微積分/直接比較檢驗

直接比較檢驗

直接比較檢驗 (DCT) 有時簡稱為比較檢驗。但是，就像我們在這裡做的那樣，許多書籍在名稱中包含“直接”一詞，以明確區分此檢驗與極限比較檢驗。

一些講師會告訴你，這個檢驗非常基礎且直觀，但對於許多學生來說，一開始可能難以理解和使用。但是，一旦掌握了，它就是一個非常強大的檢驗，並且比極限比較檢驗更容易使用，因為我們不需要計算極限。

關鍵 - - 關鍵是正確建立不等式。只有在選擇一個檢驗級數並知道該檢驗級數的收斂/發散性之後才能做到這一點。

首先，我們介紹直接比較檢驗的定義，然後解釋每個部分。

直接比較檢驗定義

對於級數 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 和檢驗級數 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ ，其中 $t_{n}>0$

收斂為了證明 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 的收斂性， $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 必須收斂，並且 $0<a_{n}\leq t_{n}$

發散為了證明 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 的發散性， $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 必須發散，並且 $0<t_{n}\leq a_{n}$

直接比較檢驗快速筆記

用於證明收斂	是
用於證明發散	是
可能不確定	否

請注意，我們沒有指定 $n$ - 求和中的值。這在微積分中很常見，它只是意味著，對於這個檢驗，級數從哪裡開始並不重要（但它總是“結束”於無窮大，因為這是一個無窮級數）。
$\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是我們要確定收斂或發散的級數，它在題幹中給出。
$\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 是您選擇的用於比較的檢驗級數。
在使用此檢驗的過程中，您可能需要找到一些真實的、有限的值 $N>0$ ，其中不等式對於所有 $n\geq N$ 成立。
在建立不等式時要小心。根據您假設收斂還是發散，建立方式有所不同。
使用此檢驗的一個細微區別，隱含在上一個定義中的不等式中，即 $a_{n}>0$ 。因此，請注意不要對交替級數或包含任何負項的級數使用此檢驗。
一些教師可能會說這個檢驗可能不確定。這是不正確的。如果可以找到有效的檢驗級數，並且可以證明不等式，則此檢驗將始終告訴您級數 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 收斂還是發散。有時無法找到有效的檢驗級數，或者無法證明不等式，但這並不意味著 DCT 不確定。

如何使用直接比較檢驗

使用此檢驗主要包括三個步驟。

步驟 1	選擇檢驗級數
步驟 2	建立不等式
步驟 3	證明不等式成立

這個檢驗最難的一點是，看起來您似乎需要在使用檢驗之前就已知級數收斂還是發散。它有助於您對它有所瞭解（並且隨著練習的增多，您將隨著時間的推移而形成這種感覺），但是如果您不知道，您可以猜測。如果您在嘗試證明不等式成立時遇到了死衚衕，請嘗試證明另一個方向。您將在下面的步驟 1 中找到更多關於此方面的建議。

讓我們看看每個步驟的細節。

步驟 1 - 選擇檢驗級數

當您第一次學習這種技術時，它看起來像是檢驗級數憑空出現，您只是隨機選擇一個，然後看看它是否有效。如果無效，您就會嘗試另一個。這不是選擇檢驗級數的最佳方法。我發現的最佳方法是使用您被要求使用的級數，並使用它來建立檢驗級數。有一些因素需要考慮。

第一個關鍵是選擇一個您知道收斂或發散的檢驗級數，並且它可以幫助您獲得有限的正極限。

思路 1：如果分數的分子和分母中都有多項式，請只保留最高次項（在兩部分中），並簡化。丟棄任何常數。最終得到的結果可能是一個很好的比較級數。這樣做有效的原因是，當 $n$ 越來越大時，最高次項占主導地位。您通常會得到一個 p 級數，您知道它收斂或發散。

思路 2：選擇一個 p 級數或幾何級數，因為您可以立即判斷它收斂還是發散。

思路 3：如果您有一個正弦或餘弦項，您始終可以保證結果小於或等於 1 並且大於或等於負 1。如果您對角度沒有任何限制，那麼這就是您能做的最好的。所以用 1 替換正弦或餘弦項。

想法 4： 如果你有一個自然對數，可以使用以下事實 $\ln(n)\leq n$ 對於 $n\geq 1$ ，用 $n$ 替換 $\ln(n)$ ，或者使用 $\ln(n)\geq 1$ 對於 $n\geq 3$ .

