微積分/積分/習題

多項式積分

求解以下積分

1. $\int (x^{2}-2)^{2}dx$

2. $\int 8x^{3}dx$

3. $\int (4x^{2}+11x^{3})dx$

4. $\int (31x^{32}+4x^{3}-9x^{4})dx$

5. $\int 5x^{-2}\,dx$

不定積分

求解以下函式的原函式

6. $\int {\bigl (}\cos(x)+\sin(x){\bigr )}dx$

7. $\int 3\sin(x)dx$

8. $\int {\bigl (}1+\tan ^{2}(x){\bigr )}dx$

9. $\int {\bigl (}3x-\sec ^{2}(x){\bigr )}dx$

10. $\int -e^{x}\,dx$

11. $\int 8e^{x}\,dx$

12. $\int {\frac {dx}{7x}}$

換元積分法

根據積分是無限積分還是定積分，求反導數或計算積分。

13. $\int _{0}^{\pi /2}\sin(x)\cos(x)\,dx$

14. $\int _{0}^{\pi /4}\tan(x)\,dx$.

15. $\int _{1/2}^{1}{\frac {e^{\sqrt {2x-1}}}{\sqrt {2x-1}}}\,dx$.

16. $\int _{-3}^{-{\sqrt {6}}}{\frac {8x}{\sqrt {x^{2}-5}}}\,dx$.

17. $\int -{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {2}{e^{3x-2}}}}\,dx$.

18. $\int {\frac {x\sec \left({\sqrt {x^{2}-5}}\right)\tan \left({\sqrt {x^{2}-5}}\right)}{50{\sqrt {x^{2}-5}}}}\,dx$.

19. $\int {\frac {2\sec ^{2}\left(\ln(x)\right)\tan \left(\ln(x)\right)}{x}}\,dx$.

20. $\int \left(e^{x}-1\right)x^{e^{x}-2}+x^{e^{x}-1}e^{x}\ln(x)\,dx$.

21. $\int 2\sec ^{2}\left(\ln \left(x^{2}+{\frac {2}{x}}\right)\right){\frac {x^{3}-1}{x^{4}+2x}}\,dx$.

分部積分

30. 考慮積分 $\int \sin(x)\cos(x)dx$。用兩種不同的方法求積分。(a) 用分部積分法，其中 $u=\sin(x)$ 且 $v'=\cos(x)$。(b) 用分部積分法，其中 $u=\cos(x)$ 且 $v'=\sin(x)$。比較你的答案。它們一樣嗎？

三角代換積分法

40. $\int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}$