微積分/積分技巧/無窮級數
最基本，也可能最難的評估型別是使用黎曼積分的正式定義。
使用積分的定義，我們可以評估 趨於無窮時的極限。此技巧要求對求和恆等式相當熟悉。此技巧通常被稱為“按定義”評估，可用於找到定積分，只要被積函式足夠簡單。我們從積分的定義開始
然後選擇 為 ，我們得到
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k}^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40e7f31f18d3120cd5854df2694f3311235f55b)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f{\big (}a+k{\tfrac {b-a}{n}}{\big )}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b06290f59d25334cae6e3aed92ee16522f02e4)
在一些簡單的情況下，此表示式可以簡化為一個實數，如果 在 上為正，則此實數可以解釋為曲線下的面積。
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
找到 ，方法是將積分寫成黎曼和的極限。
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2}{n}}\sum _{k=1}^{n}f{\big (}{\tfrac {2k}{n}}{\big )}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8553f66ff312824e700fe689c3250cb6b09d949)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {2k}{n}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce8f80fe79da631f23a6f06327f4de672f6612d)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {4k^{2}}{n^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f54bd303d439fc7c9bcbd25f2722da50eb20115)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {8}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed134e3685881ee42d7a595d5f4f32286b053bf)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {8}{n^{3}}}\cdot {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50443b6c2a1c7ab40b46665298d8ed1fd1f470c)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {2n^{2}+3n+1}{n^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218c41740e24249292060210168ee62f21cdec64)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a96db66ea4877d42fbf0c92253cb7b1be9c02b9)
在其他情況下，甚至可以使用形式定義來計算不定積分。我們可以將不定積分定義如下
![{\displaystyle =\int \limits _{0}^{x}f(t)dt=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x-0}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(t_{k}^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b23ebc6e0ba82339f10e3faa642d16f27e931f)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x}{n}}\sum _{k=1}^{n}f{\big (}0+{\tfrac {k(x-0)}{n}}{\big )}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518c03c44547cc62f59e6c7eb03c8ff4837f181c)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x}{n}}\sum _{k=1}^{n}f{\big (}{\tfrac {kx}{n}}{\big )}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b9da80feed61c6f9468e4035bb9842e475ee56)
假設 ，則我們可以如下計算不定積分。
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {kx}{n}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c07b77821541c872c1ab8143e45e40a6bd106e1)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {k^{2}\cdot x^{2}}{n^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48139ada49a79ad9fde8058eaf5532f1cd5cab02)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x^{3}}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d95b2b271bb3b4613e3da68589ab9ccb2e33e0)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x^{3}}{n^{3}}}\cdot {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bb425da40536b03bad50620678a44fa8949b02)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x^{3}}{n^{3}}}\cdot {\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736cb2ee176fb6a1b5aa882df8b6df53a270cf88)
![{\displaystyle =x^{3}\cdot \lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2n^{3}}{6n^{3}}}+{\frac {3n^{2}}{6n^{3}}}+{\frac {n}{6n^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e542a61937ccfd11fdfe054680a08e47f9ea8da)
![{\displaystyle =x^{3}\cdot \lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95f05d13bb1bdc37fa98d99ff8e5ea8e3b46997)