當你對這個測試有了經驗，選擇一個好的測試序列就會變得更容易。所以要做大量的練習題。

你需要在直接比較測試中考慮的另一件事是，與極限比較測試不同，你需要直覺地判斷序列 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 收斂還是發散。這需要一定程度的經驗，因為它決定了你如何設定不等式。但你可以透過觀察你得到的測試序列來猜測。如果它發散，那麼你的序列也可能發散。同樣地，如果測試序列收斂，那麼你想要測試你的原始序列的收斂性。

沒有選擇測試序列的通用規則，但隨著一些經驗的積累，你將開始看到模式，我們將會展示一些例子並解釋如何選擇測試序列（許多/大多數書籍中都省略了這一點）。

步驟 2 - 建立不等式

如果你有一個序列 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ ，並且你選擇了一個測試序列 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ ，那麼你可以用兩種方法之一來建立不等式

收斂	發散
如果你假設收斂，測試序列也必須收斂，你需要證明的不等式是 $0<a_{n}\leq t_{n}$ .	如果你假設發散，測試序列必須發散，你需要證明的是 $0<t_{n}\leq a_{n}$ .

這裡有一個關於如何考慮不等式方向的想法。如果你認為你正在處理的序列發散，你想要選擇一個發散的測試序列，該序列比你正在處理的序列更小。你可以將這個更小的測試序列視為隨著 $n$ 的增加而“向上推”你的序列，並且由於小的序列發散，你的序列不可能收斂，因為它總是被推向無窮大。

但是，如果你認為你的序列收斂，那麼你需要選擇一個比你的序列更大的收斂測試序列。然後，你可以將測試序列視為隨著 $n$ 的增加而“向下壓”你的序列，不使其趨向於無窮大。

步驟 3 - 證明不等式成立

一旦你建立了不等式，你需要證明不等式對所有大於某個 $n$ 的 $N$ 成立。根據不等式的不同，有多種技術可以做到這一點，其中一種應該能行。

技術 1 - 直接法

在這種情況下，建立不等式並進行代數運算，直到你得到一個始終成立的不等式。例如，我們可以證明 $n\leq n+2$ ，方法是兩邊都減去 $n$ ，得到 $0\leq 2$ 。最後一個不等式始終為真。

注意：在平方和開平方（偶數根）時要小心。得到的不等式可能並不相等。

技術 2 - 證明不等式始終為正

如果直接方法不可行，嘗試將所有項移到一邊，另一邊留下零，然後解釋表示式如何始終為正。例如，如果我們能得到類似於 $0\leq \displaystyle {\frac {n+5}{n^{3}}}$ 的東西，我們可以爭論說，由於 $n$ 始終為正，分子和分母都為正，導致右邊始終大於零。這裡要記住的關鍵是 $n$ 從零或一開始，之後始終為正。

如果能找到一個值 $N$ 使表示式對所有 $n\geq N$ 成立，此技術也有效。類似於最後一個例子，我們可以使用此引數來證明不等式 $0\leq \displaystyle {\frac {n-5}{n^{3}}}$ ，方法是說當 $n\geq 6$ 時，不等式成立。

