微積分/積分技巧/三角函式積分

← 積分技巧/三角代換	微積分	積分技巧/部分分式分解 →
	積分技巧/三角函式積分

當被積函式主要或完全基於三角函式時，以下技巧很有用。

正弦和餘弦的冪

我們將給出一種通用方法來求解一般形式為 $\cos ^{m}(x)\cdot \sin ^{n}(x)$ 的被積函式。首先讓我們來看一個例子。

\int \cos ^{3}(x)\sin ^{2}(x)dx

注意被積函式包含餘弦的奇數次冪。所以將其改寫為

\int \cos ^{2}(x)\sin ^{2}(x)\cos(x)dx

我們可以透過進行代換 $u=\sin(x)$ 所以 $du=\cos(x)dx$ 來求解。然後我們可以使用恆等式將整個被積函式寫成 $u$ 的形式

\cos ^{2}(x)=1-\sin ^{2}(x)=1-u^{2}

.

所以

$\int \cos ^{3}(x)\sin ^{2}(x)dx$	$=\int \cos ^{2}(x)\sin ^{2}(x)\cos(x)dx$
	$=\int (1-u^{2})u^{2}du$
	$=\int u^{2}du-\int u^{4}du$
	$={\frac {u^{3}}{3}}+{\frac {u^{5}}{5}}+C$
	$={\frac {\sin ^{3}(x)}{3}}-{\frac {\sin ^{5}(x)}{5}}+C$

只要存在正弦或餘弦的奇數次冪，這種方法就有效。

當 **任一** $m$ 或 $n$ 為 **奇數** 時，求解 $\int \cos ^{m}(x)\sin ^{n}(x)dx$ 。

如果 $m$ 是奇數，則用 $u=\sin(x)$ 代替，並使用恆等式 $\cos ^{2}(x)=1-\sin ^{2}(x)=1-u^{2}$ 。

如果 $n$ 是奇數，則用 $u=\cos(x)$ 代替，並使用恆等式 $\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)=1-u^{2}$ 。

例子

求 $\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{40}(x)\sin ^{3}(x)dx$ 。

由於 $\sin$ 的冪次為奇數，我們令 $u=\cos(x)$ ，因此 $du=-\sin(x)dx$ 。請注意，當 $x=0$ 時，我們有 $u=\cos(0)=1$ ，而當 $x={\frac {\pi }{2}}$ 時，我們有 $u=\cos({\tfrac {\pi }{2}})=0$ 。

$\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{40}(x)\sin ^{3}(x)dx$	$=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{40}(x)\sin ^{2}(x)\sin(x)dx$
	$=-\int \limits _{1}^{0}u^{40}(1-u^{2})du$
	$=\int \limits _{0}^{1}u^{40}(2-u^{2})du$
	$=\int \limits _{0}^{5}(u^{40}-u^{42})du$
	$=\left({\frac {u^{41}}{41}}-{\frac {u^{43}}{43}}\right){\Bigg \|}_{0}^{1}$
	$={\frac {1}{41}}-{\frac {1}{43}}$

當 $m$ 和 $n$ 都是偶數時，情況會更復雜一些。

要計算 $\int \cos ^{m}(x)\sin ^{n}(x)dx$ 當 $m$ 和 $n$ 都是 **偶數** 時。

使用恆等式 $\sin ^{2}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}$ 和 $\cos ^{2}(x)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$ 。

例子

求解 $\int \sin ^{2}(x)\cos ^{4}(x)dx$ 。

因為 $\sin ^{2}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}$ 以及 $\cos ^{2}(x)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$ ，我們有

\int \sin ^{2}(x)\cos ^{4}(x)dx=\int \left({\frac {1-\cos(2x)}{2}}\right)\left({\frac {1+\cos(2x)}{2}}\right)^{2}dx

展開後，被積函式變為

{\frac {1}{8}}\int \left(1-\cos ^{2}(2x)+\cos(2x)-\cos ^{3}(2x)\right)dx

使用倍角公式

$I$	$={\frac {1}{8}}\left(\int 1dx-\int \cos ^{2}(2x)dx+\int \cos(2x)dx-\int \cos ^{3}(2x)dx\right)$
	$={\frac {1}{8}}\left(x-{\frac {1}{2}}\int {\Big (}1+\cos(4x){\Big )}dx+{\frac {\sin(2x)}{2}}-\int \cos ^{2}(2x)\cos(2x)dx\right)$
	TODO: 糾正公式 $={\frac {1}{164}}\left(x+\sin(2x)+\int \cos(4x)dx-2\int {\Big (}1-\sin ^{2}(2x){\Big )}\cos(2x)dx\right)$

然後我們透過計算得到

I={\frac {x}{16}}-{\frac {\sin(4x)}{64}}+{\frac {\sin ^{3}(2x)}{48}}+C

Tan 和 Secant 的冪

為了計算 $\int \tan ^{m}(x)\sec ^{n}(x)dx$ 。

如果 $n$ 是偶數且 $n\geq 2$ ，則用 $u=tan(x)$ 代入並使用恆等式 $\sec ^{2}(x)=1+\tan ^{2}(x)$ 。

如果 $n$ 和 $m$ 都是奇數，則用 $u=\sec(x)$ 代入並使用恆等式 $\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)-1$ 。

如果 $n$ 是奇數且 $m$ 是偶數，則使用恆等式 $\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)-1$ 並應用降階公式對 $\sec ^{j}(x)dx$ 進行積分，當 $j=1,2$ 時，可以使用下面的示例來進行積分。

示例 1

求 $\int \sec ^{2}(x)dx$ 。

$\sec(x)$ 的冪次是偶數。用 $u=\tan(x)$ 代入，得到 $du=\sec ^{2}(x)dx$ ，所以

$\int \sec ^{2}(x)dx=\int du=u+C=\tan(x)+C.$

示例 2

求 $\int \tan(x)dx$ 。

令 $u=\cos(x)$ ，則 $du=-\sin(x)dx$ 。然後

$\int \tan(x)dx$	$=\int {\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}dx$
	$=\int -{\frac {du}{u}}$
	$=-\ln \|u\|+C$
	$=-\ln {\Big \|}\cos(x){\Big \|}+C$
	$=\ln {\Big \|}\sec(x){\Big \|}+C$

例 3

求 $\int \sec(x)dx$ 。

解決此問題的技巧是像這樣乘以和除以相同的東西

$\int \sec(x)dx$	$=\int \sec(x){\frac {\sec(x)+\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}}dx$
	$=\int {\frac {\sec ^{2}(x)+\sec(x)\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}}dx$

進行替換 $u=\sec(x)+\tan(x)$ ，所以 $du=\sec(x)\tan(x)+\sec ^{2}(x)dx$ 。

$\int \sec(x)dx$	$=\int {\frac {du}{u}}$
	$=\ln \|u\|+C$
	$\ln {\Big \|}\sec(x)+\tan(x){\Big \|}+C$

更多三角函式組合

對於積分 $\int \sin(nx)\cos(mx)dx$ 或 $\int \sin(nx)\sin(mx)dx$ 或 $\int \cos(nx)\cos(mx)dx$ ，使用恆等式

$\sin(a)\cos(b)={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}$

$\sin(a)\sin(b)={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}$

$\cos(a)\cos(b)={\frac {\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}}$