微積分/反函式定理，隱函式定理

在本章中，我們想證明反函式定理（它斷言如果一個函式在某一點具有可逆微分，那麼它本身是區域性可逆的）和隱函式定理（它斷言某些集合是函式的影像）。

巴拿赫不動點定理

定理:

令 $(M,d)$ 是一個完備的度量空間，並且令 $f:M\to M$ 是一個 *嚴格的壓縮對映*；也就是說，存在一個常數 $0\leq \lambda <1$ 使得

$\forall m,n\in M:d(f(m),f(n))\leq \lambda d(m,n)$.

那麼 $f$ 具有唯一的 *不動點*，這意味著存在唯一的 $x\in M$ 使得 $f(x)=x$。此外，如果我們從一個完全任意的點 $y\in M$ 開始，那麼序列

$y,f(y),f(f(y)),f(f(f(y))),\ldots$

收斂於 $x$。

證明:

首先，我們證明不動點的唯一性。假設 $x,y$ 都是不動點。那麼

$d(x,y)=d(f(x),f(y))\leq \lambda d(x,y)\Rightarrow (1-\lambda )d(x,y)=0$.

由於 $0\leq \lambda <1$，這蘊含著 $d(x,y)=0\Rightarrow x=y$。

現在我們證明序列 $y,f(y),f(f(y)),f(f(f(y))),\ldots$ 的存在性，同時證明關於該序列收斂性的斷言。為了方便記號，我們令 $z_{0}:=y$，如果 $z_{n}$ 已經定義，我們令 $z_{n+1}=f(z_{n})$。那麼序列 $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 就是序列 $y,f(y),f(f(y)),f(f(f(y))),\ldots$ 本身。

令 $n\geq 0$。我們斷言

$d(z_{n+1},z_{n})\leq \lambda ^{n}d(z_{1},z_{0})$.

事實上，這可以透過對 $n$ 進行歸納證明。當 $n=0$ 時，該斷言顯然成立。如果該斷言對 $n$ 成立，那麼 $d(z_{n+2},z_{n+1})=d(f(z_{n+1}),f(z_{n}))\leq \lambda d(z_{n+1},z_{n})\leq \lambda \cdot \lambda ^{n}d(z_{1},z_{0})$。

因此，根據三角不等式，

${\begin{aligned}d(z_{n+m},z_{n})&\leq \sum _{j=n+1}^{n+m}d(z_{j},z_{j-1})\\&\leq \sum _{j=n+1}^{n+m}\lambda ^{j-1}d(z_{1},z_{0})\\&\leq \sum _{j=n+1}^{\infty }\lambda ^{j-1}d(z_{1},z_{0})\\&=d(z_{1},z_{0})\lambda ^{n}{\frac {1}{1-\lambda }}\end{aligned}}$.

後一個表示式當 $n\to \infty$ 時趨於零，因此我們正在處理一個柯西序列。由於我們處於一個完備的度量空間，因此它收斂於一個極限 $x$。這個極限進一步是一個不動點，因為 $f$ ($f$ 是一個常數為 $\lambda$ 的 Lipschitz 連續函式）意味著

$x=\lim _{n\to \infty }z_{n}=\lim _{n\to \infty }f(z_{n-1})=f(\lim _{n\to \infty }z_{n-1})=f(x)$.$\Box$

這個重要結果的一個推論是以下引理，它將是逆函式定理證明的主要成分。

引理:

令 $g:{\overline {B_{r}(0)}}\to {\overline {B_{r}(0)}}$ (${\overline {B_{r}(0)}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ 表示半徑為 $r$ 的閉球）是一個 Lipschitz 連續函式，其 Lipschitz 常數小於或等於 $1/2$，使得 $g(0)=0$。那麼函式

$f:{\overline {B_{r}(0)}}\to \mathbb {R} ^{n},f(x):=g(x)+x$

是單射的，並且 $B_{r/2}(0)\subseteq f(B_{r}(0))$.

證明:

首先，我們注意到對於 $y\in B_{r/2}(0)$，函式

$h:{\overline {B_{r}(0)}}\to \mathbb {R} ^{n},h(z):=y-g(z)$

是一個嚴格的壓縮對映；這是由於

$\|y-g(z)-(y-g(z'))\|=\|g(z')-g(z)\|\leq {\frac {1}{2}}\|z-z'\|$.

此外，它將 ${\overline {B_{r}(0)}}$ 對映到自身，因為對於 $z\in {\overline {B_{r}(0)}}$

$\|y-g(z)\|\leq \|y\|+\|g(z-0)\|\leq {\frac {r}{2}}+{\frac {1}{2}}\|z\|\leq r$.