技術 3 - 使用斜率

第三種技術是使用斜率的概念，它最好透過一個例子來演示。讓我們用斜率來證明 $n\geq \ln(n)$ 。

關於斜率，首先要記住的是，要找到斜率，你需要求導數，而導數只在連續函式上定義。在本例中， $n$ 是離散的（ $n$ 取值為 1, 2, 3, 4, ...，但沒有這些數字之間的值），因此我們需要找到在離散值處具有相同值的連續函式。我們並不關心在離散值之間發生了什麼，只要函式是連續的。所以對於 $n$ ，我們可以使用 $f(x)=x$ ，而對於 $\ln(n)$ ，我們可以使用 $g(x)=\ln(x)$ ，其中 $x$ 是兩個函式中的連續變數。現在我們有了連續函式，因此可以求導數。我知道這是一個細節問題，但我們需要把它弄清楚。

好的，我們需要證明對於所有大於某個值的 $x$ ， $x\geq \ln(x)$ 。我們把 $f(x)=x$ 和 $g(x)=\ln(x)$ 。如果我們能夠證明對於某個特定的 $x$ 值， $f(x)\geq g(x)$ ，並且 $f(x)$ 的斜率大於 $g(x)$ 的斜率，那麼 $f(x)$ 將始終大於 $g(x)$ 。兩條曲線將永遠不會相交，不等式 $x\geq \ln(x)$ 將成立。你可以在這個圖中 直觀地 看到這一點（但你不能用這個圖來證明這一點）。

讓我們看看我們是否能證明這一點。首先，我們知道當 $x=1$ 時， $f(1)=1$ 並且 $g(1)=0$ 。由於 $1\geq 0$ ，我們已經確定了一個點（ $x=1$ ），在這個點上 $f(x)\geq g(x)$ 。現在我們將用斜率來證明這些函式對於所有 $x>1$ 都保持這種關係。

對函式求導，得到 $f'(x)=1$ 和 $g'(x)=1/x$ 。我們需要證明 $f'(x)\geq g'(x)$

        $\displaystyle {\begin{array}{rcl}f'(x)&\geq &g'(x)\\1&\geq &1/x\\x&\geq &1\end{array}}$

現在，因為 $x$ 總是大於或等於 $1$ ，則 $f(x)$ 的斜率總是大於 $g(x)$ 的斜率。這意味著 $f(x)$ 的增長速度快於 $g(x)$ ，因此始終大於 $g(x)$ 。

這表明 $x\geq \ln(x)$ 。

回顧一下，我們所做的是找到了一個點， $x=1$ ，該點滿足不等式。然後我們利用斜率來證明不等式對於所有大於該值的值都成立。

如果不等式不成立怎麼辦？

如果你無法證明不等式，那麼你需要選擇一個不同的測試級數或嘗試其他測試。使用直接比較測試需要練習和時間來消化，才能理解它並使用它。

如果不等式不成立，並不意味著直接比較測試不能使用。我們可能只需要選擇一個不同的測試級數。一個建議是透過計算器繪製級數或使用其他測試來了解級數的外觀。然後看看你是否可以推斷出一個更小或更大的級數，以便得出另一個測試級數。

如何不使用直接比較測試

學生嘗試使用直接比較測試時，有兩種主要方法是行不通的。

1. 使用 $n$ 的前幾個值構建表格來證明不等式對於所有 $n$ 都成立。一定要非常小心，不要使用這種技術。它是一個陷阱，老師會注意到的。

2. 不正確地設定不等式。本節的其餘部分將展示這一點並解釋為什麼它不起作用。

以下是如何**不**使用直接比較測試，即當不等式設定不正確時，該測試不起作用。

在一個影片中，演示者觀察了例子 $\displaystyle {\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln(n))^{2}}}}$ 來證明你不能使用直接比較測試，透過將它與 $\displaystyle {\sum {\frac {1}{n^{3}}}}$ 進行比較來證明收斂。當這種情況發生時，你有兩種選擇。

1. 你可以選擇一個不同的測試級數。

2. 你可以嘗試其他測試。

在這個例子中，這兩種選擇都可以。

1. 將該級數與 $\displaystyle {\sum {\frac {1}{n^{2}}}}$ 進行比較。

2. 使用積分測試或極限比較測試。

無論你使用什麼測試，該級數都收斂。

學習提示

在學習本測試時，繪製正在發生的事情的圖表可能對您有所幫助。雖然這在一般情況下是一個很好的技術，但它將特別有助於您進行本測試，因為不等式最好在圖表中顯示。您甚至不需要特定的函式。您只需繪製高於和低於測試函式的通用函式即可。

