微積分/雙曲函式的導數

雙曲函式是一組與三角函式相關的函式，主要是因為它們定義的結果。雖然它們不一定與三角函式的三角形或圓形定義有關，但它們的恆等式使它們看起來非常相似。

然而，這些函式在微積分中很重要，因為它們構成了微積分中一些問題的解集的一部分，並且在應用數學的許多領域中很重要。

介紹雙曲函式

穿過 單位雙曲線 x² − y² = 1 的射線在點 (cosh a, sinh a)，其中 $a$ 是射線、雙曲線和 $x$ 軸之間面積的兩倍。對於雙曲線下方 $x$ 軸的點，該面積被認為是負的（參見 動畫版本，與三角函式（圓形）函式比較）。

第 1.3 節根據引數化定義定義雙曲函式，類似於三角函式。

也就是說，將射線從 $x$ 軸正半軸的方向旋轉角度 $\theta$（對於 $\theta >0,$ 順時針旋轉，對於 $\theta <0$ 逆時針旋轉），會產生該射線與單位雙曲線的交點：$A=(x_{A},y_{A})$.

定義為

$\cosh a=x_{A}$

$\sinh a=y_{A}$

$\tanh a={\frac {\sinh a}{\cosh a}}={\frac {y_{A}}{x_{A}}}$

其中 $a$ 是射線、雙曲線和 $x$ 軸之間面積的兩倍。作為這些定義的結果，很明顯

(1) $\cosh ^{2}a-\sinh ^{2}a=1$

請記住，類似於 $\sec(x)$、$\csc(x)$ 和 $\cot(x)$，雙曲版本的定義如下

$\operatorname {sech} a={\frac {1}{\cosh a}}={\frac {1}{x_{A}}}$

$\operatorname {csch} a={\frac {1}{\sinh a}}={\frac {1}{y_{A}}}$

$\coth a={\frac {\cosh a}{\sinh a}}$

這些定義存在侷限性，因為在沒有額外工具的情況下，對它們進行微積分運算會很困難。使用雙曲函式的指數定義（在第 1.3 節中未定義）使我們能夠更輕鬆地找到導數，這也是本節的目標。

(2) $\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

(3) $\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

(4) $\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$

雙曲函式的性質

$\sinh(x)$ 是奇函式

對於所有 $x\in \mathbb {R}$，$\sinh(-x)=-\sinh(x)$。也就是說，$\sinh(x)$ 是一個奇函式。

證明：根據公式 (2)，$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$。如果一個函式是奇函式，那麼 $f(-x)=-f(x)$。

${\begin{aligned}\sinh(-x)&={\frac {e^{(-x)}-e^{-(-x)}}{2}}\\&={\frac {e^{-x}-e^{x}}{2}}\\&=-{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-\sinh(x)\qquad \blacksquare \end{aligned}}$

$\cosh(x)$ 是偶函式

對於所有$x\in \mathbb {R}$，$\cosh(-x)=\cosh(x)$。也就是說，$\cosh(x)$ 是一個偶函式。

證明：根據公式 (3)，$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$。如果一個函式是偶函式，那麼$f(-x)=f(x)$。

${\begin{aligned}\cosh(-x)&={\frac {e^{(-x)}+e^{-(-x)}}{2}}\\&={\frac {e^{-x}+e^{x}}{2}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cosh(x)\qquad \blacksquare \end{aligned}}$

雙曲正弦的倍角公式

對於所有$x\in \mathbb {R}$，

$\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)$

證明：利用公式 (2) 和 (3)，$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$，

${\begin{aligned}\sinh(2x)&={\frac {e^{(2x)}+e^{-(2x)}}{2}}\\&={\frac {e^{4x}-1}{2e^{2x}}}\\&={\frac {\left(e^{2x}-1\right)\left(e^{2x}+1\right)}{2e^{2x}}}\end{aligned}}$

注意到$\sinh(x)\cosh(x)={\frac {e^{4x}-1}{4e^{2x}}}$。將此乘以 2 我們得到 $\sinh(2x)$。因此，

$\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)\qquad \blacksquare$

雙曲餘弦的倍角公式

對於所有$x\in \mathbb {R}$，

${\begin{aligned}\cosh(2x)&=\cosh ^{2}(x)+\sinh ^{2}(x)\\&=1+2\sinh ^{2}(x)\\&=2\cosh ^{2}(x)-1\end{aligned}}$

證明:

雙曲函式的導數

雙曲正弦的導數

對於所有$x\in \mathbb {R}$，

${\frac {d}{dx}}\left(\sinh x\right)=\cosh x$

證明:

雙曲餘弦的導數

對於所有$x\in \mathbb {R}$，

${\frac {d}{dx}}\left(\cosh x\right)=\sinh x$

證明: