微積分/積分技巧/降階公式

降階公式 是一種允許我們透過降階將積分問題簡化為解決更簡單的積分問題的公式，然後進一步降階，如此反覆。

例如，如果我們令

$I_{n}=\int x^{n}e^{x}dx$

分部積分法可以將它簡化為

$I_{n}=x^{n}e^{x}-n\int x^{n-1}e^{x}dx=$

$I_{n}=x^{n}e^{x}-nI_{n-1}$

這就是我們想要的降階公式。注意，我們停在

$I_{0}=e^{x}$ .

類似地，如果我們令

$I_{n}=\int \sec ^{n}(\theta )d\theta$

那麼分部積分法可以將它簡化為

$I_{n}=\sec ^{n-2}(\theta )\tan(\theta )-(n-2)\int \sec ^{n-2}(\theta )\tan ^{2}(\theta )d\theta$

使用三角恆等式，$\tan ^{2}(\theta )=\sec ^{2}(\theta )-1$，我們現在可以寫成

$I_{n}$	$=\sec ^{n-2}(\theta )\tan(\theta )+(n-2)\left(\int \sec ^{n-2}(\theta )d\theta -\int \sec ^{n}(\theta )d\theta \right)$
	$=\sec ^{n-2}(\theta )\tan(\theta )+(n-2)\left(I_{n-2}-I_{n}\right)$

重新排列，我們得到

$I_{n}={\frac {\sec ^{n-2}(\theta )\tan(\theta )}{n-1}}+{\frac {n-2}{n-1}}I_{n-2}$

注意，我們停在 $n=1$ 或者 2，分別取決於 $n$ 是奇數還是偶數。

正如這兩個例子所示，當被積函式包含一個冪時，分部積分法通常會產生降階公式。