微積分/旋轉體體積

在本節中，我們將介紹 **旋轉體** 以及如何計算它們的體積。旋轉體是由二維區域繞軸旋轉形成的立體圖形。例如，將由曲線 $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ 和直線 $y=0$ 所包圍的半圓形區域繞 $x$ 軸旋轉會產生一個球體。利用微積分計算旋轉體體積主要有兩種方法：圓盤法和殼層法。

圓盤法

圖 1：旋轉此區域繞 x 軸會生成一個旋轉體。

圖 2：對圖 1 中生成區域的近似。

考慮由曲線 $y=f(x)$，在 $[a,b]$ 上連續，以及直線 $x=a$，$x=b$ 和 $y=0$ 所包圍的區域繞 $x$ 軸旋轉形成的立體圖形。我們可以想象用 圖 2 中所示的階梯函式 $g(x)$ 來近似 $f(x)$，該函式使用函式的右端近似。現在，當區域旋轉時，每個階梯下的區域會掃出一個圓柱體，我們知道如何計算它的體積，即

$V_{\rm {cylinder}}=\pi r^{2}h$

其中 $r$ 是圓柱體的半徑，$h$ 是圓柱體的高度。這個過程讓人想起我們之前用來計算面積的黎曼過程。讓我們嘗試將體積寫成黎曼和，並透過取細分無限小的極限，將體積等同於一個積分。

考慮近似中一個圓柱體的體積，例如從左邊數的第 $k$ 個。圓柱的半徑是階梯函式的高度，厚度是細分的長度。當有 $n$ 個細分，並且區域總長度為 $b-a$ 時，每個細分的寬度為

$\Delta x={\frac {b-a}{n}}$

由於我們使用的是右手近似，因此第 $k$ 個樣本點將是

$x_{k}=k\Delta x$

因此，第 $k$ 個圓柱的體積為

$V_{k}=\pi f(x_{k})^{2}\Delta x$

將區域中從 $a$ 到 $b$ 的所有圓柱體加起來，我們得到

$V_{\rm {approx}}=\sum _{k=1}^{n}\pi f(x_{k})^{2}\Delta x$

當 $n$ 趨於無窮大時取極限，我們得到精確的體積

$V=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\pi f(x_{k})^{2}\Delta x$

這等價於積分

$V=\int \limits _{a}^{b}\pi f(x)^{2}dx$

示例：球體體積 讓我們使用圓盤法計算球體的體積。我們的生成區域將是被曲線 $f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ 和直線 $y=0$ 所包圍的區域。我們的積分限將是曲線與直線 $y=0$ 相交處的 $x$ 值，即 $x=\pm r$ 。我們有 ${\begin{aligned}V_{\rm {sphere}}&=\int \limits _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx\\&=\pi \left(\int \limits _{-r}^{r}r^{2}dx-\int \limits _{-r}^{r}x^{2}dx\right)\\&=\pi \left(r^{2}x{\bigg |}_{-r}^{r}-{\frac {x^{3}}{3}}{\bigg |}_{-r}^{r}\right)\\&=\pi {\Big (}r^{2}{\bigl (}r-(-r){\bigr )}-{\tfrac {1}{3}}{\bigl (}r^{3}-(-r)^{3}{\bigr )}{\Big )}\\&=\pi \left(2r^{3}-{\frac {2r^{3}}{3}}\right)\\&=\pi {\frac {6r^{3}-2r^{3}}{3}}\\&={\frac {4\pi }{3}}r^{3}\end{aligned}}$

練習

1. 計算半徑為 $r$，高度為 $h$ 的圓錐的體積，該圓錐是由直線 $y=r-{\frac {r}{h}}x$ 與直線 $y=0$ 和 $x=0$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉而成的。

2. 計算曲線 $y=x^{2}$ 與直線 $x=1$ 和 $y=0$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉而成的旋轉體的體積。

圓環法

圖 3：將該區域繞 x 軸旋轉而成的旋轉體，其中心有一個不規則形狀的孔。

圖 4：對圖 3 中的生成區域進行近似。

圓盤法的一種延伸，適用於旋轉區域繞 $x$ 軸旋轉而成的旋轉體。考慮 圖 3 中區域繞 $x$ 軸旋轉而成的旋轉體。曲線 $f(x)$ 與 圖 1 中的相同，但現在我們的旋轉體中心有一個形狀不規則的孔，其體積是由曲線 $g(x)$ 繞 $x$ 軸旋轉而成的旋轉體形成的。我們近似區域的上邊界相同， $f_{\rm {step}}(x)$，與 圖 2 中的相同，但現在我們只延伸到 $g_{\rm {step}}(x)$，而不是一直延伸到 $x$ 軸。將每個塊繞 $x$ 軸旋轉，形成一個圓環形實體，外半徑為 $f_{\rm {step}}(x)$，內半徑為 $g_{\rm {step}}(x)$。第 $k$ 個空心圓柱的體積為

