微積分/極座標積分

簡介

對極座標方程進行積分需要與笛卡爾座標系下的積分不同的方法，因此產生了不同的公式，這不像直接對函式 $f(x)$ 進行積分那樣直接。

證明

在建立積分概念時，我們使用矩形的黎曼和來逼近曲線下的面積。然而，對於極座標圖，可以使用半徑為 $r$ ，角度為 $d\theta$ 的圓形扇形來逼近面積。每個扇形的面積為 $\pi r^{2}{\frac {d\theta }{2\pi }}$ ，所有無限小的扇形面積之和為： ${\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}r^{2}d\theta$ 。這是用於對形式為 $r=f(\theta )$ 的極座標表示式進行積分的公式，其中 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 是你想要積分的曲線的端點。

積分學

積分割槽域 $R$ 由曲線 $r=f(\theta )$ 和射線 $\theta =a$ 和 $\theta =b$ 所包圍。

令 $R$ 表示曲線 $r=f(\theta )$ 和射線 $\theta =a$ 和 $\theta =b$ 所包圍的區域，其中 $0<b-a<2\pi$ 。然後，$R$ 的面積是

${\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}r^{2}d\theta$

區域 R 用 n 個扇形來近似（這裡，n = 5）。

該結果可以如下得出。首先，區間 $[a,b]$ 被分成 $n$ 個子區間，其中 $n$ 是任意正整數。因此，每個子區間的長度 $\theta$ 等於 $b-a$ （區間的總長度），除以 $n$ ，即子區間的數量。對於每個子區間 $i=1,2,\dots ,n$ ，設 $\theta _{i}$ 為子區間的中點，並構造一個圓心位於原點、半徑為 $r_{i}=f(\theta _{i})$ 、中心角為 $\delta \theta$ 、弧長為 $r_{i}\delta \theta$ 的扇形。因此，每個扇形的面積都等於 ${\tfrac {1}{2}}r_{i}^{2}\delta \theta$ 。因此，所有扇形的總面積為

$\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r_{i}^{2}\delta \theta$

隨著子區間數量 $n$ 的增加，面積的近似值不斷提高。當 $n\to \infty$ 時，該和式變為黎曼積分。

泛化

使用笛卡爾座標，微分面積元可以計算為 $dA=dx\,dy$ 。多元積分的替換規則指出，當使用其他座標時，必須考慮座標轉換公式的雅可比行列式

$J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\theta )&-r\sin(\theta )\\\sin(\theta )&r\cos(\theta )\end{vmatrix}}=r\cos ^{2}(\theta )+r\sin ^{2}(\theta )=r$

因此，極座標中的面積元素可以寫成

$dA=J\,dr\,d\theta =r\,dr\,d\theta$

現在，以極座標形式給定的函式可以按如下方式積分

$\iint _{R}g(r,\theta )dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{r(\theta )}g(r,\theta )\,r\,dr\,d\theta$

這裡，R 與上面相同，即曲線 $r=f(\theta )$ 和射線 $\theta =a$ 和 $\theta =b$ 所包圍的區域。

透過將 $g$ 完全等於 1，可以得到上面提到的 $R$ 面積公式。

應用

當相應的積分難以或無法用笛卡爾座標進行時，極座標積分通常很有用。例如，讓我們嘗試找到封閉單位圓的面積。也就是說，$x^{2}+y^{2}=1$ 所包圍區域的面積。

在笛卡爾座標系中

模板：組織部分

$\int \limits _{-1}^{1}\int \limits _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}\,dy\,dx=2\int \limits _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx$

為了評估這一點，通常使用三角替換法。透過設定 $\sin(\theta )=x$，我們得到 $\cos(\theta )={\sqrt {1-x^{2}}}$ 和 $\cos(\theta )d\theta =dx$。

${\begin{aligned}\int {\sqrt {1-x^{2}}}dx&=\int \cos ^{2}(\theta )d\theta \\&=\int {\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}d\theta \\&={\frac {\theta }{2}}+{\frac {\sin(2\theta )}{4}}+C={\frac {\theta }{2}}+{\frac {\sin(\theta )\cos(\theta )}{2}}+C&={\frac {\arcsin(x)+x{\sqrt {1-x^{2}}}}{2}}+C\end{aligned}}$

將此代回方程，我們得到

$2\int \limits _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx=2\left[{\frac {\arcsin(x)+x{\sqrt {1-x^{2}}}}{2}}\right]_{-1}^{1}=\arcsin(1)-\arcsin(-1)=\pi$

在極座標下

為了在極座標下進行積分，我們首先意識到 $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {1}}=1$，並且為了包含整個圓，$a=0$ 和 $b=2\pi$。

$\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{1}r\,dr\,d\theta =\int \limits _{0}^{2\pi }\left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}d\theta =\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {d\theta }{2}}=\left[{\frac {\theta }{2}}\right]_{0}^{2\pi }={\frac {2\pi }{2}}=\pi$

一個有趣的例子

極座標積分的一個不太直觀的應用可以得到高斯積分

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$

試試看！(提示：將 $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx$ 與 $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy$ 相乘。)