小心！繪製和代入值不是證明任何級數收斂或發散的有效方法。講師會預料到這一點，並且經常會在考試中提出用這種方法得出錯誤答案的問題。

影片推薦

如果您想學習關於直接比較檢驗的完整課程，這是一個很好的影片片段。請注意，他將此稱為比較檢驗，省略了直接一詞。您只需要觀看前 40 分鐘 12 秒。之後他會討論極限比較檢驗。

這裡有一個簡短的影片，解釋了這個檢驗。

此影片的前五分半鐘很好地解釋了直接比較檢驗。

此影片的前兩分鐘也包含對直接比較檢驗的良好解釋。

此影片片段很重要，因為它展示了幾乎每個學生在使用此檢驗時都會遇到的一個陷阱，並且大多數老師會注意這個陷阱。

應用於反常積分

即使您還沒有接觸過反常積分，此影片也非常值得觀看，因為它可以幫助您視覺化直接比較檢驗。您不需要了解反常積分就能從這個影片中獲得很多東西。

示例集 1 - 發散檢驗

使用發散且單調的調和級數 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 來確定 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是否發散，如果可能，對於以下每個級數。

示例 1.1

$a_{n}={\frac {1}{n-1}}$

由於我們假設發散，我們需要建立的不等式是 $0<t_{n}\leq a_{n}$ ，其中 $a_{n}={\frac {1}{n-1}}$ 和 $t_{n}={\frac {1}{n}}$ 。由於 $n>0$ ， $t_{n}=1/n$ 也大於零，因此不等式的左半部分成立。所以我們只需要證明不等式的右半部分。

  ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\\n-1&\leq &n\\-1&\leq &0\end{array}}$

這個最後的不等式對所有 $n$ 都成立。因此，該級數根據直接比較檢驗發散。

這是一個如何選擇測試級數的很好的例子。當 $n$ 變得非常大時，常數變得可以忽略不計。因此，有時可以透過刪除常數來選擇測試級數。當然，這並不總是奏效，下一個示例就說明了這一點。

示例 1.2

$a_{n}={\frac {1}{n+1}}$

與前面的示例一樣，我們只需要證明不等式的右半部分成立。

       ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\\n+1&\leq &n\\1&\leq &0\end{array}}$

然而，這永遠不會是正確的，因此這個測試序列不能使用。（一些老師可能會說這意味著 DCT 不確定，但實際上，這不是一個有效的測試序列來證明發散。）帶有 $t_{n}={\frac {1}{2n}}$ 的測試序列將是更好的比較測試。

示例 1.3

$a_{n}={\frac {3}{n}}$

與前兩個例子一樣，我們只需要證明不等式的右半部分成立。

       ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {3}{n}}\\n&\leq &3n\\1&\leq &3\end{array}}$

最後一個不等式對所有 $n$ 成立。因此，該級數根據 DCT 發散。

示例 1.4

$a_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$

與前兩個例子一樣，我們只需要證明不等式的右半部分成立。

       ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\\{\sqrt {n}}&\leq &n\\n&\leq &n^{2}\\0&\leq &n^{2}-n\\0&\leq &n(n-1)\end{array}}$

最後一個不等式對所有 $n\geq 2$ 成立。因此，該級數根據 DCT 發散。

這裡需要說明兩點。

請注意，我們需要找到一個值 $N=2$ ，使得不等式對所有值 $n\geq N$ 成立。
雖然一般來說，對不等式的兩邊同時平方並假設它是一個有效的操作不是一個好主意，但它在這裡有效，因為 $n$ 始終大於 1。

示例 1.5

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$

與前兩個例子一樣，我們只需要證明不等式的右半部分成立。

 ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\\n^{2}&\leq &n\\n^{2}-n&\leq &0\\n(n-1)&\leq &0\end{array}}$

