微積分/積分技術/部分分式分解

假設我們要找到 $\int {\frac {3x+1}{x^{2}+x}}dx$ 。一種方法是透過找到常數 $A$ 和 $B$ 來簡化被積函式，使得

${\frac {3x+1}{x^{2}+x}}={\frac {3x+1}{x(x+1)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x+1}}$ .

這可以透過交叉相乘分數來完成，得到

${\frac {3x+1}{x(x+1)}}={\frac {A(x+1)+Bx}{x(x+1)}}$

由於兩邊具有相同的分母，我們必須有

$3x+1=A(x+1)+Bx$

這是一個關於 $x$ 的方程，因此無論 $x$ 是什麼值，它都必須成立。如果我們將 $x=0$ 代入，我們得到 $A=1$ ，並將 $x=-1$ 代入得到 $=-B=-2$ ，所以 $B=2$ 。因此，我們看到

${\frac {3x+1}{x^{2}+x}}={\frac {1}{x}}+{\frac {2}{x+1}}$

回到原始積分

$\int {\frac {3x+1}{x^{2}+x}}dx$	$=\int {\frac {dx}{x}}+\int {\frac {2}{x+1}}dx$
	$=\int {\frac {dx}{x}}+2\int {\frac {dx}{x+1}}$
	$=\ln |x|+2\ln {\Big |}x+1{\Big |}+C$

將被積函式重寫為更簡單的分數之和，使我們能夠將初始積分簡化為更簡單的積分之和。事實上，這種方法適用於任何有理函式的積分。

部分分式法

為了將有理函式 ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ 進行分解

• 步驟 1 使用長除法（如果需要）確保 $P(x)$ 的次數小於 $Q(x)$ 的次數（參見第 1.1 節的 分解有理函式）。
• 步驟 2 儘可能地分解 Q(x)。
• 步驟 3 寫下部分分式分解的正確形式（見下文）並求解常數。

為了分解 Q(x)，我們必須將其寫成線性因子（形如 $ax+b$）和不可約二次因子（形如 $ax^{2}+bx+c$，其中 $b^{2}-4ac<0$）的乘積。

某些因子可能是重複的。例如，如果 $Q(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$，我們將 $Q(x)$ 分解為

$Q(x)=x(x^{2}-6x+9)=x(x-3)(x-3)=x(x-3)^{2}$

重要的是，在每個二次因子中，我們都有 $b^{2}-4ac<0$，否則可以進一步分解該二次部分。例如，如果 $Q(x)=x^{3}-3x^{2}+2x$，那麼我們可以寫成

$Q(x)=x(x^{2}-3x+2)=x(x-1)(x-2)$

現在我們將展示如何將 ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ 寫成以下形式的項的和

${\frac {A}{(ax+b)^{k}}}$ 和 ${\frac {Ax+B}{(ax^{2}+bx+c)^{k}}}$

具體怎麼做取決於 $Q(x)$ 的因式分解，現在我們給出可能出現的四種情況。

Q(x) 是線性因式的乘積，沒有重複

這意味著 $Q(x)=(a_{1}x+b_{1})(a_{2}x+b_{2})\cdots (a_{n}x+b_{n})$，其中沒有因式重複，也沒有因式是另一個因式的倍數。

對於每個線性項，我們寫下類似於 ${\frac {A}{(ax+b)}}$ 的東西，因此，我們總共寫下了

${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}}+{\frac {A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}}+\cdots +{\frac {A_{n}}{a_{n}x+b_{n}}}$

