微積分/直接比較檢驗

直接比較檢驗

直接比較檢驗 (DCT) 有時簡稱為比較檢驗。但是，就像我們這裡做的那樣，許多書籍在名稱中包含“直接”一詞，以清楚地將此檢驗與極限比較檢驗區分開來。

有些老師會告訴你，這個檢驗非常基礎且直觀，但在剛開始時，對於許多學生來說，它可能難以理解和使用。但是，一旦掌握了它，它就是一個非常強大的檢驗，而且它比極限比較檢驗更容易使用，因為我們不需要計算極限。

關鍵 - - 關鍵是要正確設定不等式。這隻有在選擇了一個測試級數並且知道該測試級數的收斂/發散時才能完成。

首先，我們介紹直接比較檢驗的定義，然後我們解釋每個部分。

直接比較檢驗定義

對於級數 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 和測試級數 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$，其中 $t_{n}>0$

收斂 為了證明 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 的收斂性，$\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 必須收斂，並且 $0<a_{n}\leq t_{n}$

發散 為了證明 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 的發散性，$\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 必須發散，並且 $0<t_{n}\leq a_{n}$

直接比較檢驗快速筆記

用於證明收斂	是
用於證明發散	是
可能不確定	否

1. 請注意，我們沒有指定$n$ - 求和中的值。這在微積分中很常見，它只是意味著對於此檢驗，級數從哪裡開始並不重要（但它始終'結束'於無窮大，因為這是一個無窮級數）。
2. $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是我們試圖確定收斂或發散的級數，它在題幹中給出。
3. $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 是您選擇的用於比較的檢驗級數。
4. 在使用此檢驗的過程中，您可能需要找到一些實際的、有限的值 $N>0$，其中不等式對於所有$n\geq N$成立。
5. 在設定不等式時要小心。根據您假設收斂還是發散，設定方式不同。
6. 使用此檢驗的一個微妙區別在於，在上述定義中的不等式中隱含了一個假設，即$a_{n}>0$。因此，請注意不要在交替級數或包含任何負項的級數上使用此檢驗。
7. 一些老師可能會說，此檢驗可能不確定。這是不正確的。如果可以找到有效的檢驗級數，並且可以證明不等式成立，那麼此檢驗將始終告訴您級數 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 收斂還是發散。有時無法找到有效的檢驗級數，或者無法證明不等式成立，但這並不意味著直接比較檢驗不確定。

如何使用直接比較檢驗

使用此檢驗主要有三個步驟。

步驟 1	選擇一個檢驗級數
步驟 2	設定不等式
步驟 3	證明不等式成立

這個檢驗的難點在於，似乎要求您在使用檢驗之前已經知道級數是收斂還是發散。最好對它有一些感覺（隨著練習量的增加，您會隨著時間的推移而培養這種感覺），但是如果您沒有感覺，您可以猜一下。如果您在嘗試證明不等式成立時遇到了死衚衕，請嘗試證明另一個方向。您將在下面的步驟 1 中找到更多關於此方面的建議。

讓我們詳細瞭解每一步。

步驟 1 - 選擇一個檢驗級數

當您剛開始學習這種技術時，您可能會覺得檢驗級數是憑空出現的，您只是隨機選擇一個，看看它是否有效。如果它沒有用，您就嘗試另一個。這不是選擇檢驗級數的最佳方法。我發現的最佳方法是使用您被要求處理的級數，並以此為基礎來確定檢驗級數。有幾點需要考慮。

首先，要選擇一個您知道收斂或發散的檢驗級數，並且該檢驗級數可以幫助您得到一個有限的、正的極限。

想法 1： 如果分式的分子和分母中都有多項式，請捨棄除最高次項（在分子和分母中）以外的所有項，並簡化。捨棄任何常數。最終得到的結果可能是一個好的比較級數。之所以有效是因為，當 $n$ 變得越來越大時，最高次項占主導地位。您通常會得到一個您知道收斂或發散的 p級數。

想法 2： 選擇一個 p級數或幾何級數，因為您可以立即判斷它是否收斂或發散。

想法 3： 如果您有正弦項或餘弦項，那麼您始終可以保證結果小於或等於 1，大於或等於 -1。如果您對角度沒有限制，那麼這是您可以得到的最佳結果。因此，用 1 代替正弦項或餘弦項。