最後一個不等式並非對所有大於某個 $N$ 的 $n$ 成立，即當 $n$ 大於 1 時，最後一個不等式不再成立。因此，這個測試序列不能用於使用 DCT 證明發散。

請注意，DCT 仍然可以用於這個級數，但由於該級數收斂，如果我們想要使用 DCT，則需要另一個測試級數。

示例集 2 - 收斂性測試

使用收斂且單調的級數 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 判斷以下每個級數是否收斂，如果可以的話。

例 2.1

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$

$n^{-2}$ 的下降速度比 $2^{-n}$ 快。但是，這些級數不滿足 $0\leq z_{n}\leq s_{n}$ 的要求，因為當 $n<2$ 時， $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 比 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 大。我們可以透過從兩個級數中刪除第一項來解決這個問題，得到 $1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 和 $2+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 。現在，將 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 與 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 進行比較表明 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 確實收斂。由於它收斂，新增原來的 $1$ 不會改變它是否收斂，只會將收斂值增加 $1$ 。

例 2.2

$a_{n}=e^{-x}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-x}}$ 小於 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 對所有 $n$ ，所以這個級數是收斂的。

示例 2.3

$a_{n}={\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}(x)$

$\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}(x)}$ 小於或等於 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 且大於 $0$ 對定義域中的每個 $n$ ；這是因為 $\sin ^{2}(x)$ 符合 </math>\frac{1}{2^n}</math>，並且 $\sin(x)$ 被平方意味著它永遠不會小於零。

示例 2.4

$a_{n}={\frac {2}{2^{n}}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{2^{n}}}$ 是收斂的。注意到這只是 $2\times \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ ，這只是 $2$ 乘以某個有限數。

示例 2.5

$a_{n}={\frac {1}{1.5^{n}}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1.5^{n}}}$ 大於 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 對於無限多的 $n$ 。所以這個測試級數不能用來測試收斂性。

示例 2.6

$a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}$

這個級數有負項，所以這裡不能使用 DCT。

直接比較檢驗練習題

帶有書面解答的練習題

如果可能的話，使用直接比較檢驗確定以下級數的收斂或發散。如果 DCT 不確定，請使用其他檢驗來確定收斂或發散。確保在最終答案中指定使用了什麼檢驗。

1. $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)-1}}$

提示

選擇

\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n\ln(n)}}}

選擇

\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n\ln(n)}}}

答案

該級數根據 DCT 發散。

解決方案

我們將使用直接比較檢驗，並將該級數與

\displaystyle {\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)}}}

進行比較。這是選擇比較級數的一種非常普遍的方法。由於常數無論其值如何，與非常非常大的數字相比都變得可以忽略不計，因此我們通常可以將其刪除並使用結果作為測試級數。這並不總是有效，當然，它取決於測試級數是否收斂或發散，但這是一個良好的起點。
測試級數在積分檢驗頁面上作為練習題顯示為發散的。因此，我們只需要證明

t_{n}<a_{n}

對於所有

n>2

。

{\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {1}{n\ln(n)}}&<&\displaystyle {\frac {1}{n\ln(n)-1}}\\n\ln(n)-1&<&n\ln(n)\\-1&<&0\end{array}}

由於最後一個不等式對所有

n

成立，則第一個不等式也成立，因此

t_{n}<a_{n}

對所有

n>2

成立。
因此，根據直接比較檢驗，由於檢驗級數發散，且其項小於原級數的項，因此原級數也發散。

我們將使用直接比較檢驗，並將該級數與

\displaystyle {\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)}}}

進行比較。這是選擇比較級數的一種非常普遍的方法。由於常數無論其值如何，與非常非常大的數字相比都變得可以忽略不計，因此我們通常可以將其刪除並使用結果作為測試級數。這並不總是有效，當然，它取決於測試級數是否收斂或發散，但這是一個良好的起點。
測試級數在積分檢驗頁面上作為練習題顯示為發散的。因此，我們只需要證明

t_{n}<a_{n}

對於所有

n>2

。

{\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {1}{n\ln(n)}}&<&\displaystyle {\frac {1}{n\ln(n)-1}}\\n\ln(n)-1&<&n\ln(n)\\-1&<&0\end{array}}