因此，Banach 不動點定理適用於 $h$。現在 $x$ 是 $h$ 的不動點等價於

$f(x)=y$,

因此 $B_{r/2}(0)\subseteq f(B_{r}(0))$ 來自不動點存在。此外，如果 $f(x)=f(x')$，則

${\frac {1}{2}}\|x-x'\|\geq \|g(x)-g(x')\|=\|f(x)-x-(f(x')-x')\|=\|x-x'\|$

因此 $x=x'$。因此是單射。$\Box$

反函式定理

定理:

設 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 是一個在鄰域 $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ 內連續可微的函式，使得 $f'(x_{0})$ 可逆。則存在一個開集 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$，其中 $x_{0}\in U$，使得 $f|_{U}$ 是一個雙射函式，其逆函式為 $f^{-1}:f(U)\to U$，該函式在 $x_{0}$ 處可微，並滿足

$(f^{-1})'(f(x_{0}))=(f'(x_{0}))^{-1}$.

證明:

我們首先將問題簡化為 $f(x_{0})=0$，$x_{0}=0$ 以及 $f'(x_{0})={\text{Id}}$ 的情況。實際上，假設所有這些函式都滿足定理，現在設 $h$ 是一個滿足定理要求的任意函式（可微性在 $x_{0}$ 處給出）。我們設定

${\tilde {h}}(x):=h'(x_{0})^{-1}(h(x_{0}-x)-h(x_{0}))$

並得到 ${\tilde {h}}$ 在 $0$ 處可微，其微分是 ${\text{Id}}$，並且 ${\tilde {h}}(0)=0$；第一個性質成立是因為我們將函式和線性仿射近似都乘以了 $h'(x_{0})^{-1}$ 並且僅僅平移了函式，而第二個性質則是從代入 $x=0$ 中得到的。因此，我們得到 ${\tilde {h}}$ 的逆，其微分在 ${\tilde {h}}(0)=0$ 處，如果我們現在設定

$h^{-1}(y):=({\tilde {h}}^{-1}(h'(x_{0})^{-1}(y-h(x_{0})))-x_{0})$,

可以看出 $h^{-1}$ 是 $h$ 的逆，具有所有所需性質（這是一個有點繁瑣的練習，但只是涉及到定義而已）。

因此，設 $f$ 是一個函式，使得 $f(0)=0$，$f$ 在 $0$ 處可逆，並且 $f'(0)={\text{Id}}$。我們定義

$g(x):=f(x)-x$.

此函式的微分為零（因為微分是線性的，函式 $x\mapsto x$ 的微分是單位運算）。由於函式 $g$ 在 $0$ 的一個小鄰域內也連續可微，我們發現存在 $\delta >0$ 使得

${\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(x)<{\frac {1}{2n^{2}}}$

對所有 $j\in \{1,\ldots ,n\}$ 和 $x\in B_{\delta }(0)$ 成立。由於另外 $g(0)=f(0)-0=0$，一般均值定理和柯西不等式意味著對於 $k\in \{1,\ldots ,n\}$ 和 $x\in B_{\delta }(0)$，

$|g_{k}(x)|=|\langle x,{\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(t_{k}x)\rangle |\leq \|x\|n{\frac {1}{2n^{2}}}$

對於合適的 $t_{k}\in [0,1]$ 成立。因此，

$\|g(x)\|\leq |g_{1}(x)|+\cdots +|g_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2}}\|x\|$ （三角不等式），

因此，我們得到我們的準備引理是適用的，並且 $f$ 是關於 ${\overline {B_{\delta }(0)}}$ 的雙射，其像包含在開集 ${\overline {B_{\delta /2}(0)}}$ 內；因此我們可以選擇 $U:=f^{-1}(B_{\delta /2}(0))$，由於 $f$ 的連續性，它是開放的。

因此，定理中最重要的一部分已經完成了。剩下的就是要證明 $f^{-1}$ 在 $0$ 處的可微性。現在我們甚至證明了更強一點的斷言，即 $f^{-1}$ 在 $x_{0}$ 處的微分由單位矩陣給出，儘管這也可以在可微性被證明後從鏈式法則得出。

現在注意到，$g$ 的收縮恆等式暗示著 $f$ 的以下界限

${\frac {1}{2}}\|x\|\leq \|f(x)\|\leq {\frac {3}{2}}\|x\|$.

第二個界限來自

$\|f(x)\|\leq \|f(x)-x\|+\|x\|=\|g(x)\|+\|x\|\leq {\frac {3}{2}}\|x\|$,

而第一個界限來自

$\|f(x)\|\geq |\|f(x)-x\|-\|x\||=\left|\|g(x)\|-\|x\|\right|\geq {\frac {1}{2}}\|x\|$.

