微積分/弧長

假設我們給定一個在區間 $[a,b]$ 上連續的函式 $f$，我們想要計算由 $f(x)$ 影像從 $x=a$ 到 $x=b$ 所繪製的曲線的長度。如果該圖是一個直線，這將很容易 - 直線長度的公式由畢達哥拉斯定理給出。並且如果該圖是一個分段線性函式，我們可以透過將每一段的長度加起來來計算長度。

問題是大多數圖不是線性的。儘管如此，我們可以用直線逼近曲線來估計曲線的長度。假設曲線 $C$ 由公式 $y=f(x)$ 給出，其中 $a\leq x\leq b$。我們將區間 $[a,b]$ 分成 $n$ 個子區間，每個子區間的寬度為 $\Delta x$，端點為 $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$。現在令 $y_{i}=f(x_{i})$，因此 $P_{i}=(x_{i},y_{i})$ 是曲線上位於 $x_{i}$ 上方的點。連線 $P_{i}$ 和 $P_{i+1}$ 的直線的長度是

${\bigl |}P_{i}P_{i+1}{\bigr |}={\sqrt {(y_{i+1}-y_{i})^{2}+(x_{i+1}-x_{i})^{2}}}$

因此，曲線 $C$ 長度的估計值是以下總和：

$\sum _{i=0}^{n-1}{\bigl |}P_{i}P_{i+1}{\bigr |}$

當我們將區間 $[a,b]$ 分成更多部分時，這將為 $C$ 的長度提供更好的估計。事實上，我們將此作為定義。

曲線的長度

曲線 $y=f(x)$ 在 $a\leq x\leq b$ 上的長度定義為：

$L=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n-1}{\bigl |}P_{i+1}P_{i}{\bigr |}$

弧長公式

假設 $f'$ 在 $[a,b]$ 上是連續的。那麼，由 $y=f(x)$ 給出的曲線在 $a$ 和 $b$ 之間的長度由以下公式給出：

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx$

用萊布尼茲記號表示：

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\tfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx$

證明： 考慮 $y_{i+1}-y_{i}=f(x_{i+1})-f(x_{i})$ 。根據均值定理，存在一個點$z_{i}$ 在$(x_{i+1},x_{i})$ 中，使得

$y_{i+1}-y_{i}=f(x_{i+1})-f(x_{i})=f'(z_{i})(x_{i+1}-x_{i})$

因此

${\bigl |}P_{i}P_{i+1}{\bigr |}$	$={\sqrt {(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {(x_{i+1}-x_{i})^{2}+f'(z_{i})^{2}(x_{i+1}-x_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {{\bigl (}1+f'(z_{i})^{2}{\bigr )}(x_{i+1}-x_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {1+f'(z_{i})^{2}}}\Delta x$

將此代入$C$ 長度的定義得到

$L=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n-1}{\sqrt {1+f'(z_{i})^{2}}}\Delta x$

現在，這是函式 $g(x)={\sqrt {1+f'(x)^{2}}}$ 在 $a$ 和 $b$ 之間的積分的定義（請注意 $g$ 是連續的，因為我們假設 $f'$ 是連續的）。因此

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx$

如前所述。

示例：曲線 $y=2x$ 從 $x=0$ 到 $x=1$ 的長度 為了檢查公式的正確性，讓我們計算曲線 $y=2x$ 從 $x=0$ 到 $x=1$ 的長度。首先，讓我們使用勾股定理來找到答案。 $P_{0}=(0,0)$ 和 $P_{1}=(1,2)$ 因此，曲線的長度，$s$，是 $s={\sqrt {2^{2}+1^{2}}}={\sqrt {5}}$ 現在讓我們使用公式 $s=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {1+\left({\tfrac {d(2x)}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {1+2^{2}}}\,dx={\sqrt {5}}x{\bigg |}_{0}^{1}={\sqrt {5}}$

練習

1. 求曲線 $y=x{\sqrt {x}}$ 從 $x=0$ 到 $x=1$ 的弧長。

2. 求曲線 $y={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$ 從 $x=0$ 到 $x=1$ 的弧長。

引數方程曲線弧長

對於引數方程曲線，即由 $x=f(t)$ 和 $y=g(t)$ 定義的曲線，公式略有不同

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {f'(t)^{2}+g'(t)^{2}}}\,dt$

證明： 證明類似於之前的證明：考慮 $y_{i+1}-y_{i}=g(t_{i+1})-g(t_{i})$ 和 $x_{i+1}-x_{i}=f(t_{i+1})-f(t_{i})$ 。

根據均值定理，在 $(t_{i+1},t_{i})$ 中存在點 $c_{i}$ 和 $d_{i}$ 使得

$y_{i+1}-y_{i}=g(t_{i+1})-g(t_{i})=g'(c_{i})(t_{i+1}-t_{i})$

和

$x_{i+1}-x_{i}=f(t_{i+1})-f(t_{i})=f'(d_{i})(t_{i+1}-t_{i})$

因此

${\bigl |}P_{i}P_{i+1}{\bigr |}$	$={\sqrt {(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {f'(d_{i})^{2}(t_{i+1}-t_{i})^{2}+g'(c_{i})^{2}(t_{i+1}-t_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {{\bigl (}f'(d_{i})^{2}+g'(c_{i})^{2}{\bigr )}(t_{i+1}-t_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {f'(d_{i})^{2}+g'(c_{i})^{2}}}\Delta t$

將此代入曲線的長度定義得出

$L=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n-1}{\sqrt {f'(d_{i})^{2}+g'(c_{i})^{2}}}\Delta t$

這等價於

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {f'(t)^{2}+g'(t)^{2}}}\,dt$

練習

3. 求由引數方程 $x(t)=R\cos(t)$ , $y(t)=R\sin(t)$ 給出的圓的周長，其中 $t$ 從 $0$ 變化到 $2\pi$ .

4. 求由引數方程 $x(t)=R{\bigl (}t-\sin(t){\bigr )}$ , $y(t)=R{\bigl (}1-\cos(t){\bigr )}$ 給出的 擺線 的一個拱的長度，其中 $t$ 從 $0$ 變化到 $2\pi$ 。