由於最後一個不等式對所有

n

成立，則第一個不等式也成立，因此

t_{n}<a_{n}

對所有

n>2

成立。
因此，根據直接比較檢驗，由於檢驗級數發散，且其項小於原級數的項，因此原級數也發散。

2. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\cos(n))^{3}}{n^{2}+n+1}}$

提示

選擇

t_{n}=1/n^{2}

，並使用絕對收斂定理將

\cos(n)

替換為

|\cos(n)|

，以使項為正值。

選擇

t_{n}=1/n^{2}

，並使用絕對收斂定理將

\cos(n)

替換為

|\cos(n)|

，以使項為正值。

答案

該級數根據 DCT 收斂。

解決方案

步驟 1 - 選擇檢驗級數

首先，讓我們看一下分母多項式 $n^{2}+n+1$ . 當 $n$ 變得非常大的時候， $n^{2}$ 項將支配另外兩項。因此，我們將刪除 $n+1$ ，只留下 $n^{2}$ 在分母中。現在，讓我們看一下分子。沒有簡單的方法來確定 $(\cos(n))^{3}$ 當 $n$ 趨於無窮大時會做什麼。本質上，它在 $-1$ 和 $+1$ 之間振盪。

然而，我們知道 $\cos(n)\leq 1$ ，並且 $(\cos(n))^{3}\leq 1$ 。現在，我們需要一個可能不那麼明顯的部分。觀察 $\cos(n)$ ，我們需要確保它永遠不會為零。（你一會兒就會明白為什麼。）我們可以這麼說嗎？當 $\cos(x)=0$ 時？當 $x$ 是 $\pi /2$ 的倍數時，它為零。換句話說，是否存在一個正整數 $k$ 使得 $n=k\pi /2$ ？不， $n=1,2,3,...$ 且 $\pi$ 是無理數。這意味著 $n$ 永遠不會是 $\pi$ 的倍數，因此， $\cos(n)$ 永遠不會為零。

但是，在我們使用這個測試之前，還需要處理一個額外的細節。請注意，這兩個不等式都要求 $a_{n}$ 項為正。這是一個重要的細節。如果不滿足這個條件，我們就不能使用直接比較測試。

幸運的是，我們有一個定理可以幫助我們。絕對收斂定理告訴我們，如果 $\textstyle {\sum {\left|a_{n}\right|}}$ 收斂，那麼 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 也收斂。因此，我們將用 $\left|\cos(n)\right|$ 代替 $\cos(n)$ 。因此，我們將用 $1$ 代替 $(\cos(n))^{3}$ 在我們的測試級數中，看看會發生什麼。

因此，這給了我們一個收斂的 *p*- 級數 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 作為測試級數。將此級數稱為 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ ，其中 $t_{n}=1/n^{2}$

步驟 2 - 建立不等式

由於我們最終得到的測試級數是收斂的，因此我們將不等式設定為 $0<a_{n}\leq t_{n}$ 。現在我希望你能明白確保 $\cos(n)$ 從未被評估為零的重要性。如果它確實如此，那麼不等式的第一部分 $0<a_{n}$ 將不成立，因此我們將無法使用此測試。

因此我們需要證明的不等式是 $\displaystyle {{\frac {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}{n^{2}+n+1}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}}$

步驟 3 - 證明不等式成立

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}{n^{2}+n+1}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\\\displaystyle {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}&\leq &\displaystyle {\frac {n^{2}+n+1}{n^{2}}}\\\displaystyle {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}&\leq &\displaystyle {1+1/n+1/n^{2}}\end{array}}$

