微積分/極限比較檢驗

極限比較檢驗

極限比較檢驗（LCT）和直接比較檢驗是兩種檢驗方法，您可以在其中選擇一個您已知的級數，並將其與您正在處理的級數進行比較，以確定其收斂或發散。這兩種檢驗方法在比率檢驗之後最為重要，瞭解它們將非常有幫助。它們非常強大，使用起來也很容易。

極限比較檢驗定義

對於兩個級數 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 和 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$，其中 $a_{n}>0$ 且 $t_{n}>0$，我們計算 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {a_{n}}{t_{n}}}\right]}=L}$。

1. 當 $L$ 是有限的正數時，這兩個級數要麼都收斂，要麼都發散。
2. 當 $L=0$ 且 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 收斂時，則 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 也收斂。
3. 當 $L=\infty$ 且 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 發散時，則 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 也發散。
4. 如果極限不存在，則該檢驗無法確定結果。

極限比較檢驗快速筆記

用於證明收斂性	是
用於證明發散	是
可能無法確定	是

1. 請注意，我們沒有指定 $n$ - 求和的值。在微積分中這很常見，它只是意味著，對於此測試，級數從哪裡開始並不重要（但它總是以無窮大“結束”，因為這是一個無窮級數）。
2. $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是我們試圖確定其收斂或發散的級數，它在題幹中給出。
3. $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 是您選擇的測試級數。

極限比較測試說明了什麼

此測試非常簡單。在我們的表示法中，我們說您試圖確定其收斂或發散的級數是 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$，而您知道其收斂或發散的測試級數是 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$。極限 $L$ 必須計算出來才能得出任何結論。

此外，請注意，分數可以顛倒，測試仍然適用於情況 1（但不適用於情況 2 和 3）。例如，如果您得到 $L=3$ 對於一個分數，那麼您將得到 $L=1/3$ 對於另一個分數。兩者都是有限的且為正的，兩者都會告訴您您的級數是否收斂或發散。如果您顛倒分數，則情況 2 和 3 將改變。因此，如果您試圖應用情況 2 或 3，務必檢查您的分數。

何時使用極限比較測試

此測試不能一直使用。在嘗試此測試之前，請檢查以下內容。

• 與所有定理一樣，必須滿足測試條件。主要條件是 $a_{n}>0$。如果您的級數不符合這種情況，請先不要停止。檢視絕對收斂定理，看看它是否有幫助。
• 第二個需要考慮的重要因素是極限是否可以求值。例如，如果您有一個振盪項，如正弦或餘弦，那麼您無法求出極限。因此，此測試將無法幫助您。在這種情況下，直接比較測試可能更有效。

如何選擇測試級數

當您第一次學習此技術時，它可能看起來像測試級數憑空出現，您只是隨機選擇一個，看看它是否有效。如果無效，則嘗試另一個。這不是選擇測試級數的最佳方法。我發現的最佳方法是使用您被要求處理的級數，並找出測試級數。有幾個因素需要考慮。

第一個關鍵是選擇一個您知道收斂或發散的測試級數，並且它可以幫助您得到一個有限的、正的極限。

思路 1：如果您在分數的分子和分母中都有多項式，請刪除除最高次冪項（在兩部分中）以外的所有項，並簡化。刪除任何常數。您最終得到的結果可能是一個不錯的比較級數。之所以有效，是因為隨著 $n$ 越來越大，最高次冪占主導地位。您通常會得到一個您知道收斂或發散的p級數。

思路 2：選擇一個p級數或幾何級數，因為您可以立即判斷它是否收斂或發散。

思路 3：如果您有一個正弦或餘弦項，那麼您始終可以確保結果小於或等於 1 且大於或等於負 1。如果您對角度沒有界限，那麼這是您能做到的最好的。因此，將正弦或餘弦項替換為 1。

想法 4： 如果你有一個自然對數，使用以下事實 $\ln(n)\leq n$ 當 $n\geq 1$，用 $n$ 替換 $\ln(n)$，或者使用 $\ln(n)\geq 1$ 當 $n\geq 3$.

隨著你對該測試的經驗積累，確定一個好的測試序列會變得更容易。所以多做一些練習題。

極限比較測試證明

這裡有一個影片展示了極限比較測試的證明。你不需要觀看它來理解和使用極限比較測試。然而，我們在這裡提供它，以供有興趣的人觀看。

極限比較測試的證明

影片推薦

如果你想了解關於極限比較測試的完整講座，我們推薦觀看 這段影片片段。正如標題所示，這段影片從（直接）比較測試開始，但我們讓影片從他開始討論極限比較測試的地方開始。

