微積分/萊布尼茨公式計算圓周率

在數學中，馬德哈瓦-萊布尼茨公式計算圓周率，是由印度數學家和天文學家桑伽馬格拉瑪的馬德哈瓦在14世紀或15世紀的印度發現的。它後來被17世紀的數學家戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨重新發現並以他的名字命名，該公式指出

$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}},$

這是一個交替級數。雖然這個級數很容易寫出來並計算，但它是一個非常低效的計算 $\pi$ 的方法，因此它很少在現代計算 $\pi$ 中使用。

證明

根據交替級數檢驗，該級數收斂。它滿足檢驗的兩個條件

I) 項在絕對值上單調遞減。
II) 項隨著索引 $n$ 趨於無窮而趨於0。

萊布尼茨公式計算圓周率是格雷戈裡的反正切級數的一個特例，

$\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots$ ,

由數學家詹姆斯·格雷戈裡在1668年發現。

由於 $\tan {\frac {\pi }{4}}=1$ ，因此， $\arctan 1={\frac {\pi }{4}}$ ，該公式是透過將 $x=1$ 代入格雷戈裡的級數推導並證明的。

值得注意的是， $x=1$ 位於格雷戈裡級數的收斂圓的邊界上。對於 $x>1$ ，交替級數不滿足兩個標準：對於 $x>1$ ，項的絕對值增加，並且項趨於無窮大，這與交替級數收斂所需的相反。即使是 $x$ 的值非常接近 1，但仍然大於它，例如 $x=1.0001$ ，仍然位於級數的收斂半徑之外。

表格

以下是前 10 個部分和以及選定的其他值得注意的部分和的表格。這個級數收斂於 ${\frac {\pi }{4}},$ ，精確到 16 位有效數字為 0.7853981633974483。透過將部分和乘以 4，找到的 $\pi$ 本身的近似值也顯示出來。精確到 16 位有效數字， $\pi =3.1415926535897932$ .

注意：第二個和第三個部分和分別恰好是 ${\frac {2}{3}}$ 和 ${\frac {13}{15}}$ 。兩個小數都具有重複的“6”；對於這些條目，僅顯示前三個六，後面跟著三個點表示六無休止地重複。對於所有後面的項，總和四捨五入到小數點後 9 位，或最接近的十億分之一。

n	部分和	對 pi 的近似值
1	1	1
2	0.666...	2.666...
3	0.8666...	3.4666...
4	0.723809524	2.895238095
5	0.834920635	3.339682540
6	0.744011544	2.976046176
7	0.820934621	3.283738484
8	0.754267954	3.017071817
9	0.813091484	3.252365935
10	0.760459905	3.041839619
11	0.808078952	3.232315809
12	0.764600691	3.058402766
50	0.780398663	3.121594653
100	0.782898226	3.131592903
250	0.784398167	3.137592670
500	0.784898164	3.139592656
1000	0.785148163	3.140592654
5000	0.785348163	3.141392654
10000	0.785373163	3.141492654
25000	0.785388163	3.141552654

一個有趣的現象

您可能已經注意到，在“四捨五入”的數字（如 100 或 5000）處選擇的後面部分和看起來非常類似於極限和。例如，在 100 項的 3.131592903 的部分和，即使在第二位數字上與“3.14159265...”不一致（用“3”而不是“4”），在接下來的四位數字上也一致，共享“1592”部分。而在 1000 項的 3.140592654 的部分和在第三位數字上不同，但隨後在“59265”部分上與 pi 一致。類似的行為也可以在部分和的第二列中看到，例如第 250 項，它在第三位數字上不同，但在第四位數字到第八位數字上一致（0.78439816 而不是 0.78539816）。這種模式在表格中剩餘的部分和中非常一致。這並非偶然。這可以用尤拉數來預測。對於任何正整數 $n$ ，可以使用以下公式獲得 $n$ 項對 $\pi$ 的非常接近的近似值

如果 $n$ 是奇數，則 $n$ 次對 $\pi$ 的近似值為 $\pi +{\frac {1}{n}}$ ，而 $n$ 次部分和近似為 ${\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{4n}}$ .
如果 $n$ 是偶數，則 $n$ 次對 $\pi$ 的近似值為 $\pi -{\frac {1}{n}}$ ，而 $n$ 次部分和近似為 ${\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4n}}$ .

此近似的誤差為 $n^{-3}$ 量級，因此即使對於相對較小的 $n$ 值，此近似值也相當準確。即使只有四項，公式預測的 0.722898163 近似值與真實部分和 0.723809524 的差異也只有大約 ${\frac {1}{1100}}$ ，小於 10⁻³。對於所有 $n>40$ ，誤差小於 10⁻⁶，對於所有 $n>856$ ，誤差小於 10⁻¹⁰。