我們在本解決方案的開頭討論過

(\left|\cos(n)\right|)^{3}

始終小於 1。由於不等式的右側始終大於 1，因此我們可以說此不等式對所有

n

成立。因此，級數

\textstyle {\sum {a_{n}}}

收斂。

步驟 1 - 選擇檢驗級數

首先，讓我們看一下分母多項式 $n^{2}+n+1$ . 當 $n$ 變得非常大的時候， $n^{2}$ 項將支配另外兩項。因此，我們將刪除 $n+1$ ，只留下 $n^{2}$ 在分母中。現在，讓我們看一下分子。沒有簡單的方法來確定 $(\cos(n))^{3}$ 當 $n$ 趨於無窮大時會做什麼。本質上，它在 $-1$ 和 $+1$ 之間振盪。

然而，我們知道 $\cos(n)\leq 1$ ，並且 $(\cos(n))^{3}\leq 1$ 。現在，我們需要一個可能不那麼明顯的部分。觀察 $\cos(n)$ ，我們需要確保它永遠不會為零。（你一會兒就會明白為什麼。）我們可以這麼說嗎？當 $\cos(x)=0$ 時？當 $x$ 是 $\pi /2$ 的倍數時，它為零。換句話說，是否存在一個正整數 $k$ 使得 $n=k\pi /2$ ？不， $n=1,2,3,...$ 且 $\pi$ 是無理數。這意味著 $n$ 永遠不會是 $\pi$ 的倍數，因此， $\cos(n)$ 永遠不會為零。

但是，在我們使用這個測試之前，還需要處理一個額外的細節。請注意，這兩個不等式都要求 $a_{n}$ 項為正。這是一個重要的細節。如果不滿足這個條件，我們就不能使用直接比較測試。

幸運的是，我們有一個定理可以幫助我們。絕對收斂定理告訴我們，如果 $\textstyle {\sum {\left|a_{n}\right|}}$ 收斂，那麼 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 也收斂。因此，我們將用 $\left|\cos(n)\right|$ 代替 $\cos(n)$ 。因此，我們將用 $1$ 代替 $(\cos(n))^{3}$ 在我們的測試級數中，看看會發生什麼。

因此，這給了我們一個收斂的 *p*- 級數 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 作為測試級數。將此級數稱為 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ ，其中 $t_{n}=1/n^{2}$

步驟 2 - 建立不等式

由於我們最終得到的測試級數是收斂的，因此我們將不等式設定為 $0<a_{n}\leq t_{n}$ 。現在我希望你能明白確保 $\cos(n)$ 從未被評估為零的重要性。如果它確實如此，那麼不等式的第一部分 $0<a_{n}$ 將不成立，因此我們將無法使用此測試。

因此我們需要證明的不等式是 $\displaystyle {{\frac {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}{n^{2}+n+1}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}}$

步驟 3 - 證明不等式成立

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}{n^{2}+n+1}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\\\displaystyle {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}&\leq &\displaystyle {\frac {n^{2}+n+1}{n^{2}}}\\\displaystyle {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}&\leq &\displaystyle {1+1/n+1/n^{2}}\end{array}}$

我們在本解決方案的開頭討論過

(\left|\cos(n)\right|)^{3}

始終小於 1。由於不等式的右側始終大於 1，因此我們可以說此不等式對所有

n

成立。因此，級數

\textstyle {\sum {a_{n}}}

收斂。

3. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}$

提示

選擇

t_{n}=1/n^{3}

並使用絕對收斂定理替換

\sin(n)

為

|\sin(n)|

.

選擇

t_{n}=1/n^{3}

並使用絕對收斂定理替換

\sin(n)

為

|\sin(n)|

.