想法 4： 如果您有自然對數，請使用以下事實 $\ln(n)\leq n$ 用於 $n\geq 1$，用 $n$ 代替 $\ln(n)$，或者使用 $\ln(n)\geq 1$ 用於 $n\geq 3$。

隨著你對這項測試的經驗積累，選擇合適的測試序列將變得更加容易。所以要多做練習題。

與極限比較檢驗相比，直接比較檢驗還需要考慮的一點是，你需要直觀地判斷級數 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是收斂還是發散。這需要一定的經驗，因為它決定了如何建立不等式。但你可以透過觀察最終得到的測試級數來猜測。如果測試級數發散，那麼你的級數也可能發散。同樣，如果測試級數收斂，那麼你需要檢驗原始級數的收斂性。

選擇測試級數沒有通用的規則，但隨著經驗的積累，你會開始發現一些規律，我們將會展示一些例子並解釋如何選擇測試級數（許多/大多數書籍都忽略了這一點）。

步驟 2 - 建立不等式

如果你有一個級數 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 並選擇一個測試級數 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$，那麼你可以用兩種方式之一建立不等式。

收斂	發散
如果你假設收斂，那麼測試級數也必須收斂，你需要證明的不等式是 $0<a_{n}\leq t_{n}$.	如果你假設發散，那麼測試級數必須發散，你需要證明的是 $0<t_{n}\leq a_{n}$.

以下是一個關於如何思考不等式方向的想法。如果你認為你正在處理的級數發散，你需要選擇一個比你正在處理的級數更小的發散測試級數。你可以將這個更小的測試級數看作是隨著 $n$ 的增大而“向上推”你的級數，並且由於這個更小的級數發散，你的級數不可能收斂，因為它始終被“推向”無窮大。

但是，如果你認為你的級數收斂，那麼你需要選擇一個比你的級數更大的收斂測試級數。然後，你可以將測試級數看作是隨著 $n$ 的增大而始終“向下壓”你的級數，防止它發散到無窮大。

步驟 3 - 證明不等式成立

建立好不等式後，你需要證明不等式對於所有大於某個 $N$ 的 $n$ 都成立。根據不等式的不同，有多種技術可以做到這一點，其中一種應該可以奏效。

技術 1 - 直接

在這種情況下，建立不等式並進行代數運算，直到你得到一個始終成立的不等式。例如，我們可以證明 $n\leq n+2$，方法是兩邊同時減去 $n$，得到 $0\leq 2$。最後一個不等式始終成立。

注意：在進行平方和平方（偶數）根運算時要小心。結果不等式可能不等於。

技術 2 - 證明一個不等式始終為正

如果直接方法不可行，嘗試將所有項移到一邊，另一邊留零，然後解釋表示式為何始終為正。例如，如果我們能夠得到類似 $0\leq \displaystyle {\frac {n+5}{n^{3}}}$ 的結果，我們可以爭論，由於 $n$ 始終為正，分子和分母都是正數，導致右側始終大於零。這裡要記住的關鍵是，$n$ 從零或一開始，之後始終為正。

如果您能找到一個值 $N$ 使得表示式對所有 $n\geq N$ 成立，此技巧也適用。與最後一個例子類似，您可以將此論點用於不等式 $0\leq \displaystyle {\frac {n-5}{n^{3}}}$，透過說明對於 $n\geq 6$，不等式成立。

技巧 3 - 使用斜率

第三種技巧是使用斜率的概念，它透過一個例子可以最好地說明。讓我們用斜率證明 $n\geq \ln(n)$。

首先要記住關於斜率的是，要找到斜率，您需要求導數，而導數僅在連續函式上定義。在我們的例子中，$n$ 是離散的（$n$ 取離散值 1、2、3、4……，但在這些數字之間沒有值），因此我們需要找到在離散值處具有相同值的連續函式。只要函式是連續的，我們不在乎離散值之間的任何情況。因此，對於 $n$，我們可以使用 $f(x)=x$，而對於 $\ln(n)$，我們可以使用 $g(x)=\ln(x)$，其中 $x$ 是兩個函式中的連續變數。現在我們有了連續函式，因此我們可以求導數。我知道這是一個細微之處，但我們需要把它弄清楚。

