微積分/相關變化率/解答

1. 一個球形氣球以 $100ft^{3}/min$ 的速度膨脹。假設膨脹速率保持恆定，當氣球的半徑為 $4ft$ 時，氣球的半徑以多快的速度增加？

已知

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
${\dot {V}}=100$
$r=4$
求時間導數
${\dot {V}}=4\pi r^{2}{\dot {r}}$
求解 ${\dot {r}}$
${\dot {r}}={\frac {\dot {V}}{4\pi r^{2}}}$
代入已知值

${\dot {r}}={\frac {100}{4\pi 4^{2}}}=\mathbf {{\frac {25}{16\pi }}{\frac {ft}{min}}}$

2. 水從一個錐形水庫（頂點朝下）中抽取，水庫的直徑為 $10ft$，深度為 $10ft$，以恆定速率 $3ft^{3}/min$ 抽取。當水深為 $6ft$ 時，水位下降速度有多快？

已知

$h=2r$
$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi ({\frac {h}{2}})^{2}h={\frac {1}{12}}\pi h^{3}$
${\dot {V}}=3$
$h=6$
求時間導數
${\dot {V}}={\frac {1}{4}}\pi h^{2}{\dot {h}}$
求解 ${\dot {h}}$
${\dot {h}}={\frac {4{\dot {V}}}{\pi h^{2}}}$
代入已知值

${\dot {h}}={\frac {(4)(3)}{\pi 6^{2}}}=\mathbf {{\frac {1}{3\pi }}{\frac {ft}{min}}}$

3. 一艘船透過繩索被拉到碼頭，繩索一端連線到船頭，另一端繞在一個直徑為 $2ft$ 的絞盤上。如果絞盤以 $2rpm$ 的恆定速率旋轉，船以多快的速度向碼頭移動？

令 $R$ 為旋轉的圈數， $s$ 為船向碼頭移動的距離。

已知
${\frac {R}{s}}={\frac {1}{2\pi r}}$（每次旋轉都會在 s 上增加一個周長距離）
${\dot {R}}=2$
$r=1$
求解 $s$
$s=2\pi rR$
求時間導數
${\dot {s}}=2\pi r{\dot {R}}$
代入已知值

${\dot {s}}=2\pi (1)(2)=\mathbf {4\pi {\frac {ft}{min}}}$

4. 在時間 $t=0$，一個泵開始以 $e^{-t}$ 立方米每秒的速率填充半徑為 1 米的圓柱形水庫。在什麼時候液體高度以 0.001 米每秒的速度上升？