${\begin{aligned}V_{k}&=\pi \cdot f(x_{k})^{2}\Delta x-\pi \cdot g(x_{k})^{2}\Delta x\\&=\pi {\bigl (}f(x_{k})^{2}-g(x_{k})^{2}{\bigr )}\Delta x\end{aligned}}$

其中 $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$ 且 $x_{k}=k\Delta x$。整個近似實體的體積為

$V_{\rm {approx}}=\sum _{k=1}^{n}\pi {\bigl (}f(x_{k})^{2}-g(x_{k})^{2}{\bigr )}\Delta x$

當 $n$ 趨近於無窮大時，體積為

${\begin{aligned}V&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\pi {\bigl (}f(x_{k})^{2}-g(x_{k})^{2}{\bigr )}\Delta x\\&=\int \limits _{a}^{b}\pi {\bigl (}f(x)^{2}-g(x)^{2}{\bigr )}dx\end{aligned}}$

練習

3. 使用墊圈法求由 $y=R-{\frac {R}{h}}x$ 和直線 $y=r$ 以及 $x=0$ 所圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉而成的圓錐體的體積。

4. 計算由曲線 $y=x^{2}$ 和 $y=x^{3}$ 以及直線 $x=1$ 和 $y=0$ 所圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉生成的旋轉體的體積。

殼層法

圖 5：將該區域繞 y 軸旋轉生成的旋轉體。

圖 6：圖 5 中生成區域的近似圖形。

殼層法是另一種求旋轉體體積的方法。使用這種方法有時可以更容易地建立和計算積分。考慮將 圖 5 中的區域繞 $y$ 軸旋轉形成的旋轉體。雖然生成區域與 圖 1 中的相同，但旋轉軸已更改，這使得圓盤法不適合解決此問題。然而，像以前一樣將區域劃分，暗示了一種類似的求體積方法，只是這次我們不是將許多近似圓盤的體積加起來，而是將許多圓柱形殼層的體積加起來。考慮將 圖 6 中的區域繞 $y$ 軸旋轉形成的實體。第 $k$ 個矩形會掃出一個空心圓柱體，其高度為 ${\Big |}f(x_{k}){\Big |}$，內半徑為 $x_{k}$，外半徑為 $x_{k}+\Delta x$，其中 $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$ 且 $x_{k}=k\Delta x$，其體積為

$V_{k}$	$=\pi {\bigl (}(x_{k}+\Delta x)^{2}-x_{k}^{2}{\bigr )}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}$
	$=\pi {\bigl (}(x_{k}^{2}+2x_{k}\Delta x+\Delta x^{2})-x_{k}^{2}{\bigr )}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}$
	$=\pi (2x_{k}\Delta x+\Delta x^{2}){\Big |}f(x_{k}){\Big |}$

整個近似實體的體積是

$V_{\rm {approx}}=\sum _{k=1}^{n}\pi (2x_{k}\Delta x+\Delta x^{2}){\Big |}f(x_{k}){\Big |}$

當 $n$ 趨於無窮大時取極限，我們得到精確的體積

$V$	$=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\pi (2x_{k}\Delta x+\Delta x^{2}){\Big |}f(x_{k}){\Big |}$
	$=\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}+\sum _{k=1}^{n}\Delta x^{2}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}\right)$

由於$|f|$ 在$[a,b]$ 上是連續的，極值定理 意味著$|f|$ 在$[a,b]$ 上存在最大值$M$。利用這一點以及$\Delta x^{2}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}>0$ ，我們有

${\sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}\leq \sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}+\sum _{k=1}^{n}\Delta x^{2}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}\leq \sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}+\sum _{k=1}^{n}\Delta x^{2}M}$

但是

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\Delta x^{2}M$	$=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {b-a}{n}}\right)^{2}M$
	$=\lim _{n\to \infty }{\frac {(b-a)^{2}}{n}}M$
	$=0$

因此，根據夾逼定理

$\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}+\sum _{k=1}^{n}\Delta x^{2}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}\right)=\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}$

這僅僅是積分

$\int \limits _{a}^{b}2\pi x{\Big |}f(x){\Big |}dx$

練習

5. 使用殼層法，求一個半徑為 $r$，高度為 $h$ 的圓錐體的體積。該圓錐體是由一個合適的區域繞 $y$ 軸旋轉得到的。

6. 計算由曲線 $y=x^{2}$ 和直線 $x=1$ 以及 $y=0$ 所圍成的區域繞 $y$ 軸旋轉而成的旋轉體的體積。