微積分/相關變化率

簡介

導數的一個有用應用是作為計算相關變化率的輔助工具。什麼是相關變化率？在以下示例中的每個案例中，我們計算的相關變化率是關於某個值的導數。我們根據某個已知量的變化率來計算這個導數。給定一個量變化的速率，要求我們找到與其相關的另一個值的速率。

如何解決

為了完成相關變化率問題，應該按照以下步驟進行。

1. 寫出所有相關的公式和有關問題的資訊。
   • 問題應該有一個你“控制”的變數（即你瞭解其值和變化率），以及一個你想找到其相關變化率的變數。
   • 通常，相關變化率問題要求關於時間的變化率。如果你的方程式看起來與時間沒有關係，不要驚慌！這將在稍後處理。
2. 將公式組合在一起，使你想找到其相關變化率的變數位於方程式的一側，所有其他變數位於另一側。
3. 對方程式關於時間進行求導。任何不是簡單常數的其他變數（例如 $\pi$) 也應該進行求導。注意！ 通常應該使用鏈式法則。
4. 你已經求導的其他變數應該在問題中給出，或者應該單獨計算。無論如何，代入已知資訊並簡化。
5. 你得到的這個值就是你的答案。

解決相關變化率問題的方法與最佳化問題驚人地相似，只是主要變數不需要設定為 0（它應該被找到），並且最佳化問題演算法中的額外變數在這種情況下的確是變數，在求導時應該將其視為變數而不是常數。

符號

牛頓的點符號用於表示變數關於時間的導數。也就是說，如果 $f$ 是一個依賴時間的量，那麼 ${\dot {f}}={\frac {df}{dt}}$，其中 $t$ 表示時間。這種符號是關於時間導數經常使用的場合的一個有用的縮寫，比如相關變化率。

例子

示例 1

一個圓錐形容器正在注水。求一個公式，該公式可以根據水的注水速率和圓錐形的尺寸找到水的注水速率。

• 寫出所有相關的公式或資訊片段。

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

• 對方程式關於時間求導。記住使用鏈式法則和乘積法則。

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

${\dot {V}}={\frac {\pi }{3}}\left(r^{2}{\dot {h}}+2rh{\dot {r}}\right)$

答案：${\dot {V}}={\frac {\pi }{3}}\left(r^{2}{\dot {h}}+2rh{\dot {r}}\right)$

示例 2

一個球形的熱氣球正在充氣。體積以每分鐘 2 立方英尺的速度變化。當半徑等於 2 英尺時，半徑關於時間的變化率是多少？

• 寫出所有相關的公式和資訊片段。

$V_{sphere}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

${\dot {V}}=2$

$r=2$

• 對體積方程兩邊關於時間求導。

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

${\dot {V}}$	$={\frac {4}{3}}3\pi r^{2}{\dot {r}}$
	$=4\pi r^{2}{\dot {r}}$

• 求解 ${\dot {r}}$ 。

${\dot {r}}={\frac {\dot {V}}{4\pi r^{2}}}$

• 代入已知資訊。

${\dot {r}}={\frac {2}{16\pi }}$

答案：${\dot {r}}={\frac {1}{8\pi }}$ 英尺/分鐘。

示例 3

一架飛機試圖將一個箱子投放到一棟房屋上。房屋在水平距離上是 300 英尺，在垂直距離上是 400 英尺。水平距離相對於時間的變化率與垂直距離相對於時間的變化率相同。在那一刻，箱子和房屋之間的距離是如何隨時間變化的？水平方向相對於時間的變化率是 -50 英尺/秒。

注意：由於垂直距離是向下的，所以 y 的變化率是負的。同樣，水平距離也在減小，因此它也是負的（它越來越近）。

描述飛機運動的水平和垂直關係的最簡單方法是畢達哥拉斯定理。

• 寫出所有相關的公式和資訊片段。

$x^{2}+y^{2}=s^{2}$ （其中 *s* 是飛機和房屋之間的距離）

$x=300$

$y=400$

$s={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {300^{2}+400^{2}}}=500$

${\dot {x}}={\dot {y}}=-50$

• 對距離公式的兩邊關於時間求導。

$x^{2}+y^{2}=s^{2}$

$2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=2s{\dot {s}}$

• 求解 ${\dot {s}}$.

