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為了使求導規則反轉以用於積分，我們繼續沿著這條路走，反轉乘積法則。

分部積分法

維基百科有相關資訊在 分部積分法

如果 $y=uv$ 其中 $u$ 和 $v$ 是 $x$ 的函式，那麼

y'=(uv)'=u'v+uv'

重新排列，

uv'=(uv)'-u'v

因此，

\int uv'dx=\int (uv)'\ dx-\int u'v\ dx

因此，

\int uv'\ dx=uv-\int vu'\ dx

或者

\int u\ dv=uv-\int v\ du

這是分部積分公式。它在許多涉及函式乘積的積分和其他積分中非常有用。

例如，為了處理

\int x\sin(x)dx

我們選擇 $u=x$ 和 $dv=\sin(x)dx$ 。有了這些選擇，我們有 $du=dx$ 和 $v=-\cos(x)$ ，我們有

\int x\sin(x)dx=-x\cos(x)-\int {\big (}-\cos(x){\big )}dx=-x\cos(x)+\int \cos(x)dx=\sin(x)-x\cos(x)+C

請注意，選擇 $u$ 和 $dv$ 至關重要。如果我們選擇相反的方式，使得 $u=\sin(x)$ 和 $dv=x\ dx$ ，結果將是

{\frac {x^{2}\sin(x)}{2}}-\int {\frac {x^{2}\cos(x)}{2}}dx

由此產生的積分並不比原來的積分更容易處理；我們可以說，這種分部積分的應用把我們引向了錯誤的方向。

因此，選擇很重要。一個普遍的指導原則可以幫助我們做出選擇，即儘可能地選擇 $u$ 作為被積函式的因子，該因子在求導時會變得更簡單。在最後一個例子中，我們看到 $\sin(x)$ 在求導時不會變得更簡單： $\cos(x)$ 與 $\sin(x)$ 一樣直觀。

分部積分方法的一個重要特點是，我們通常需要不止一次地使用它。例如，為了積分

\int x^{2}e^{x}dx

我們首先選擇 $u=x^{2}$ 和 $dv=e^{x}dx$ 來得到

\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx

請注意，我們仍然需要處理一個積分，我們透過再次使用分部積分來處理，其中 $u=x$ 和 $dv=e^{x}dx$ ，這將給我們

\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-e^{x})+C=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C

因此，由於被積函式中 $x^{2}$ 的冪，需要進行兩次分部積分。

請注意，任何 x 的冪在求導時都會變得更簡單，因此當我們看到一個形如

\int x^{n}f(x)dx

我們的第一個想法應該是考慮使用分部積分，其中 $u=x^{n}$ 。當然，為了使其有效，我們需要能夠寫出 $dv$ 的反導數。

示例

使用分部積分計算以下積分

\int e^{x}\sin(x)dx

解：如果我們令 $u=\sin(x)$ 和 $v'=e^{x}dx$ ，則我們有 $u'=\cos(x)dx$ 和 $v=e^{x}$ 。使用我們分部積分的規則得到

\int e^{x}\sin(x)dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)dx

我們似乎沒有取得什麼進展。

但是，如果我們再次使用分部積分，其中 $u=\cos(x)$ 和 $v'=e^{x}dx$ ，因此 $u'=-\sin(x)dx$ 和 $v=e^{x}$ ，我們得到

\int e^{x}\sin(x)dx=e^{x}\sin(x)-e^{x}\cos(x)-\int e^{x}\sin(x)dx

我們可以解這個恆等式來找到 $\sin(x)e^{x}$ 的反導數，得到

\int e^{x}\sin(x)dx={\frac {e^{x}{\big (}\sin(x)-\cos(x){\big )}}{2}}+C

對於定積分

只要保留端點，定積分的規則本質上與不定積分相同。

定積分的分部積分法 假設f 和g 可微，且它們的導數是連續的。那麼

$\int \limits _{a}^{b}f(x)g'(x)dx={\big (}f(x)g(x){\big )}{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx$

$=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx$ .