微積分/導論
微積分是數學中一個廣泛的領域，涵蓋瞬時變化率、曲線下的面積、序列和級數等主題。所有這些主題的根源都在於極限的概念，即分析函式在越來越接近某個特定點時的行為，但永遠不會真正達到該點。作為微積分方法的一個典型應用，考慮一輛正在移動的汽車。可以建立一個函式來描述汽車的位移（它相對於參考點的位置）在任何時間點的值，以及描述汽車在任何時間點的速度（運動速度和方向）的函式。如果汽車以恆定速度行駛，那麼代數就足以確定汽車在任何時間點的位移；如果速度未知但仍保持恆定，則可以使用汽車的位移（以及時間）來找到速度。
然而，汽車的速度不可能在行程開始時從零跳到每小時 35 英里，然後在整個行程中保持恆定，最後在行程結束時跳回零。當按下加速器時，速度會逐漸上升，而且通常不會以恆定的速率上升（即，駕駛員可能在開始時更用力地踩油門，以便加速）。使用微積分之前教授的方法無法描述這種運動，也無法在特定時間點找到速度和距離，而使用微積分不僅可以做到，而且非常簡單。
微積分有兩個基本應用：微分學 和 積分學。微分學最簡單的介紹涉及一個顯式數字序列。給定序列 (42, 43, 3, 18, 34)，該序列的微分將是 (1, -40, 15, 16)。新序列是從連續數字的差值推匯出來的，因此得名“微分”。很少，如果曾經的話，在顯式數字序列上使用微分，如這裡所示。相反，它們是從一個連續函式中推匯出來的，其方式將在後面描述。
積分學，像微分學一樣，也可以透過數字序列來介紹。請注意，在前面的示例中，幾乎可以僅透過其微分來推匯出原始序列。然而，積分不是取差值，而是取和。給定原始序列的第一個數字，這裡是 42，可以透過將微分中的每個連續數字相加來推匯出原始序列的其餘部分 (42+1, 43-40, 3+15, 18+16)。請注意，瞭解原始序列中的第一個數字對於推導積分至關重要。與微分一樣，積分是對連續函式而不是顯式數字序列執行的，但概念仍然相同。積分學允許我們計算幾乎任何形狀的曲線下的面積；在汽車的例子中，這使你能夠根據速度曲線來找到汽車的位移。這是因為曲線下的面積是運動的總距離，正如我們很快就會看到的。
微積分對於許多科學和工程領域至關重要。兩者都大量使用數學函式來描述和預測受連續變化影響的物理現象，這需要使用微積分。以我們的汽車為例：如果你想設計汽車，你需要知道如何計算力、速度、加速度和位置。所有這些都需要微積分。微積分對於研究氣體和粒子的運動、力的相互作用和能量的傳遞也是必不可少的。它在涉及比率的商業中也很有用。例如，涉及利息或供求曲線的方程都基於微積分的語言。
微積分還提供了理解函式的重要工具，並導致了新數學領域的發展，包括實數和複數分析、拓撲和非歐幾里得幾何。
儘管微積分具有功能性實用性（雙關語意），但許多非科學家和非工程師選擇學習微積分僅僅是為了挑戰自己。一小部分人接受了這樣的挑戰，然後發現微積分本身就很美。
學習微積分，像許多數學一樣，涉及兩個部分
- 理解概念：你必須能夠解釋當取導數時意味著什麼，而不僅僅是應用求導數的公式。否則，你將不知道你的解是否正確。例如，繪製圖表可以幫助闡明抽象概念。
- 符號操作：像其他數學分支一樣，微積分是用表示概念的符號書寫的。你將學習這些符號的含義以及如何使用它們。良好的三角學 和 代數 知識必不可少，特別是在積分學中。有時你需要將表示式操作成可用的形式，然後才能執行微積分運算。
在使用本教材之前，你需要具備一些基本技能。繼續我們的汽車運動的例子
- 你需要用符號來描述汽車的運動。這涉及理解函式。
- 你需要操作這些函式。這涉及代數。
- 你需要將符號轉換為圖形，反之亦然。這涉及理解函式的繪圖。
- 如果你瞭解三角函式中使用的函式，這也有幫助（儘管不是必須的），因為這些函式在科學中經常出現。
本教材的前四章涵蓋了典型高中或大學一年級課程中教授的主題。第一章，預備微積分，回顧了函式中對於掌握微積分最必不可少的那些方面。第二章，極限，介紹了極限過程的概念。它還討論了一些極限的應用，並提出使用極限來檢查函式的斜率和麵積。接下來的兩章，微分學 和 積分學，將極限應用於計算導數和積分。使用微積分基本定理，以及用於計算導數和積分而不訴諸極限過程的基本公式。第三章和第四章包括將前面學到的概念應用於計算體積，以及其他重要公式的文章。
微積分中心章節的其餘部分涵蓋了更高水平的微積分主題中教授的主題：引數方程和極座標方程、序列和級數、多元微積分和微分方程。
最後幾章使用正式符號涵蓋了相同的材料。它們的介紹速度快得多，並且涵蓋的定理比其他兩個部分多得多。它們假設你瞭解一些集合論和集合符號。