答案

該級數根據 DCT 收斂。

解決方案

\displaystyle {a_{n}={\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}}

在我們開始直接比較檢驗之前，我們必須仔細觀察要求。請注意，在這兩個不等式中，我們都要求 $a_{n}>0$ 。然而，對於這個級數，正弦項引入了一些負項。因此，我們不能直接使用直接比較檢驗。這是一個重要的細節。如果我們不處理這個細節，我們就不能使用直接比較檢驗。

幸運的是，我們有一個定理可以幫助我們。絕對收斂定理告訴我們，如果 $\sum {|a_{n}|}$ 收斂，則 $\sum {a_{n}}$ 也收斂。在這種情況下，
$\displaystyle {|a_{n}|=\left|{\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}\right|={\frac {|\sin(n)|}{|n^{3}+n+1|}}}$
由於 $n>0$ 分母始終為正，因此我們只需要將 $\sin(n)$ 替換為 $|\sin(n)|$ 。因此，在這個問題中，我們將努力證明收斂性。如果我們得到級數發散的結果，那麼我們不能使用絕對收斂定理，結果是不確定的。

對於較大的 $n$ ， $n^{3}$ 項占主導地位。在分子中， $|\sin(n)|$ 始終小於或等於 1，讓我們將這個級數與檢驗級數 $\sum {t_{n}}$ 進行比較，其中 $\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n^{3}}}}$ .

由於 $t_{n}$ 是一個 $p=3>1$ 的 p 級數，所以測試級數收斂。因此，直接比較檢驗要求我們將不等式設定為 $a_{n}\leq t_{n}$ 。

${\begin{array}{rcl}a_{n}&\leq &t_{n}\\\displaystyle {\frac {|\sin(n)|}{n^{3}+n+1}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{3}}}\\|\sin(n)|&\leq &\displaystyle {\frac {n^{3}+n+1}{n^{3}}}\\|\sin(n)|&\leq &\displaystyle {1+{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}\end{array}}$

最後一個不等式始終成立，因為 $|\sin(n)|\leq 1$ 且右側始終大於 1。因此，級數收斂。

\displaystyle {a_{n}={\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}}

在我們開始直接比較檢驗之前，我們必須仔細觀察要求。請注意，在這兩個不等式中，我們都要求 $a_{n}>0$ 。然而，對於這個級數，正弦項引入了一些負項。因此，我們不能直接使用直接比較檢驗。這是一個重要的細節。如果我們不處理這個細節，我們就不能使用直接比較檢驗。

幸運的是，我們有一個定理可以幫助我們。絕對收斂定理告訴我們，如果 $\sum {|a_{n}|}$ 收斂，則 $\sum {a_{n}}$ 也收斂。在這種情況下，
$\displaystyle {|a_{n}|=\left|{\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}\right|={\frac {|\sin(n)|}{|n^{3}+n+1|}}}$
由於 $n>0$ 分母始終為正，因此我們只需要將 $\sin(n)$ 替換為 $|\sin(n)|$ 。因此，在這個問題中，我們將努力證明收斂性。如果我們得到級數發散的結果，那麼我們不能使用絕對收斂定理，結果是不確定的。

對於較大的 $n$ ， $n^{3}$ 項占主導地位。在分子中， $|\sin(n)|$ 始終小於或等於 1，讓我們將這個級數與檢驗級數 $\sum {t_{n}}$ 進行比較，其中 $\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n^{3}}}}$ .

由於 $t_{n}$ 是一個 $p=3>1$ 的 p 級數，所以測試級數收斂。因此，直接比較檢驗要求我們將不等式設定為 $a_{n}\leq t_{n}$ 。

${\begin{array}{rcl}a_{n}&\leq &t_{n}\\\displaystyle {\frac {|\sin(n)|}{n^{3}+n+1}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{3}}}\\|\sin(n)|&\leq &\displaystyle {\frac {n^{3}+n+1}{n^{3}}}\\|\sin(n)|&\leq &\displaystyle {1+{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}\end{array}}$

最後一個不等式始終成立，因為 $|\sin(n)|\leq 1$ 且右側始終大於 1。因此，級數收斂。

帶影片解答的練習題

1	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{4}+1}}$	答案收斂收斂	解答		2	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9^{n}}{3+10^{n}}}$	答案收斂收斂	解答