${\dot {s}}$	$={\frac {2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}}{2s}}$
	$={\frac {x{\dot {x}}+y{\dot {y}}}{s}}$

• 代入已知資訊

${\dot {s}}$	$={\frac {(300)(-50)+(400)(-50)}{(500)}}$
	$={\frac {-35000}{500}}$
	$=-70$ 英尺/秒

答案: ${\dot {s}}=-70$ 英尺/秒。

例 4

沙子以每分鐘 10 立方英尺的速度落到一個圓錐形沙堆上。沙堆底部的半徑始終是其高度的 1/2。當沙堆深 5 英尺時，沙堆的高度增長速度是多少？

• 寫下所有相關的公式和資訊。

$V={\frac {\pi }{3}}r^{2}h$

${\dot {V}}=10$

$r={\frac {h}{2}}$

$h=5$

將 $r={\frac {h}{2}}$ 代入體積公式。

$V$	$={\frac {\pi }{3}}r^{2}h$
	$={\frac {\pi }{3}}h\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)$
	$={\frac {\pi }{12}}h^{3}$

• 對體積方程關於時間求導。

$V={\frac {\pi }{12}}h^{3}$

${\dot {V}}={\frac {\pi }{4}}h^{2}{\dot {h}}$

• 求解 ${\dot {h}}$ 。

${\dot {h}}={\frac {4}{\pi h^{2}}}{\dot {V}}$

• 代入已知資訊並化簡。

${\dot {h}}$	$={\frac {4}{\pi (5)^{2}}}10$
	$={\frac {8}{5\pi }}$ 英尺/分鐘

答案：${\dot {h}}={\frac {8}{5\pi }}$ 英尺/分鐘。

例 5

一根 10 英尺長的梯子靠在垂直的牆壁上。梯子的底部以每秒 2 英尺的恆定速度從牆上拉開。當梯子距離牆 8 英尺時，梯子的頂部沿牆下滑的速度是多少？

• 寫出所有相關的公式和資訊。

使用勾股定理來描述梯子的運動。

$x^{2}+y^{2}=l^{2}$ （其中 l 是梯子的長度）

$l=10$

${\dot {x}}=2$

$x=8$

$y={\sqrt {l^{2}-x^{2}}}={\sqrt {100-64}}={\sqrt {36}}=6$

• 對該方程關於時間求導。

$2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0$ ($l$ 是常數，所以 ${\frac {dl^{2}}{dt}}=0$ 。)

• 求解 ${\dot {y}}$ 。

$2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0$

$2y{\dot {y}}=-2x{\dot {x}}$

${\dot {y}}=-{\frac {x}{y}}{\dot {x}}$

• 代入已知資訊並化簡。

${\dot {y}}$	$=\left(-{\frac {8}{6}}\right)(2)$
	$=-{\frac {8}{3}}$ 英尺/秒

答案：${\dot {y}}=-{\frac {8}{3}}$ 英尺/秒。

練習

1. 一個球形氣球以 $100ft^{3}/min$ 的速率膨脹。 假設膨脹速率保持恆定，那麼當半徑為 $4ft$ 時，氣球的半徑以多快的速度增加？

2. 水從一個圓錐形水庫（頂點朝下）中抽出，水庫直徑為 $10ft$，深度為 $10ft$，以恆定速率 $3ft^{3}/min$ 抽出。當水深為 $6ft$ 時，水位下降的速度是多少？

3. 一艘船透過一根繩子被拉到碼頭，繩子的一端連線到船頭，另一端繞在一個直徑為 $2ft$ 的絞盤上。如果絞盤以恆定速度 $2rpm$ 轉動，船向碼頭移動的速度是多少？

4. 在時間 $t=0$，一個泵開始以 $e^{-t}$ 立方米/秒的速率填充一個半徑為 1 米的圓柱形儲水池。液體高度以 0.001 米/秒的速度增加是在什麼時候？