微積分/積分技術/數值近似

在評估定積分時，經常會出現被積函式的原函式無法找到或非常難以找到的情況。在某些情況下，定積分值的數值近似值就足夠了。可以使用以下技術，它們按複雜程度遞增的順序排列。

黎曼和

這來自於積分的定義。如果我們選擇 n 為有限值，那麼我們有

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x$

其中 $x_{i}^{*}$ 是 $[a,b]$ 上第 i 個子區間 $[x_{i-1},x_{i}]$ 上的任意一點。

右矩形

黎曼和的一種特殊情況，我們令 $x_{i}^{*}=x_{i}$ ，換句話說，每個子區間 $[a,b]$ 上最右邊的點。同樣地，如果我們選擇 n 為有限值，那麼我們有

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$

左矩形

黎曼和的另一個特殊情況，這次我們令 $x_{i}^{*}=x_{i-1}$ ，它是 $[a,b]$ 上每個子區間最左邊的點。和往常一樣，當 $n$ 是有限值時，這是一個近似值。因此，我們有

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(x_{i-1})\Delta x$

梯形法則

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left[f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}{\bigl (}f(x_{i}){\bigr )}+f(x_{n})\right]={\frac {b-a}{2n}}{\bigg (}{f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +2f(x_{n-1})+f(x_{n})}{\bigg )}$

辛普森法則

記住，n 必須為偶數，

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$	$\approx {\frac {b-a}{6n}}\left[f(x_{0})+\sum _{i=1}^{n-1}\left((3-(-1)^{i})f(x_{i})\right)+f(x_{n})\right]$
	$={\frac {b-a}{6n}}{\bigg [}f(x_{0})+4f{\bigl (}{\tfrac {x_{1}}{2}}{\bigr )}+2f(x_{1})+4f{\bigl (}{\tfrac {x_{3}}{2}}{\bigr )}+\cdots +4f{\bigl (}{\tfrac {x_{n-1}}{2}}{\bigr )}+f(x_{n}){\bigg ]}$

麥克勞林近似

一種常見的近似常用三角函式的技術是使用泰勒-麥克勞林級數。逐項積分允許人們輕鬆地手工計算積分的值，精確到 5 位小數，給定階乘表的情況下可以精確到 10 位小數。

例如，使用 $\sin(x)$ 的麥克勞林級數，可以輕鬆地用多項式近似其積分。

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$

然後，我們可以輕鬆地將每一項積分，將 $(-1)^{n}$ 和 ${\frac {1}{(2n+1)!}}$ 視為常數。

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\int {\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}}\implies c_{0}+{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+2}}{(2n+2)!}}}$$

我們可以透過檢查已知的積分主值 $-\cos(x)$ 和新的級數來輕鬆地找到常數項。這將為我們提供最終的等式。

$$\int _{0}^{t}{\sin(x)\;\mathrm {d} x}+1={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}t^{2n+2}}{(2n+2)!}}}$$雖然這是一個收斂速度相當快的級數，在 $\log _{10}((2x+2)!)$ 位有效數字處收斂，但它相對無用，因為階乘的計算成本很高。

進一步閱讀

• 數值方法/數值積分