits _{a}^{1}x^{-p}dx$ $=\lim _{a\to 0^{+}}\left({\frac {x^{-p+1}}{-p+1}}\right){\Bigg |}_{a}^{1}$ $=-{\frac {1}{1-p}}\lim _{a\to 0^{+}}\left(1-a^{-p+1}\right)$ $={\begin{cases}{\frac {1}{1-p}},&{\mbox{if }}p<1\\{\text{diverges}},&{\text{if }}p>1\end{cases}}$ 注意我們假設了 $p\neq 1$ 避免除以零，因此我們單獨處理 $p=1$ 的情況， $\int \limits _{0}^{1}{\frac {dx}{x}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left[\ln {\big (}|x|{\big )}{\Big |}_{a}^{1}\right]=\lim _{a\to 0^{+}}{\Big [}-\ln(a){\Big ]}$ 它發散。

示例 2 積分 $\int \limits _{-1}^{3}{\frac {dx}{x-2}}$ 是不正確的，因為被積函式在 $x=2$ 處不連續。然而，如果我們沒有注意到這一點，我們可能會想要應用微積分基本定理，並得出結論，它等於 $\ln {\big (}|x-2|{\big )}{\Big |}_{-1}^{3}=\ln(5)-\ln(3)=\ln \left({\tfrac {5}{3}}\right)$ 這是不正確的。事實上，積分是發散的，因為 ${\begin{aligned}\int \limits _{-1}^{3}{\frac {dx}{x-2}}&=\lim _{b\to 2^{-}}\int \limits _{-1}^{b}{\frac {dx}{x-2}}+\lim _{a\to 2^{+}}\int \limits _{a}^{3}{\frac {dx}{x-2}}\\&=\lim _{b\to 2^{-}}\ln {\big (}|x-2|{\big )}{\Big |}_{-1}^{b}+\lim _{a\to 2^{+}}\ln {\big (}|x-2|{\big )}{\Big |}_{a}^{3}\\&=\lim _{b\to 2^{-}}{\Big [}\ln(2-b)-\ln(3){\Big ]}+\lim _{a\to 2^{+}}{\Big [}\ln(1)-\ln(a-2){\Big ]}\\&=\lim _{b\to 2^{-}}{\Big [}\ln(2-b){\Big ]}-\ln(3)+\lim _{a\to 2^{+}}{\Big [}-\ln(a-2){\Big ]}\\\end{aligned}}$ 並且 $\lim _{b\to 2^{-}}{\Big [}\ln(2-b){\Big ]}$ 以及 $\lim _{a\to 2^{+}}{\Big [}-\ln(a-2){\Big ]}$ 都發散。

我們也可以給出具有有限個間斷點的函式的積分的定義。

定義：具有有限個間斷點的反常積分

假設 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續，除了點 $c_{1}<c_{2}<\ldots <c_{n}$ 在 $[a,b]$ 中。我們定義 ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c_{1}}f(x)dx+\int \limits _{c_{1}}^{c_{2}}f(x)dx+\int \limits _{c_{2}}^{c_{3}}f(x)dx+\cdots +\int \limits _{c_{n-1}}^{c_{n}}f(x)dx+\int \limits _{c_{n}}^{b}f(x)dx\end{aligned}}$ 只要右邊的每個積分收斂。

請注意，透過將此定義與具有無限端點的反常積分的定義結合起來，我們可以定義具有有限個間斷點和一個或多個無限端點的函式的積分。

比較檢驗

有些積分不容易計算。但是，仍然可以透過將它們與我們已經知道收斂的積分進行比較來證明它們收斂。

定理（比較檢驗） 令 $f,g$ 是為所有 $x\geq a$ 定義的連續函式。

1. 假設對於所有$x\geq a$，都有$g(x)\geq f(x)\geq 0$。那麼如果$\int \limits _{a}^{\infty }g(x)dx$ 收斂，那麼$\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx$ 也收斂。
2. 假設對於所有$x\geq a$，都有$f(x)\geq h(x)\geq 0$。那麼如果$\int \limits _{a}^{\infty }h(x)dx$ 發散，那麼$\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx$ 也發散。

類似的定理適用於形式為$\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx$ 的廣義積分以及具有間斷點的廣義積分。

示例：使用比較檢驗法證明收斂性 證明$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\sin(x)+2}{x^{2}}}dx$ 收斂。 對於所有$x$，我們知道$-1\leq \sin(x)\leq 1$，所以$1\leq \sin(x)+2\leq 3$。這意味著 $0\leq {\frac {\sin(x)+2}{x^{2}}}\leq {\frac {3}{x^{2}}}$ . 我們已經看到 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {3}{x^{2}}}dx=3\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}$ 收斂。因此，將 $f(x)={\frac {\sin(x)+2}{x^{2}}}$ 和 $g(x)={\frac {3}{x^{2}}}$ 代入比較檢驗，我們得到積分 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\sin(x)+2}{x^{2}}}dx$ 也收斂。

示例：使用比較檢驗證明發散 證明 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\sin(x)+2}{x}}dx$ 發散。 就像前面的例子一樣，我們知道 $\sin(x)+2\geq 1$ 對於所有的 $x$ 。因此 ${\frac {\sin(x)+2}{x}}\geq {\frac {1}{x}}\geq 0$ 我們已經看到 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$ 發散。因此，將 $f(x)={\frac {\sin(x)+2}{x}}$ 和 $g(x)={\frac {1}{x}}$ 代入比較檢驗，我們得到 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\sin(x)+2}{x}}dx$ 也發散。

比較定理的擴充套件

要應用比較定理，你並不真正需要 $g(x)\geq f(x)\geq 0$ 對所有 $x\geq a$ 成立。我們真正需要的是這個不等式對足夠大的 $x$ 成立（即存在一個數 $c$ 使得 $g(x)\geq f(x)$ 對所有 $x\geq c$ 成立）。因為這樣

$\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx$

因此第一個積分收斂當且僅當第三個積分收斂，我們可以將比較定理應用於 $\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx$ 部分。

示例 證明 $\int \limits _{1}^{\infty }{\sqrt {\frac {x^{7}}{e^{3x}}}}dx$ 收斂。 這個積分收斂的原因是，當 $x$ 很大時，被積函式中的 $e^{-x}$ 因子占主導地位。我們可以嘗試比較 $x^{\frac {7}{2}}e^{-x}$ 與 $e^{-x}$ ，但由於 $x\geq 1$ ，不等式 $x^{\frac {7}{2}}e^{-x}\geq e^{-x}$ 的方向不對，無法證明收斂。 相反，我們將被積函式重寫為$x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {3x}{2}}}dx=x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}e^{-x}dx$ 。 由於極限$\lim _{x\to \infty }{\Big [}x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}{\Big ]}=0$ 我們知道當$x$ 足夠大時，我們有$x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}\leq 1$ 。所以對於大的$x$ ， $x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {7x}{2}}}=x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}e^{-x}\leq e^{-x}$ 由於積分$\int \limits _{1}^{\infty }e^{-x}dx$ 收斂，比較檢驗告訴我們$\int \limits _{1}^{\infty }{\sqrt {\frac {x^{7}}{e^{3x}}}}dx$ 也收斂。