示例 1 求 $\int {\frac {1+x^{2}}{(x+3)(x+5)(x+7)}}dx$ 這裡我們有 $P(x)=1+x^{2}\ ,\ Q(x)=(x+3)(x+5)(x+7)$，並且 *Q(x)* 是線性因式的乘積。因此，我們寫下 ${\frac {1+x^{2}}{(x+3)(x+5)(x+7)}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x+5}}+{\frac {C}{x+7}}$ 將等式兩邊乘以分母 $1+x^{2}=A(x+5)(x+7)+B(x+3)(x+7)+C(x+3)(x+5)$ 代入三個不同的x值，得到三個關於未知常數的方程 ${\begin{matrix}x=-3&1+3^{2}=2\cdot 4A\\x=-5&1+5^{2}=-2\cdot 2B\\x=-7&1+7^{2}=(-4)\cdot (-2)C\end{matrix}}$ 所以 $A={\tfrac {5}{4}}\ ,\ B=-{\tfrac {13}{2}}\ ,\ C={\tfrac {25}{4}}$， 以及 ${\frac {1+x^{2}}{(x+3)(x+5)(x+7)}}={\frac {5}{4x+12}}-{\frac {13}{2x+10}}+{\frac {25}{4x+28}}$ 現在可以對等式左側進行積分。 $\int {\frac {1+x^{2}}{(x+3)(x+5)(x+7)}}dx={\tfrac {5}{4}}\ln {\Big |}x+3{\Big |}-{\tfrac {13}{2}}\ln {\Big |}x+5{\Big |}+{\tfrac {25}{4}}\ln {\Big |}x+7{\Big |}+C$

練習

使用部分分式分解的方法求解以下積分：

1. $\int {\frac {2x+11}{(x+6)(x+5)}}dx$

2. $\int {\frac {7x^{2}-5x+6}{(x-1)(x-3)(x-7)}}dx$

Q(x) 是線性因子的乘積，其中一些是重複的

如果 $(ax+b)$ 出現在 $Q(x)$ 的因式分解中 k 次，那麼不要寫 ${\frac {A}{ax+b}}$，而是使用更復雜的表示式

${\frac {A_{1}}{ax+b}}+{\frac {A_{2}}{(ax+b)^{2}}}+{\frac {A_{3}}{(ax+b)^{3}}}+\cdots +{\frac {A_{k}}{(ax+b)^{k}}}$

例 2 求 $\int {\frac {dx}{(x+1)(x+2)^{2}}}$ 這裡 $P(x)=1$ 和 $Q(x)=(x+1)(x+2)^{2}$ 我們寫 ${\frac {1}{(x+1)(x+2)^{2}}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x+2}}+{\frac {C}{(x+2)^{2}}}$ 將等式兩邊乘以分母 $1=A(x+2)^{2}+B(x+1)(x+2)+C(x+1)$ 代入三個 $x$ 的值，得到未知常數的三個方程， ${\begin{matrix}x=0&1=2^{2}A+2B+C\\x=-1&1=A\\x=-2&1=-C\end{matrix}}$ 因此 $A=1\ ,\ B=-1\ ,\ C=-1$，並且 ${\frac {1}{(x+1)(x+2)^{2}}}={\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x+2}}-{\frac {1}{(x+2)^{2}}}$ 現在可以對等式左側進行積分。 $\int {\frac {dx}{(x+1)(x+2)^{2}}}=\ln \left|x+1\right|-\ln \left|x+2\right|+{\frac {1}{x+2}}+C$ 現在我們利用對數的性質簡化函式。 $\ln \left|x+1\right|-\ln \left|x+2\right|+{\frac {1}{x+2}}+C=\ln \left|{\frac {x+1}{x+2}}\right|+{\frac {1}{x+2}}+C$

練習

3. 使用部分分式法求解 $\int {\frac {x^{2}-x+2}{x(x+2)^{2}}}dx$。

Q(x) 包含一些未重複的二次項

如果 $ax^{2}+bx+c$ 出現，我們使用 ${\frac {Ax+B}{ax^{2}+bx+c}}$ 。

練習

使用部分分式法求解以下積分。

4. $\int {\frac {2}{(x+2)(x^{2}+3)}}dx$

5. $\int {\frac {dx}{(x+2)(x^{2}+2)}}$

Q(x) 包含一些重複的二次因子

如果 $ax^{2}+bx+c$ 出現了 k 次，則使用

${\frac {A_{1}x+B_{1}}{ax^{2}+bx+c}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(ax^{2}+bx+c)^{2}}}+{\frac {A_{3}x+B_{3}}{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}+\cdots +{\frac {A_{k}x+B_{k}}{(ax^{2}+bx+c)^{k}}}$

練習

使用部分分式法求解以下積分。

6. $\int {\frac {dx}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}$