微積分/積分檢驗

積分檢驗

積分檢驗易於使用，並且在比例檢驗和比較檢驗不起作用並且您確定可以計算積分時使用它效果很好。該檢驗的思想是計算反常積分 $\displaystyle {\int _{k}^{\infty }{f(x)~dx}}$ .

積分檢驗利用了積分本質上是黎曼和的事實，而黎曼和本身是在無限區間上的無限和。這很有用，因為積分相對簡單且熟悉。

積分檢驗定義

對於級數 $\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}$ ，我們可以找到一個正的、連續的和遞減的函式 $f$ ，對於 $n>k$ 且 $a_{n}=f(n)$ ，那麼我們知道如果

         $\int _{k}^{\infty }{f(x)~dx}$

收斂，則級數也收斂。
同樣地，當積分發散時，級數也發散。

積分檢驗快速筆記

用於證明收斂	是
用於證明發散	是
可能是不確定的	是

$a_{n}$ 必須是正的且遞減的
要求被積函式必須可積（並非總是可能的）
要求計算無限極限（積分後）
如果極限的結果（積分後）不存在（不同於發散），則該檢驗是不確定的

要注意的兩件事

1. k 的值

首先，您需要找到一個常數 k，使得該函式對於所有 $n>k$ 滿足以下所有條件

連續的
正的
遞減的

老師喜歡在考試中設定的一個常見陷阱（我第一次上這門課時就中招了）是要求你使用積分檢驗，但又不告訴你 $k$ 。許多書中只是展示了具有 $k=1$ 的積分，但這並非總是有效的。所以要小心。
如何找到 $k$
最好的方法是計算函式的臨界值，然後檢查導數在最大臨界值的右側是否為負。然後，如果您有圖形計算器，請快速繪製圖形以檢查您的答案。如果一切看起來都很好，選擇 $k$ 大於最大臨界值。任何值都可以，所以選擇一個在積分中易於使用的值。
沒有一個總是有效的數值。這取決於函式。

2. 積分的最終值
其次，如果對積分得到一個有限值並確定級數收斂，那麼你從積分得到的有限值**不等於**級數收斂到的值。這個數字本身在這個上下文中沒有意義（即我們不使用這個數字的值來告訴我們關於級數的任何資訊）。它的重要性在於它是否有限。就是這樣。這是你能從這個數字中獲得的所有資訊。因此，**不要假設**級數收斂到這個數字。

直觀解釋為什麼這個測試有效

讓我們看看為什麼這個測試有效。作為示例，我們將使用調和級數 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 。調和級數是一個眾所周知的級數，它實際上是發散的。如果我們要近似積分，我們可以像在黎曼和中一樣使用矩形

注意，這種右端方法將始終低估積分（假設函式在選定的區間上遞減）。這意味著，如果右端和等於實際的無限級數，那麼積分本身必須大於該和。這可以幫助證明收斂，因為如果從起點到無窮大的積分收斂，那麼根據比較測試，該區間上的原始函式也必須收斂。因此我們可以看到，積分測試實際上是比較測試的“特例”。

但是發散呢？這種情況也滿足——如果我們使用左端近似而不是右端近似，我們會看到我們再次獲得了原始級數，但是有一個重要的區別

關鍵的區別在於，在這種情況下，積分成為級數的低估，我們可以使用新的“積分”級數來證明發散，使用比較測試。

這個測試很有用，但不幸的是，它只對可以積分 * 並且 * 在大小上遞減的函式有用。後者看起來可能是一個微不足道且不必要的附加條件，但請考慮這個測試是如何工作的；它依賴於這樣一個事實，即在一個區間上遞減的函式的積分將始終產生級數的低估或高估；如果函式在該區間上不處處遞減，則積分不一定會每次都產生低估或高估。

積分測試證明

以下是展示積分測試證明的 4 個連續影片。你不需要按順序觀看這些影片才能理解和使用積分測試，但我們在這裡提供給那些感興趣的人。

積分測試證明 - 第 1 部分 (共 4 部分)
積分測試證明 - 第 2 部分 (共 4 部分)
積分測試證明 - 第 3 部分 (共 4 部分)
積分測試證明 - 第 4 部分 (共 4 部分)

影片推薦

如果你想完整地瞭解這個測試，我們推薦這個影片。
微積分 2 講座 9.3：使用積分測試來判斷級數的收斂/發散，p 級數

在這個影片片段 [11 分鐘 23 秒] 中，他很好地解釋了積分測試。他使用積分測試來證明 *p* 級數 $\textstyle {\sum {1/n}}$ 的發散性。
級數簡介 + 積分測試

在這個影片中，講師透過在兩個級數 $\textstyle {\sum {1/n}}$ 和 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 上更詳細地解釋積分測試，以證明一個發散，另一個收斂。
積分測試

這是對積分測試的另一個很好的解釋。他考察了和 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$ 。
積分測試 - 基本思路

這是一個很好的影片，它直觀地解釋了為什麼它有效。
級數的積分測試：為什麼它有效

最後一個影片討論了積分測試的餘項估計。雖然不理解如何使用積分測試並不需要了解這個，但這個影片將幫助你更直觀地理解正在發生的事情。
積分測試的餘項估計

例子

使用積分測試確定以下級數是收斂還是發散。

示例 1

$\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {x^{2}+1}{x}}$

這個級數不滿足第一個要求，即級數在所需的區間上遞減； $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {x^{2}+1}{x}}=\infty$ 。應用積分測試仍然會顯示級數的收斂性。

示例 2

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$

然而，該級數在區間上並非處處遞減。但是，它在 $n=1$ 處有一個相對最大值，之後它就一直遞減。因此，我們可以將該級數寫成 $\sum _{n=1}^{2}{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}+\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$ 。對該函式積分得到無窮積分 $\tan ^{-1}(n-3)$ ，從 $3$ 到無窮大，該積分收斂，因此該級數也收斂。

積分判別法練習題

使用積分判別法（如果可能）確定以下級數的收斂性或發散性。

帶書面解答的練習題

1. $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

提示

k\geq 1

k\geq 1

答案

收斂

解答

這是一個

p=2>1

的 *p* 級數，因此根據 *p* 級數檢驗，該級數收斂。
如下所示，我們展示了積分判別法。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\int _{1}^{\infty }{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{x^{-2}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\left[-x^{-1}\right]_{1}^{b}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{-b^{-1}+1^{-1}}}\\&=&0+1=1\end{array}}$

由於該反常積分是有限的，因此級數根據積分檢驗收斂。
注意：積分得出的值

1

，並不一定就是級數收斂到的值。在這個上下文中，這個數字的重要性僅僅在於它是有限的。

這是一個

p=2>1

的 *p* 級數，因此根據 *p* 級數檢驗，該級數收斂。
如下所示，我們展示了積分判別法。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\int _{1}^{\infty }{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{x^{-2}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\left[-x^{-1}\right]_{1}^{b}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{-b^{-1}+1^{-1}}}\\&=&0+1=1\end{array}}$

由於該反常積分是有限的，因此級數根據積分檢驗收斂。
注意：積分得出的值

1

，並不一定就是級數收斂到的值。在這個上下文中，這個數字的重要性僅僅在於它是有限的。

帶影片解答的練習題

1	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}$	答案收斂收斂	解答		2	$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n[(\ln n)^{2}+4]}}$	答案收斂收斂	解答