觀看這兩個影片片段將讓你對極限比較測試有更好的瞭解。這兩個片段都簡短而切中要害。

級數、比較 + 比例測試

級數的直接比較測試 / 極限比較測試 - 基本資訊

極限比較測試練習題

帶有書面解答的練習題

確定以下級數的收斂或發散。如果可能，使用極限比較測試。如果 LCT 不確定，使用其他測試來確定收斂或發散。

1. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-1}{n^{3}+4}}$

提示

選擇 $t_{n}=1/n$

答案

該級數根據極限比較測試發散。

解

使用測試級數 $\textstyle {\sum {1/n}}$，這是一個發散的 p 級數。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {a_{n}}{t_{n}}}\right|}}&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {n^{2}-1}{n^{3}+4}}{\frac {n}{1}}\right]}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {n^{3}-n}{n^{3}+4}}{\frac {1/n^{3}}{1/n^{3}}}\right]}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {1-1/n^{2}}{1+4/n^{3}}}\right]}=1}\end{array}}$

由於極限是有限且正的，所以兩個級數要麼收斂要麼發散。由於檢驗級數發散，所以原始級數也發散。

2. $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+4}}}$

提示

選擇 $t_{n}=1/n^{2}$

答案

該級數透過極限比較檢驗收斂。

解

與 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 進行比較，這是一個收斂的p級數，其中 $p=2$

$\displaystyle {a_{n}={\frac {1}{n^{2}+4}}}$，$\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{t_{n}}}}&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {1}{n^{2}+4}}\cdot {\frac {n^{2}}{1}}\right]}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {n^{2}}{n^{2}+4}}{\frac {1/n^{2}}{1/n^{2}}}\right]}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1+4/n^{2}}}=1}\end{array}}$

由於 $0\leq \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{t_{n}}}=1<\infty$ 且 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 收斂，該級數也收斂。

極限比較檢驗是檢驗該級數收斂性的最佳方法之一。

3. $\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3}{n^{2}+1}}}$

提示

選擇 $t_{n}=1/n^{2}$

答案

該級數根據極限比較檢驗收斂。

解

有很多方法可以確定這個無窮級數的收斂或發散性。首先，我們注意到當 $n$ 變得非常非常大時，分母中的 1 與 $n^{2}$ 相比可以忽略不計。

因此，分數越來越接近 $1/n^{2}$。因此，讓我們嘗試將原始級數與 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ 進行比較。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{t_{n}}}}&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left({\frac {3}{n^{2}+1}}\div {\frac {1}{n^{2}}}\right)}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left({\frac {3}{n^{2}+1}}\cdot {\frac {n^{2}}{1}}\right)}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {3n^{2}}{n^{2}+1}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {3}{1+1/n^{2}}}=3}\\\end{array}}$

由於極限為正且有限，這兩個級數要麼都收斂，要麼都發散。級數 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 收斂，因為它是一個以 $p=2$ 為冪的p級數，這意味著原始級數根據極限比較檢驗也收斂。

直接比較檢驗和積分檢驗可能也適用。

4. $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+1}}}$

提示

選擇 $t_{n}=1/n$

答案

該級數根據極限比較檢驗發散。

影片解答

解答影片連結

書面解答

有幾種方法可以確定該無窮級數的收斂或發散。首先，我們注意到當n變得非常大時，分母中的1與 $n^{2}$ 相比變得可以忽略不計。所以該分數越來越接近 $n/n^{2}=1/n$。所以讓我們嘗試將原始級數與 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ 進行比較。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{t_{n}}}}&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left({\frac {n}{n^{2}+1}}\div {\frac {1}{n}}\right)}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left({\frac {n}{n^{2}+1}}\cdot {\frac {n}{1}}\right)}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}}{n^{2}+1}}=1}\end{array}}$

由於極限為正且有限，這兩個級數要麼都收斂，要麼都發散。級數 $\textstyle {\sum {1/n}}$ 發散，因為它是一個p-級數，其中 $p=1$，這意味著原始級數也根據極限比較檢驗發散。

直接比較檢驗和積分檢驗也適用。

帶影片解答的練習題

確定以下級數的收斂或發散。如果可能，使用極限比較測試。如果 LCT 不確定，使用其他測試來確定收斂或發散。

1	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {5n+2}{n^{3}+1}}$	答案 收斂	解答		2	$\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n^{2}-4}}}$	答案 發散	解答
3	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln(n)}{n^{3/2}}}$	答案 收斂	解答		4	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3n+1}{(2n-1)^{4}}}$	答案 收斂	解答
5	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {6n-1}}}$	答案 發散	解答		6	$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {10n^{2}}{n^{3}-1}}$	答案 發散	解答
7	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {5}{\sqrt {n^{2}-1}}}$	答案 發散	解答		8	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{4}+2n^{2}-1}{6n^{6}+4n^{4}}}$	答案 收斂	解答
9	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2/3}+1}}$	答案 發散	解答		10	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n^{3}-4}}$	答案 收斂	解答
11	$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sqrt {n}}{n-1}}$	答案 發散	解答		12	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {5}{2n^{2}+3}}$	答案 收斂	解答
13	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}+1}{n^{4}-n+5}}$	答案 發散	解答		14	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {n+3}}}{n+5}}$	答案 發散	解答