微積分/體積

從直觀的角度來看體積時，我們通常認為它是物體佔用的“空間”量。不幸的是，除了最簡單的幾何形狀外，要為這個空間量分配一個數字來衡量它可能會很困難。微積分提供了一種新的工具，可以極大地擴充套件我們計算體積的能力。為了理解所涉及的思想，思考圓柱體的體積會有所幫助。

圓柱體的體積是使用公式 $V=\pi r^{2}h$ 計算的。圓柱體的底面是一個圓，它的面積由 $A=\pi r^{2}$ 給出。注意，圓柱體的體積是透過取其底面的面積並乘以高度 $h$ 得出的。對於更復雜的形狀，我們可以考慮透過取某個高度 $x$ 處橫截面的面積，並乘以某個小的高度變化 $\Delta x$ 來近似體積，然後將所有這些近似的面積從物體的底部到頂部加起來。這看起來像是黎曼和。牢記這一點，我們可以為 $\mathbb {R} ^{3}$（三維空間）中的實體體積開發更通用的公式。

正式定義

形式上，上面的想法表明我們可以透過計算橫截面面積沿某個維度的積分來計算實體的體積。在上面圓柱體的例子中，每個橫截面都是由相同的圓給出的，因此橫截面面積因此是一個常數函式，積分維度是垂直的（儘管它可以是我們想要的任何一個）。一般來說，如果 $S$ 是位於 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，位於 $x=a$ 和 $x=b$ 之間的一個實體，讓 $A(x)$ 表示垂直於 $x$ 軸並透過點 $x$ 的平面上取的橫截面的面積。

如果函式 $A(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續，那麼固體 $S$ 的體積 $V_{S}$ 由下式給出：

$V_{S}=\int \limits _{a}^{b}A(x)dx$

示例

示例 1：直圓柱體

圖 1

現在我們將使用關於如何計算體積的新思想來計算直圓柱體的體積。由於我們已經知道圓柱體體積的公式，這將為我們提供一個“健全性檢查”，以確保我們的公式是合理的。首先，我們選擇一個維度來進行積分。在本例中，沿著圓柱體的高度進行積分將極大地簡化計算，因此這是我們將選擇的積分方向。因此，我們將垂直方向稱為 $x$（見 圖 1）。現在我們找到函式 $A(x)$，它將描述我們圓柱體在高度為 $x$ 處的橫截面積。圓柱體的橫截面積只是一個圓。現在只需記住圓的面積是 $\pi r^{2}$，因此 $A(x)=\pi r^{2}$。在執行計算之前，我們必須選擇積分的界限。在本例中，我們簡單地定義 $x=0$ 為圓柱體的底部，因此我們將從 $x=0$ 積分到 $x=h$，其中 $h$ 是圓柱體的高度。最後，我們進行積分

${\begin{aligned}V_{\mathrm {cylinder} }&=\int \limits _{a}^{b}A(x)dx\\&=\int \limits _{0}^{h}\pi r^{2}dx\\&=\pi r^{2}\int \limits _{0}^{h}dx\\&=\pi r^{2}x{\bigg |}_{x=0}^{h}\\&=\pi r^{2}(h-0)\\&=\pi r^{2}h\end{aligned}}$

這正是我們熟悉的圓柱體體積公式。

示例 2：直圓錐

圖 2：直圓錐被垂直於錐軸的平面擷取的截面是一個圓。

在下一個示例中，我們將研究截面積不恆定的情況。考慮一個直圓錐。同樣，截面只是圓形。但現在半徑從圓錐的底到頂點變化。我們再次選擇 $x$ 作為垂直方向，底面在 $x=0$，頂點在 $x=h$，並用 $R$ 表示底部的半徑。雖然我們知道截面只是圓形，但除非我們找到一種方法來確定高度為 $x$ 處的圓的半徑，否則我們無法計算截面的面積。

圖 3：直圓錐被垂直於底並透過頂點的平面擷取的截面。

幸運的是，在這種情況下，我們可以利用我們從幾何學中瞭解的一些知識。我們可以想象在某個圓的直徑上垂直於底面切割圓錐一直到圓錐的頂點。然後，如果我們看一下我們剛剛建立的平坦側面，我們將只看到一個三角形，我們對其幾何圖形非常瞭解。從頂點到高度為 $x$ 的底部的直角三角形與從頂點到高度為 $h$ 的底部的直角三角形相似。這告訴我們 ${\frac {r}{h-x}}={\frac {R}{h}}$。因此，我們看到高度為 $x$ 處的圓的半徑為 $r(x)={\frac {R}{h}}(h-x)$。現在，使用我們熟悉的圓形面積公式，我們看到 $A(x)=\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}(h-x)^{2}$。

現在，我們準備進行積分。

${\begin{aligned}V_{\mathrm {cone} }&=\int \limits _{a}^{b}A(x)dx\\&=\int \limits _{0}^{h}\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}(h-x)^{2}dx\\&=\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}\int \limits _{0}^{h}(h-x)^{2}dx\end{aligned}}$

透過u-代換，我們可以令 $u=h-x$ ，則 $du=-dx$ ，我們的積分變為

${\begin{aligned}&&=\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}\left(-\int \limits _{h}^{0}u^{2}du\right)\\&&=\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}\left(-{\frac {u^{3}}{3}}{\bigg |}_{h}^{0}\right)\\&&=\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}\left(-0+{\frac {h^{3}}{3}}\right)\\&&={\frac {\pi }{3}}R^{2}h\end{aligned}}$

例3：球體

圖 4：確定球體中心距離 $|x|$ 的橫截面的半徑。

以類似的方式，我們可以使用我們的定義來證明球體體積的著名公式。首先，我們必須找到我們的橫截面面積函式，$A(x)$ 。考慮一個半徑為 $R$ 的球體，其中心位於 $\mathbb {R} ^{3}$ 的原點。如果我們再次垂直積分，則 $x$ 將從 $-R$ 變化到 $R$ 。為了找到特定橫截面的面積，繪製一個直角三角形，其點位於球體的中心、圓形橫截面的中心以及橫截面圓周上的一個點。如該圖所示，該三角形的邊長將是 $R$ 、$|x|$ 和 $r$ 。其中 $r$ 是圓形橫截面的半徑。然後，根據勾股定理，$r={\sqrt {R^{2}-|x|^{2}}}$，我們發現 $A(x)=\pi (R^{2}-|x|^{2})$ 。需要注意的是 $|x|^{2}=x^{2}$ ，因此我們不需要保留絕對值。

因此我們有：

${\begin{aligned}V_{\mathrm {sphere} }&=\int \limits _{a}^{b}A(x)dx\\&=\int \limits _{-R}^{R}\pi (R^{2}-x^{2})dx\\&=\pi \int \limits _{-R}^{R}R^{2}dx-\pi \int \limits _{-R}^{R}x^{2}dx\\&=\pi R^{2}x{\Bigg |}_{-R}^{R}-\pi {\frac {x^{3}}{3}}{\Bigg |}_{-R}^{R}\\&=\pi R^{2}(R-(-R))-\pi \left({\frac {R^{3}}{3}}-{\frac {(-R)^{3}}{3}}\right)\\&=2\pi R^{3}-{\frac {2\pi }{3}}R^{3}={\frac {4\pi }{3}}R^{3}\end{aligned}}$

擴充套件到非平凡固體

現在我們已經證明了我們的定義與我們先前的知識相符，我們將看到它如何幫助我們將視野擴充套件到無法使用基本幾何計算體積的固體。