好的，我們需要證明對於所有大於某個值的$x$，$x\geq \ln(x)$成立。我們把$f(x)=x$和$g(x)=\ln(x)$分別表示這兩個函式。如果我們可以證明對於某個特定的$x$值，$f(x)\geq g(x)$，並且$f(x)$的斜率大於$g(x)$的斜率，那麼$f(x)$將始終大於$g(x)$。兩條曲線將永遠不會相交，不等式$x\geq \ln(x)$將成立。您可以從這個圖中直觀地看到這一點（但不能用這個圖來證明這一點）。

讓我們看看是否可以證明這一點。首先，我們知道當$x=1$時，$f(1)=1$，並且$g(1)=0$。由於$1\geq 0$，我們已經確定了一個點（$x=1$）其中$f(x)\geq g(x)$。現在我們將使用斜率來確定這些函式對於所有$x>1$都保持這種關係。

對函式求導，我們有 $f'(x)=1$ 和 $g'(x)=1/x$。我們需要證明 $f'(x)\geq g'(x)$

       $\displaystyle {\begin{array}{rcl}f'(x)&\geq &g'(x)\\1&\geq &1/x\\x&\geq &1\end{array}}$

現在，由於 $x$ 始終大於或等於 $1$，那麼 $f(x)$ 的斜率始終大於 $g(x)$ 的斜率。這意味著 $f(x)$ 的增長速度比 $g(x)$ 快，因此它將始終更大。

這表明 $x\geq \ln(x)$。

總結一下，我們在這裡所做的是，我們找到了一個點 $x=1$，在這個點上不等式成立。然後我們使用斜率來證明不等式對所有大於該值的值都成立。

如果不等式不成立怎麼辦？

如果你無法證明不等式，那麼你需要選擇一個不同的測試序列或者嘗試其他測試。使用直接比較測試需要練習和時間才能理解它並使用它。

如果不等式不成立，並不意味著不能使用直接比較測試。我們可能只需要選擇一個不同的測試序列。一個建議是瞭解該序列的樣子，可以使用計算器繪製該序列或使用其他測試。然後看看你是否可以推斷出一個更小或更大的序列，以便得到另一個測試序列。

如何不使用直接比較測試

學生試圖使用直接比較測試，但沒有得到結果，主要有兩種方式。

1. 使用 $n$ 的前幾個值建立一個表格，以表明不等式對所有 $n$ 都成立。要非常小心，不要使用這種方法。這是一個陷阱，講師會注意這一點。

2. 不正確地設定不等式。本節的其餘部分將對此進行說明，並解釋為什麼它不奏效。

以下是如何不使用直接比較測試，即當不等式設定不正確時，這種測試不奏效的情況。

在一個影片中，我看到演示者查看了示例 $\displaystyle {\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln(n))^{2}}}}$，以表明你不能使用直接比較測試，方法是將其與 $\displaystyle {\sum {\frac {1}{n^{3}}}}$ 進行比較，以證明收斂性。當這種情況發生時，你有兩種選擇。

1. 你可以選擇一個不同的測試序列。

2. 你可以嘗試其他測試。

在這個例子中，這兩種選擇都有效。

1. 將此級數與 $\displaystyle {\sum {\frac {1}{n^{2}}}}$ 進行比較。

2. 使用積分判別法或極限比較判別法。

無論使用哪種判別法，此級數都收斂。

學習提示

學習此判別法時，畫出相關的圖形可能會有所幫助。雖然這是一種通用的好技巧，但它對學習此判別法尤其有用，因為不等式在圖形中表現得最清晰。你甚至不需要具體的函式。你只需要畫出在測試函式之上和之下的泛型函式。

小心！繪圖和代入值不是證明任何級數收斂或發散的有效方法。老師會預料到這一點，並經常在考試中提出用這種方法會導致錯誤答案的問題。

影片推薦

如果你想觀看關於直接比較判別法的完整講座，這個影片剪輯很好。注意他稱之為比較判別法，省略了直接一詞。你只需要觀看前 40 分 12 秒。之後他討論了極限比較判別法。

