微積分/表面積

假設我們給定一個函式$f$，我們想要計算函式$f$繞給定直線旋轉得到的表面積。旋轉體表面積的計算與弧長的計算有關。

如果函式$f$是一條直線，則可以使用其他方法，例如圓柱體和圓臺的表面積公式。但是，如果$f$不是線性的，則必須使用積分技術。

回顧圓臺的側面積公式

$A=2\pi rl$

其中$r$是平均半徑，$l$是圓臺的母線。

對於$y=f(x)$和$a\leq x\leq b$，我們將$[a,b]$分成寬度相等的子區間$\delta x$，端點為$x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$。我們將每個點$y_{i}=f(x_{i})$對映到一個寬度為Δx，側面積為$A_{i}$的圓臺。

我們可以用以下和式估計旋轉體的表面積

$A=\sum _{i=0}^{n}A_{i}$

當我們將$[a,b]$分成越來越小的部分時，該估計值會給出表面積的更準確的值。

定義（旋轉曲面）

曲線$y=f(x)$繞某直線旋轉一週，當$a\leq x\leq b$時，其旋轉體的表面積定義為

$A=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}A_{i}$

表面積公式

假設$f$是區間$[a,b]$上的連續函式，並且$r(x)$表示$f(x)$到旋轉軸的距離。則繞某直線旋轉的側表面積由下式給出：

$A=2\pi \int _{a}^{b}r(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx$

用萊布尼茨記號表示為

$A=2\pi \int _{a}^{b}r(x){\sqrt {1+\left({\tfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$

證明

$A$	$=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}A_{i}$
	$=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}2\pi r_{i}l_{i}$
	$=2\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}r_{i}l_{i}$

當$n\to \infty$且$\Delta x\to 0$時，我們知道兩件事：

1. 每個圓臺的平均半徑$r_{i}$接近一個單一值

2. 每個圓錐臺的斜高$l_{i}$ 等於弧長的一個無窮小線段。

根據上一節討論的弧長公式，我們知道

$l_{i}={\sqrt {1+f'(x_{i})^{2}}}$

因此

$A$	$=2\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}r_{i}l_{i}$
	$=2\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}r_{i}{\sqrt {1+f'(x_{i})^{2}}}\Delta x$

根據積分的定義$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(c_{i})\Delta x_{i}$，我們可以將求和運算簡化為積分。

$A=2\pi \int _{a}^{b}r(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx$

或者如果$f$ 是關於$y$ 在區間$[c,d]$ 上

$A=2\pi \int _{c}^{d}r(y){\sqrt {1+f'(y)^{2}}}dy$