微積分/積分檢驗

積分檢驗

積分檢驗使用起來很簡單，而且在比率檢驗和比較檢驗無法使用時，並且您確信可以計算積分時，它非常有用。該檢驗的想法是計算反常積分 $\displaystyle {\int _{k}^{\infty }{f(x)~dx}}$ .

積分檢驗利用了積分本質上是黎曼和，而黎曼和本身是在無限區間上的無限和。這很有用，因為積分相對直接且熟悉。

積分檢驗定義

對於級數 $\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}$ ，我們可以找到一個正數、連續遞減函式 $f$ ，當 $n>k$ 且 $a_{n}=f(n)$ 時，那麼我們知道，如果

         $\int _{k}^{\infty }{f(x)~dx}$

收斂，級數也收斂。
類似地，當積分發散時，級數也發散。

積分檢驗快速筆記

用於證明收斂	是
用於證明發散	是
可能不確定	是

$a_{n}$ 必須為正數且遞減
要求被積函式必須可積（並非總是可行）
要求計算無限極限（積分後）
如果極限結果（積分後）不存在（與發散不同），則該檢驗不確定

需要留意的事情

1. k 的值

首先，您需要找到一個常數 k，使得該函式滿足所有這些條件，對於所有 $n>k$

連續
正數
遞減

老師喜歡在考試中使用的一個常用的技巧（我在第一次上課時就中了招）是，他們會要求您使用積分檢驗，但是卻沒有告訴您 $k$ 。許多教材只展示了 $k=1$ 的積分，但這並不總是有效的。所以要小心。
如何找到 $k$
最好的方法是計算函式的臨界值，然後檢查導數在最大臨界值的右側是否為負。然後，如果你有圖形計算器，可以快速繪製圖形以檢查你的答案。如果一切看起來都很好，選擇 $k$ 大於最大的臨界值。任何值都可以，所以選擇一個在積分中易於使用的值。
沒有一個值總是有效。它取決於函式。

2. 積分的最終值
其次，如果你得到積分的有限值並確定級數收斂，你從積分得到的有限值並非級數收斂的值。這個數字本身在這個語境中沒有意義（即，我們不使用這個數字的值來告訴我們關於級數的任何資訊）。它的意義在於它是有限還是無限。就這樣。這是你能從這個數字中獲得的所有資訊。所以不要假設級數收斂於那個數字。

關於為什麼這個測試有效的直觀解釋

讓我們看看為什麼這個測試有效。舉個例子，我們將使用調和級數 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 。調和級數是一個眾所周知的級數，實際上是發散的。如果我們想近似積分，我們可以像在黎曼和中一樣使用矩形

注意，這種右手方法將始終低估積分（假設函式在我們選擇的區間上是遞減的）。這意味著如果右手和等於實際的無限級數，那麼積分本身必須大於這個和。這可以幫助顯示收斂性，因為如果從起點到無窮大的積分是收斂的，那麼根據比較測試，原始函式在這個區間上也必須是收斂的。因此我們可以看到，積分測試實際上是比較測試的“特例”。

但是發散性呢？這種情況也得到滿足——如果我們使用左手近似而不是右手近似，我們會看到我們再次獲得原始級數，但是有一個重要的區別

關鍵的區別在於，在這種情況下，積分成為級數的低估，我們可以使用積分的新“級數”來用比較測試顯示發散性。

這個測試很有用，但不幸的是，它只對可以積分且在大小上遞減的函式有用。後者可能看起來像是微不足道的和不必要的補充，但是想想這個測試是如何工作的；它依賴於這樣一個事實，即在一個區間上遞減的函式的積分將始終產生級數的低估/高估；如果函式在區間上的任何地方不遞減，積分不一定每次都產生低估/高估。

積分測試證明

這裡有 4 個連續的影片展示了積分測試的證明。你不需要按順序觀看這些影片才能理解和使用積分測試，但我們在這裡為有興趣的人提供它們。

積分測試證明 - 第 1 部分 / 4
積分測試證明 - 第 2 部分 / 4
積分測試證明 - 第 3 部分 / 4
積分測試證明 - 第 4 部分 / 4

影片推薦

如果你想要關於這個測試的完整講座，我們推薦這個影片。
微積分 2 講座 9.3：使用積分測試判斷級數的收斂性/發散性，p 級數

在這個影片片段 [11 分 23 秒] 中，他很好地解釋了積分測試。他使用積分測試來顯示 *p* 級數 $\textstyle {\sum {1/n}}$ 的發散性。
級數入門 + 積分測試

在這個影片中，講師透過在兩個級數 $\textstyle {\sum {1/n}}$ 和 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 上更詳細地解釋了積分測試，以顯示一個發散而另一個收斂。
級數的積分測試

這是另一個對積分測試的很好的解釋。他查看了和 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$ 。
積分測試 - 基本原理

這是一個很好的影片，它對為什麼它有效提供了直觀的理解。
級數的積分測試：為什麼它有效

最後一個影片討論了積分測試的餘項估計。雖然不理解如何使用積分測試不是必需的，但這個影片將幫助你更直觀地瞭解發生了什麼。
積分測試的餘項估計

例子

使用積分測試來確定以下級數是收斂還是發散。

例子 1

$\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {x^{2}+1}{x}}$

該級數不滿足第一個條件，即級數在所需區間上遞減； $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {x^{2}+1}{x}}=\infty$ 。應用積分檢驗仍然可以證明級數的收斂性。

示例 2

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$

然而，該級數在整個區間上並不總是遞減的。不過，它在 $n=1$ 處有一個相對最大值，之後它永遠遞減。因此，我們可以將該級數寫成 $\sum _{n=1}^{2}{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}+\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$ 。對該函式進行積分得到一個瑕積分 $\tan ^{-1}(n-3)$ ，從 $3$ 到無窮大，它收斂，因此該級數也收斂。

積分檢驗練習題

使用積分檢驗確定以下級數的收斂性或發散性，如果可能的話。

帶書面解答的練習題

1. $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

提示

k\geq 1

k\geq 1

答案

收斂

解答

這是一個 p 級數，其中

p=2>1

，因此根據 p 級數檢驗，該級數收斂。
如下所示，我們用積分檢驗。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\int _{1}^{\infty }{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{x^{-2}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\left[-x^{-1}\right]_{1}^{b}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{-b^{-1}+1^{-1}}}\\&=&0+1=1\end{array}}$

由於該反常積分是有限的，所以根據積分判別法，該級數收斂。
注意：積分中的值

1

不一定是級數收斂到的值。在這個上下文中，這個數字的意義僅僅在於它是有限的。

這是一個 p 級數，其中

p=2>1

，因此根據 p 級數檢驗，該級數收斂。
如下所示，我們用積分檢驗。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\int _{1}^{\infty }{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{x^{-2}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\left[-x^{-1}\right]_{1}^{b}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{-b^{-1}+1^{-1}}}\\&=&0+1=1\end{array}}$

由於該反常積分是有限的，所以根據積分判別法，該級數收斂。
注意：積分中的值

1

不一定是級數收斂到的值。在這個上下文中，這個數字的意義僅僅在於它是有限的。

帶影片解答的練習題

1	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}$	答案收斂收斂	解答		2	$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n[(\ln n)^{2}+4]}}$	答案收斂收斂	解答