微積分/旋轉體的體積/解答

1. 計算半徑為 $r$，高為 $h$ 的圓錐的體積，該圓錐是由曲線 $y=r-{\frac {r}{h}}x$，直線 $y=0$ 和 $x=0$ 所圍成的區域繞 $x$-軸旋轉生成的。

該區域在 $x$-方向上從 $x=0$ 延伸到 $x=h$。旋轉體的體積由以下公式給出：

${\begin{aligned}\int _{0}^{h}\pi \left(r-{\frac {r}{h}}x\right)^{2}dx&=\pi \int _{0}^{h}\left(r^{2}-{\frac {2r^{2}}{h}}x+{\frac {r^{2}}{h^{2}}}x^{2}\right)dx\\&=\pi r^{2}\left(\int _{0}^{h}dx-{\frac {2}{h}}\int _{0}^{h}xdx+{\frac {1}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}dx\right)\\&=\pi r^{2}\left(x{\bigr |}_{0}^{h}-{\frac {x^{2}}{h}}{\Bigr |}_{0}^{h}+{\frac {x^{3}}{3h^{2}}}{\Bigr |}_{0}^{h}\right)\\&=\pi r^{2}\left(h-h+{\frac {h}{3}}\right)\\&=\mathbf {\frac {\pi r^{2}h}{3}} \end{aligned}}$

2. 計算曲線 $y=x^{2}$，直線 $x=1$ 和 $y=0$ 所圍成的區域繞 $x$-軸旋轉生成的旋轉體的體積。

該區域在 $x$-方向上從 $x=0$ 擴充套件到 $x=1$。旋轉體的體積由下式給出：

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}\pi \left(x^{2}\right)^{2}dx&=\pi \int _{0}^{1}x^{4}dx\\&=\pi {\frac {x^{5}}{5}}{\biggr |}_{0}^{1}\\&=\mathbf {\frac {\pi }{5}} \end{aligned}}$

3. 使用圓環法求以 $y=R-{\frac {R}{h}}x$ 和直線 $y=r$ 以及 $x=0$ 為邊界圍成的區域繞 $x$-軸旋轉形成的圓錐體（中心有一個孔）的體積。

該區域的 $x$ 值從 $x=0$ 擴充套件到 $x=h$。體積為

${\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\pi \left(\left(R-{\frac {R}{h}}x\right)^{2}-r^{2}\right)dx\\&=\int _{0}^{h}\pi \left(R^{2}-2{\frac {R^{2}}{h}}x+{\frac {R^{2}}{h^{2}}}x^{2}-r^{2}\right)dx\\&=\pi \left(R^{2}x-{\frac {R^{2}}{h}}x^{2}+{\frac {R^{2}}{3h^{2}}}x^{3}-r^{2}x\right){\biggr |}_{0}^{h}\\&=\pi \left(R^{2}h-R^{2}h+{\frac {R^{2}h}{3}}-r^{2}h\right)\\&=\mathbf {\pi h\left({\frac {R^{2}}{3}}-r^{2}\right)} \end{aligned}}$

4. 計算由曲線 $y=x^{2}$ 和 $y=x^{3}$ 以及直線 $x=1$ 和 $y=0$ 所圍成的區域繞 $x$-軸旋轉生成的旋轉體的體積。

:${\begin{aligned}V&=\int _{0}^{1}\pi \left(\left(x^{2}\right){}^{2}-\left(x^{3}\right){}^{2}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}\pi \left(x^{4}-x^{6}\right)dx\\&=\pi \left({\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}\right){\biggr |}_{0}^{1}\\&=\pi \left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\right)\\&=\pi {\frac {7-5}{35}}\\&=\mathbf {\frac {2\pi }{35}} \end{aligned}}$

5. 使用殼層法，求一個半徑為 $R$，高為 $h$ 的圓錐的體積。該圓錐是由繞 $y$-軸旋轉的相應區域產生的。

您可以將適當的區域設定在四個象限中的任何一個。這裡我們在第一象限設定它。由於我們圍繞 $y$-軸旋轉，$y$ 方向將是高度，半徑將沿 $x$ 方向。所以我們需要一條經過點 $(0,h)$ 和 $(R,0)$ 的直線。這條線的斜率為

$m={\frac {0-h}{R-0}}=-{\frac {h}{R}}$

並且 $y$-截距為 $h$。因此，直線的方程為

$y=-{\frac {h}{R}}x+h$

區域的 $x$-值從 $x=0$ 延伸到 $x=R$。由於函式在整個區域內都為正，我們可以去掉絕對值符號。體積將為

${\begin{aligned}V&=\int _{0}^{R}2\pi x(-{\frac {h}{R}}x+h)dx\\&=\int _{0}^{R}2\pi (-{\frac {h}{R}}x^{2}+hx)dx\\&=2\pi (-{\frac {h}{3R}}x^{3}+{\frac {h}{2}}x^{2}){\biggr |}_{0}^{R}\\&=2\pi (-{\frac {hR^{2}}{3}}+{\frac {hR^{2}}{2}})\\&=2\pi {\frac {-2hR^{2}+3hR^{2}}{6}}\\&=\mathbf {\frac {\pi hR^{2}}{3}} \end{aligned}}$

6. 計算由曲線 $y=x^{2}$ 和直線 $x=1$ 和 $y=0$ 所包圍的區域繞 $y$-軸旋轉而產生的旋轉體的體積。

:${\begin{aligned}V&=\int _{0}^{1}2\pi xx^{2}dx\\&=\int _{0}^{1}2\pi x^{3}dx\\&=2\pi {\frac {x^{4}}{4}}{\biggr |}_{0}^{1}\\&=\mathbf {\frac {\pi }{2}} \end{aligned}}$