現在來討論在 $0$ 處的可微性。根據極限的代入（因為 $f$ 是連續的，且 $f(0)=0$ )

${\begin{aligned}\lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\|f^{-1}(\mathbf {h} )-f^{-1}(0)-\operatorname {Id} (\mathbf {h} -0)\|}{\|\mathbf {h} \|}}&=\lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\|f^{-1}(f(\mathbf {h} ))-f(\mathbf {h} )\|}{\|f(\mathbf {h} )\|}}\\&=\lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\|\mathbf {h} -f(\mathbf {h} )\|}{\|f(\mathbf {h} )\|}},\end{aligned}}$

其中最後一個表示式收斂於零，這是因為 $f$ 在 $0$ 處可微，微分為單位對映，並應用夾逼準則於表示式

${\frac {\|\mathbf {h} -f(\mathbf {h} )\|}{{\frac {3}{2}}\|\mathbf {h} \|}}$

以及

${\frac {\|\mathbf {h} -f(\mathbf {h} )\|}{{\frac {1}{2}}\|\mathbf {h} \|}}$.$\Box$

隱函式定理

定理:

令 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 是一個連續可微函式，並考慮集合

$S:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\}$.

如果給定一些 $y\in S$ 使得 $\partial _{n}f(y)\neq 0$，那麼我們找到了 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ 開集，其中 $(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\in U$，並且 $g:U\to S$ 使得

$y=g(y_{1},\ldots ,y_{n-1})$ 並且 $\{(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))|(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in U\}\subseteq S$，

其中 $\{(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))|(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in U\}$ 關於 $U$ 的子空間拓撲是開集。

此外，$g$ 是一個可微函式。

證明:

我們定義一個新函式

$F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},F(x_{1},\ldots ,x_{n}):=(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n}))$.

該函式的微分如下所示

$F'(x)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &&0\\0&1&&&\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&1&0\\\partial _{1}f(x)&&\cdots &&\partial _{n}f(x)\end{pmatrix}}$

由於我們假設 $\partial _{n}f(y)\neq 0$，$F'(y)$ 是可逆的，因此反函式定理意味著存在一個小開鄰域 ${\tilde {V}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 包含 $y$，使得 *限制在該鄰域上* $F$ 本身是可逆的，具有一個可微分的逆函式 $F^{-1}$，它本身在包含 $F(y)$ 的一個開集 ${\tilde {U}}$ 上定義。現在首先設定

$U:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})|(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)\in {\tilde {U}}\}$,

它相對於 $\mathbb {R} ^{n-1}$ 的子空間拓撲是開放的，然後

$g:U\to \mathbb {R} ,g(x_{1},\ldots ,x_{n-1}):=\pi _{n}(F^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0))$,

$F^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)$ 的第 $n$ 個分量。我們斷言 $g$ 具有所需的性質。

事實上，我們首先注意到 $F^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)=(x_{1},\ldots ,x_{n-1},g(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))$，因為應用 $F$ 會使前 $n-1$ 個分量保持不變，因此透過觀察 $F(F^{-1}(x))=x$ 我們得到了恆等式。因此，令 $(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in U$。那麼

${\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))&=(\pi _{n}\circ F)(F^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1},0))\\&=\pi _{n}((F\circ F^{-1})(z_{1},\ldots ,z_{n-1},0))=0\end{aligned}}$.

此外，集合

$\{(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))|(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in U\}$

關於 $S$ 上的子空間拓撲是開放的。事實上，我們展示

$\{(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))|(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in U\}=S\cap {\tilde {V}}$.

對於 $\subseteq$，我們首先注意到左側的集合在 $S$ 中，因為其中的所有點都對映到 $f$ 的零點。此外，

$F(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))=(z_{1},\ldots ,z_{n-1},0)\in {\tilde {U}}$

因此，當應用 $\subseteq$ 時，完成 $F^{-1}$。對於另一個方向，設 $S\cap {\tilde {V}}$ 中的點 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 為已知，應用 $F$ 可得

$F((x_{1},\ldots ,x_{n}))=(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)\in {\tilde {U}}$

因此，$(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in U$；進一步

$(x_{1},\ldots ,x_{n-1},g(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))=(x_{1},\ldots ,x_{n})$

透過對等式兩邊應用 $F$。

現在 $g$ 作為可微函式的組成部分自動可微。 $\Box$

非正式地說，上述定理指出，給定一個集合 $\{x\in \mathbb {R} ^{n}|f(x)=0\}$，可以選擇前 $n-1$ 個座標作為函式的“基”，其圖形正是該集合的區域性部分。