微積分/冪級數

冪級數 的研究旨在研究可以在一定區間內逼近某個函式的級數。

動機

初等微積分 (微分) 用於獲取關於在一點（即切線）與曲線相切的直線的資訊。 這是透過計算曲線的梯度或斜率來完成的，在單個點上。 但是，這並沒有為我們在更廣泛的區間內給定點上曲線的實際值提供可靠的資訊。 這就是冪級數概念變得有用的地方。

一個例子

考慮曲線 $y=\cos(x)$ ，關於點 $x=0$ 。 一個天真的近似值將是直線 $y=1$ 。 但是，為了獲得更準確的近似值，請觀察 $\cos(x)$ 在 $x=0$ 附近看起來像一個倒置的拋物線 - 因此，我們可能想知道哪個拋物線可以近似於 $\cos(x)$ 在此點附近。 這條曲線可能會想到

$y=1-{\frac {x^{2}}{2}}$

事實上，這是對 $\cos(x)$ 使用 2 次多項式（即 $x^{2}$ 的最高項）的最佳估計 - 但我們如何知道這是真的？ 這就是冪級數的研究：使用多項式找到函式的最佳近似值。

定義

一個冪級數（在一個變數中）是以下形式的無窮 級數

$f(x)=a_{0}(x-c)^{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots$ （其中 $c$ 是一個常數）

或者，等效地，

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

收斂半徑

當使用冪級數作為計算函式值的一種替代方法時，方程

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

只能用於研究 $f(x)$ 冪級數收斂的地方 - 這可能發生在一個有限的範圍內，或者對於所有 實數。

冪級數收斂到函式的區間大小（圍繞其中心）被稱為收斂半徑。

一個例子

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ （一個幾何級數）

當 $|x|<1$ 時，它收斂，範圍為 $f(x)-1<x<1$ ，因此，以 0 為中心的收斂半徑為 1。還應該注意到，在收斂半徑的端點處，即 $x=1$ 和 $x=-1$ 處，冪級數不收斂。

另一個例子

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

使用 比率檢驗，當連續項的比率小於 1 時，此級數收斂

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {n!}{x^{n}}}\right|<1$

$=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n}x^{1}}{n!(n+1)}}{\frac {n!}{x^{n}}}\right|<1$

$=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|<1$

這總是成立的 - 因此，此冪級數具有無限的收斂半徑。實際上，這意味著冪級數始終可以用作原始函式 $e^{x}$ 的有效替代。

抽象

如果我們對任意冪級數使用比率檢驗，我們會發現它在以下情況下收斂

$\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}x|}{|a_{n}|}}<1$

當

$\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}x|}{|a_{n}|}}>1$

時，級數發散。

因此，收斂半徑為

$r=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n}|}{|a_{n+1}|}}$$r=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n}|}{|a_{n+1}|}}$

如果此極限發散到無窮大，則級數具有無窮大的收斂半徑。

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在收斂半徑內，冪級數可以逐項微分和積分。

${\frac {d}{dx}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n}$

$\int \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k$$\int \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k$

微分和積分的收斂半徑與原始級數相同。

這使我們能夠精確地求和合適的冪級數。例如，

${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}\pm \cdots$${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}\pm \cdots$

這是一個幾何級數，當 $|x|<1$ 時收斂。兩邊積分，我們得到

這也會在 $|x|<1$ 時收斂。當 $x=-1$ 時，這是一個發散的調和級數；當 $x=1$ 時，這是一個收斂到 $\ln(2)$ 的交替級數，項數逐漸減小 - 這是在測試極值。

它也允許我們為無法精確計算的積分（例如誤差函式）寫出級數

$e^{-x^{2}}=\sum (-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{n!}}$

左側無法精確積分，但右側可以。

$\int \limits _{0}^{z}e^{-x^{2}}dx=\sum {\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)n!}}$

這為我們提供了該和的級數表示，該級數具有無限的收斂半徑，使我們能夠根據需要儘可能地逼近該積分。

請注意，這不是一個冪級數，因為 $z$ 的冪不是索引。

進一步閱讀

• "解碼羅塞塔石碑"，作者傑克·W·克倫肖，2005 年 10 月 12 日