這是一個簡短的影片，解釋了此判別法。

這個影片的前五分半鐘很好地解釋了直接比較判別法。

這個影片的前兩分鐘也包含對直接比較判別法的良好解釋。

這個影片剪輯很重要，因為它展示了幾乎每個學生在使用此判別法時都會遇到的一個陷阱，大多數老師都會留意這個陷阱。

應用於反常積分

即使你還沒有學習反常積分，這個影片也值得觀看，因為它可以幫助你直觀地理解直接比較判別法。你不需要理解反常積分就能從這個影片中獲得很多東西。

示例集 1 - 測試發散性

使用發散且單調的調和級數 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 來確定對於以下每個級數，$\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是否發散（如果可能）。

示例 1.1

$a_{n}={\frac {1}{n-1}}$

由於我們假設發散，我們需要設定的不等式是 $0<t_{n}\leq a_{n}$，其中 $a_{n}={\frac {1}{n-1}}$ 且 $t_{n}={\frac {1}{n}}$。由於 $n>0$，$t_{n}=1/n$ 也大於零，因此不等式的左邊成立。所以我們只需要證明不等式的右邊。

 ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\\n-1&\leq &n\\-1&\leq &0\end{array}}$

最後一個不等式對於所有 $n$ 成立。因此，根據 DCT，此級數發散。

這是一個很好的例子，說明如何選擇測試級數。當 $n$ 變得非常大時，常數變得可以忽略不計。所以有時透過省略常數來選擇測試級數是可行的。當然，這並不總是有效，下一個例子就說明了這一點。

示例 1.2

$a_{n}={\frac {1}{n+1}}$

如前例所示，我們只需要證明不等式的右半部分成立。

      ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\\n+1&\leq &n\\1&\leq &0\end{array}}$

然而，這永遠不會成立，因此該檢驗序列無法使用。（一些講師可能會說這意味著 DCT 不確定，但實際上，這並不是證明發散的有效檢驗序列。）檢驗序列 $t_{n}={\frac {1}{2n}}$ 將是一個更好的比較檢驗。

示例 1.3

$a_{n}={\frac {3}{n}}$

如前兩個例子所示，我們只需要證明不等式的右半部分成立。

      ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {3}{n}}\\n&\leq &3n\\1&\leq &3\end{array}}$

最後一個不等式對於所有 $n$ 都成立。因此，該序列根據 DCT 發散。

示例 1.4

$a_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$

如前例所示，我們只需要證明不等式的右半部分成立。

      ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\\{\sqrt {n}}&\leq &n\\n&\leq &n^{2}\\0&\leq &n^{2}-n\\0&\leq &n(n-1)\end{array}}$

最後一個不等式對於所有 $n\geq 2$ 都成立。因此，該序列根據 DCT 發散。

這裡有兩點需要說明。

1. 請注意，我們需要找到一個值 $N=2$，使得對於所有值 $n\geq N$，不等式都成立。
2. 雖然一般來說對不等式兩邊平方並假設它是有效操作不是一個好主意，但它在這裡有效，因為 $n$ 始終大於 1。

示例 1.5

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$

如前例所示，我們只需要證明不等式的右半部分成立。

${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\\n^{2}&\leq &n\\n^{2}-n&\leq &0\\n(n-1)&\leq &0\end{array}}$

最後一個不等式並非對於所有大於某個 $N$ 的 $n$ 都成立，即當 $n$ 大於 1 時，最後一個不等式不再成立。因此，該檢驗序列無法用於根據 DCT 證明發散。

請注意，DCT 仍然可以用於該序列，但由於該序列收斂，因此如果我們想使用 DCT，則需要另一個檢驗序列。

示例集 2 - 收斂性檢驗

使用收斂且單調的序列 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 來確定 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是否收斂，如果可能，對於以下每個序列。

示例 2.1

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$

$n^{-2}$ 的衰減速度快於 $2^{-n}$。然而，這些級數不滿足 $0\leq z_{n}\leq s_{n}$ 的要求，因為當 $n<2$ 時，$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 大於 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$。我們可以透過從這兩個級數中去除第一項來解決這個問題，得到 $1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 和 $2+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$。現在，比較 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 與 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 表明 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 確實是收斂的。由於它是收斂的，新增最初的 $1$ 不會改變它是否收斂，它只會將收斂值增加 $1$。

