比值檢驗可能是 **最重要的檢驗，也是你在學習無窮級數時最常用的檢驗**。它在冪級數中被大量使用。我認為它是所有檢驗中最強大的。所以我建議你從一開始就掌握它。它並不難，如果你代數能力很強，你甚至會發現使用它很有趣。另外，你越熟悉它，你做的練習題越多，你就能越快地看到一個級數，並幾乎立即判斷比值檢驗是否能告訴你你需要知道的內容。
用於證明收斂
是
用於證明發散
是
可能不確定
是
如果 L = ∞ {\displaystyle L=\infty } L > 1 {\displaystyle L>1}
a n {\displaystyle a_{n}} 需要計算無窮大的極限 當求和中包含某些元素時，比值檢驗最為適用。要對此有一個直觀感受，可以在你做練習題時，構建一個包含有效檢驗示例的表格集。這是一種非常強大的技巧，可以幫助你真正理解無窮級數。
包含階乘的求和。
包含帶有 n {\displaystyle n} 一般來說，我們的想法是設定比率 lim n → ∞ | a n + 1 a n | = L {\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}=L}} a n {\displaystyle a_{n}} a n + 1 {\displaystyle a_{n+1}}
Key - It is important to remember to use the absolute value signs unless you are absolutely convinced that the term will always be positive. This is critical to practice up front since, once you get to Taylor Series, you can't and don't want to drop the absolute value signs. They are critical to the result. It is never wrong to include them and, as you work more problems, you will get a feel for when you need them and when you don't. In the practice problems and examples, we will use them unless we explicitly state that they are not needed. Some instructors are less rigid about this than others. As always, check with your instructor to see what they require.
如果你得到 L = ∞ {\displaystyle L=\infty }
在你取極限的分數中， n + 1 {\displaystyle n+1} n {\displaystyle n}
如果你得到 L = 1 {\displaystyle L=1} 這裡有幾個關於比率檢驗的證明。比率檢驗證明
這裡有第二個證明，在 3 個獨立的影片中展示。
你不需要觀看這些證明才能使用和理解比率檢驗。我們在這裡包含它們是為了那些感興趣的人。
第一個影片剪輯 [1min-50secs] 是對比率檢驗的很好的概述。請注意，他沒有使用絕對值符號，因此他要求項為正。級數、比較 + 比率檢驗
下一個影片的開頭 [9min-19secs] 對比率檢驗進行了很好的討論。然後，講師展示了比率檢驗不確定的兩個例子，以強調當比率檢驗不確定時，級數可能收斂或發散。收斂的比率檢驗
花幾分鐘時間瀏覽你的練習題列表。你會注意到有很多非常不同的練習題。解決無限級數問題的關鍵是找到模式，以便你能夠快速縮小可能有效的方法到 2 或 3 種。對於比率檢驗有效的題目來說尤其如此。
使用比率檢驗（如果可能）確定這些級數的收斂或發散性。[這些說明意味著如果比率檢驗失敗 ( L = 1 ) {\displaystyle (L=1)}
1. ∑ n = 0 ∞ [ n ! 2 n ] {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left[{\frac {n!}{2^{n}}}\right]}}
解答
只要有階乘，比率檢驗通常都有效。因此，讓我們嘗試一下。
a n = n ! 2 n {\displaystyle \displaystyle {a_{n}={\frac {n!}{2^{n}}}}} 以及
a n + 1 = ( n + 1 ) ! 2 n + 1 {\displaystyle \displaystyle {a_{n+1}={\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}}} lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ | ( n + 1 ) ! 2 n + 1 ÷ n ! 2 n | = lim n → ∞ | ( n + 1 ) ! 2 n + 1 ⋅ 2 n n ! | {\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}=\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}\div {\frac {n!}{2^{n}}}\right|}=\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}\cdot {\frac {2^{n}}{n!}}\right|}}} 現在合併同類項。
2 n 2 n + 1 = 2 n 2 ( 2 n ) = 1 / 2 {\displaystyle \displaystyle {{\frac {2^{n}}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n}}{2(2^{n})}}=1/2}} ( n + 1 ) ! n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4... n ⋅ ( n + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4... n = n + 1 {\displaystyle \displaystyle {{\frac {(n+1)!}{n!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4...n\cdot (n+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4...n}}=n+1}} 因此，我們的極限現在是
lim n → ∞ | n + 1 2 | = ∞ 2 = ∞ > 1 → {\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {n+1}{2}}\right|}={\frac {\infty }{2}}=\infty >1\to }} 級數發散。
注意 - 我們可以在整個問題中省略絕對值符號，因為這些項始終為正。但是，為了完全遵循定理，我們需要它們，除非我們明確說明比率為正。這是一種常見做法（儘管並不總是好的做法），即在沒有解釋的情況下省略它們，老師經常這樣做。如果你不理解某些東西，一定要問。
只要有階乘，比率檢驗通常都有效。因此，讓我們嘗試一下。
a n = n ! 2 n {\displaystyle \displaystyle {a_{n}={\frac {n!}{2^{n}}}}} 以及
a n + 1 = ( n + 1 ) ! 2 n + 1 {\displaystyle \displaystyle {a_{n+1}={\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}}} lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ | ( n + 1 ) ! 2 n + 1 ÷ n ! 2 n | = lim n → ∞ | ( n + 1 ) ! 2 n + 1 ⋅ 2 n n ! | {\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}=\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}\div {\frac {n!}{2^{n}}}\right|}=\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}\cdot {\frac {2^{n}}{n!}}\right|}}} 現在合併同類項。
2 n 2 n + 1 = 2 n 2 ( 2 n ) = 1 / 2 {\displaystyle \displaystyle {{\frac {2^{n}}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n}}{2(2^{n})}}=1/2}} ( n + 1 ) ! n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4... n ⋅ ( n + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4... n = n + 1 {\displaystyle \displaystyle {{\frac {(n+1)!}{n!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4...n\cdot (n+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4...n}}=n+1}} 因此，我們的極限現在是
lim n → ∞ | n + 1 2 | = ∞ 2 = ∞ > 1 → {\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {n+1}{2}}\right|}={\frac {\infty }{2}}=\infty >1\to }} 級數發散。
注意 - 我們可以在整個問題中省略絕對值符號，因為這些項始終為正。但是，為了完全遵循定理，我們需要它們，除非我們明確說明比率為正。這是一種常見做法（儘管並不總是好的做法），即在沒有解釋的情況下省略它們，老師經常這樣做。如果你不理解某些東西，一定要問。
1
∑ k = 1 ∞ [ 3 k k 2 ] {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left[{\frac {3^{k}}{k^{2}}}\right]}}
解答
2
∑ n = 1 ∞ [ ( 2 n ) ! n ! n ! ] {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left[{\frac {(2n)!}{n!n!}}\right]}}
解答
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left[{\frac {n!}{2^{n}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d7147eee04f81db4b761889f66fb06062db7e9)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left[{\frac {3^{k}}{k^{2}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9630fa679042473e216d648b949be31d7dc11f)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left[{\frac {(2n)!}{n!n!}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12accb13f493ce321f184c6b9b3a17efefcd140e)