微積分/多元微積分/極限與連續性

極限與連續性

在研究多元函式的導數之前，我們需要先了解多元函式的極限，就像單變數函式的情況一樣。

如果我們有一個函式 f : R^m → Rⁿ，我們說 f(x) 當 x 趨近於 a (在 R^m 中) 時趨近於 b (在 Rⁿ 中)，如果對於所有正 ε，都存在一個對應的正數 δ，使得當 |x-a| < δ 且 x ≠ a 時，|f(x)-b| < ε。

這意味著透過使 x 和 a 之間的差越來越小，我們可以使 f(x) 和 b 之間的差儘可能小。

如果上述情況成立，我們說

f(x) 在 a 處有極限 b
$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {b}$
f(x) 當 x 趨近於 a 時趨近於 b
f(x) → b 當 x → a

這四個說法是等價的。

由於這幾乎是單變數函式極限的相同表達方式，因此單變數函式中的許多極限規則與多元函式的情況相同。

對於 f 和 g，對映 R^m 到 Rⁿ，以及 h(x) 是一個將 R^m 對映到 R 的標量函式，其中

那麼

$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }(\mathbf {f} +\mathbf {g} )=\mathbf {b} +\mathbf {c}$
$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }(h\mathbf {f} )=H\mathbf {b}$

因此

$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }(\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )=\mathbf {b} \cdot \mathbf {c}$
$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }(\mathbf {f} \times \mathbf {g} )=\mathbf {b} \times \mathbf {c}$

當 H≠0 時

$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }({\mathbf {f} \over h})={\mathbf {b} \over H}$

同樣，我們可以使用與單變數情況類似的定義來制定多元變數的連續性定義。

如果 f : R^m → Rⁿ，函式 f 在 R^m 中的點 a 處連續，如果 f(a) 被定義且

\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {a} )

就像一維函式一樣，如果 f、g 在 p 處都連續，那麼 f+g、λf（對於標量 λ）、f·g 和 f×g 也是連續的。如果 φ : R^m → R 在 p 處連續，那麼 φf、f/φ 也是連續的，前提是 φ 從未為零。

從這些事實我們還可以得出，如果 A 是一個大小為 n×m 的矩陣，其中 x 在 R^m 中，函式 f(x)=A x 是連續的，因為該函式可以展開成 x₁a₁+...+x_ma_m 的形式，這可以從上面的論點中輕鬆驗證。

如果 **f** : **R**^m → **R**ⁿ 形如 f(x) = (f₁(x),...,f_n(x)，則當其定義域內所有分量函式均為多項式或有理函式時，該函式連續。

最後，如果 f 在 p 處連續，g 在 f(p) 處連續，則 g(f(x)) 在 p 處連續。

需要注意的是，我們可以從 **多個方向** 逼近一個點，因此，我們逼近該點的方向會在我們對極限的評估中起作用。可能存在一個極限在某一個方向上存在，但在另一個方向上不存在。