示例 2.2

$a_{n}=e^{-x}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-x}}$ 小於 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 對每一個 $n$ 都成立，所以這個級數是收斂的。

示例 2.3

$a_{n}={\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}(x)$

$\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}(x)}$ 小於或等於 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 並且大於 $0$ 對於域中的每一個 $n$；這是因為 $\sin ^{2}(x)$ 符合 </math>\frac{1}{2^n}</math>，並且 $\sin(x)$ 平方意味著它永遠不會小於零。

示例 2.4

$a_{n}={\frac {2}{2^{n}}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{2^{n}}}$ 是收斂的。注意，這只是 $2\times \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$，它只是 $2$ 乘以某個有限數。

示例 2.5

$a_{n}={\frac {1}{1.5^{n}}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1.5^{n}}}$ 大於 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 對於無限多個 $n$。所以這個測試級數不能用於測試收斂性。

示例 2.6

$a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}$

此級數包含負項，因此無法使用直接比較檢驗。

直接比較檢驗練習題

帶書面解答的練習題

如果可能，請使用直接比較檢驗來確定這些級數的收斂或發散。如果直接比較檢驗無法確定，請使用其他檢驗來確定收斂或發散。確保在最終答案中指定你使用的檢驗方法。

1. $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)-1}}$

提示

選擇 $\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n\ln(n)}}}$

答案

該級數根據直接比較檢驗發散。

解答

我們將使用直接比較檢驗，並將此級數與 $\displaystyle {\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)}}}$ 進行比較。這是一種非常常見的比較級數的選擇方法。由於常數，無論其值如何，在與非常非常大的數字相比時都變得微不足道，因此我們通常可以忽略它們並使用結果作為檢驗級數。但這並不總是有效，當然，它取決於檢驗級數是收斂還是發散，但這是一個好的起點。
檢驗級數在積分檢驗頁面上作為一個練習題被證明是發散的。因此，我們只需要證明 $t_{n}<a_{n}$ 對所有 $n>2$ 成立。
${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {1}{n\ln(n)}}&<&\displaystyle {\frac {1}{n\ln(n)-1}}\\n\ln(n)-1&<&n\ln(n)\\-1&<&0\end{array}}$
由於最後一個不等式對所有 $n$ 成立，那麼第一個不等式也成立，因此 $t_{n}<a_{n}$ 對所有 $n>2$ 成立。
因此，根據直接比較檢驗，由於檢驗級數發散，並且其項小於原始級數中的項，因此原始級數也發散。

2. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\cos(n))^{3}}{n^{2}+n+1}}$

提示

選擇 $t_{n}=1/n^{2}$ 並使用絕對收斂定理替換 $\cos(n)$ 為 $|\cos(n)|$ 以便使項為正。

答案

該級數由 DCT 收斂。

解答

步驟 1 - 選擇一個檢驗級數

首先，讓我們看一下分母多項式 $n^{2}+n+1$。當 $n$ 變得非常大時，$n^{2}$ 項將支配其他兩項。因此，我們將刪除 $n+1$，只保留 $n^{2}$ 在分母中。現在，讓我們看一下分子。沒有簡單的方法來確定 $(\cos(n))^{3}$ 當 $n$ 趨於無窮時的行為。本質上，它在 $-1$ 和 $+1$ 之間振盪。

然而，我們知道 $\cos(n)\leq 1$，並且也 $(\cos(n))^{3}\leq 1$。現在，我們需要了解一個可能不太明顯的要點。觀察 $\cos(n)$，我們需要確保它永遠不會為零。（稍後您就會明白原因）。我們可以斷言嗎？什麼時候 $\cos(x)=0$？當 $x$ 是 $\pi /2$ 的倍數時，它為零。換句話說，是否存在一個正整數 $k$ 使得 $n=k\pi /2$？不，$n=1,2,3,...$ 且 $\pi$ 是無理數。這意味著 $n$ 永遠不會是 $\pi$ 的倍數，因此，$\cos(n)$ 永遠不會為零。

然而，在我們使用這個測試之前，還需要處理一個額外的細節。請注意，這兩個不等式都要求 $a_{n}$ 項為正。這是一個重要的細節。如果我們沒有這個要求，我們就不能使用直接比較測試。

幸運的是，我們有一個定理可以幫助我們。絕對收斂定理告訴我們，如果 $\textstyle {\sum {\left|a_{n}\right|}}$ 收斂，那麼 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 也收斂。所以我們將用 $\left|\cos(n)\right|$ 替換 $\cos(n)$。所以我們將用 $1$ 替換 $(\cos(n))^{3}$ 在我們的測試級數中看看會發生什麼。

所以，這給了我們一個p-級數 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 作為測試級數，它收斂。我們將這個級數稱為 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$，其中 $t_{n}=1/n^{2}$

步驟 2 - 建立不等式

由於我們最終得到的測試級數收斂，我們建立不等式為 $0<a_{n}\leq t_{n}$。我希望你現在能明白確保 $\cos(n)$ 從未取值為零的重要性。如果取值為零，不等式的第一部分 $0<a_{n}$ 就不成立，因此我們無法使用此測試。

所以我們需要證明的不等式是 $\displaystyle {{\frac {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}{n^{2}+n+1}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}}$

步驟 3 - 證明不等式成立

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}{n^{2}+n+1}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\\\displaystyle {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}&\leq &\displaystyle {\frac {n^{2}+n+1}{n^{2}}}\\\displaystyle {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}&\leq &\displaystyle {1+1/n+1/n^{2}}\end{array}}$

我們在本解決方案的開頭附近討論過，$(\left|\cos(n)\right|)^{3}$ 始終小於 1。由於不等式的右邊始終大於 1，因此可以說該不等式對所有 $n$ 成立。因此，級數 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 收斂。

3. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}$

提示

選擇 $t_{n}=1/n^{3}$ 並使用絕對收斂定理替換 $\sin(n)$ 為 $|\sin(n)|$。

答案

該級數由 DCT 收斂。

解答

$\displaystyle {a_{n}={\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}}$

在開始使用直接比較檢驗之前，我們必須仔細檢視要求。請注意，在兩個不等式中，我們都要求 $a_{n}>0$。但是，對於此級數，正弦項引入了某些負項。因此，我們不能直接使用直接比較檢驗。這是一個重要的細節。如果我們不處理此細節，則無法使用直接比較檢驗。

幸運的是，我們有一個定理可以幫助我們。絕對收斂定理告訴我們，如果 $\sum {|a_{n}|}$ 收斂，則 $\sum {a_{n}}$ 也收斂。在這種情況下，
$\displaystyle {|a_{n}|=\left|{\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}\right|={\frac {|\sin(n)|}{|n^{3}+n+1|}}}$
由於 $n>0$，分母始終為正，因此我們只需要將 $\sin(n)$ 替換為 $|\sin(n)|$。因此，在這個問題中，我們將朝著收斂性努力。如果我們得到該級數發散的結果，那麼我們不能使用絕對收斂定理，結果是不確定的。

對於較大的 $n$，$n^{3}$ 項占主導地位。在分子中，$|\sin(n)|$ 始終小於或等於 1，讓我們將此級數與測試級數 $\sum {t_{n}}$ 進行比較，其中 $\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n^{3}}}}$。

由於 $t_{n}$ 是一個 p 級數，其中 $p=3>1$，因此測試級數收斂。所以直接比較測試要求我們將不等式設定為 $a_{n}\leq t_{n}$。

${\begin{array}{rcl}a_{n}&\leq &t_{n}\\\displaystyle {\frac {|\sin(n)|}{n^{3}+n+1}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{3}}}\\|\sin(n)|&\leq &\displaystyle {\frac {n^{3}+n+1}{n^{3}}}\\|\sin(n)|&\leq &\displaystyle {1+{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}\end{array}}$

最後一個不等式始終成立，因為 $|\sin(n)|\leq 1$ 並且右側始終大於 1。因此該級數收斂。

帶影片解答的練習題

1

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{4}+1}}$

答案 收斂

解答

2

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9^{n}}{3+10^{n}}}$

答案 收斂

解答