微積分/求和符號

求和符號允許包含求和的表示式以簡單緊湊的方式表示。希臘字母大寫西格瑪 Σ 用於表示一組數字的總和。

示例

$\sum _{i=3}^{7}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}$

令 $f$ 是一個函式，且 $M,N$ 是整數，其中 $N<M$ 。那麼

$\sum _{i=N}^{M}f(i)=f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\cdots +f(M)$ .

我們說 $N$ 是求和的下限，而 $M$ 是求和的上限。

我們可以用任何其他變數替換字母 $i$ 。因此，$i$ 被稱為 *啞變數*。所以...

$\sum _{i=1}^{4}i=\sum _{j=1}^{4}j=\sum _{\alpha =1}^{4}\alpha =1+2+3+4$

按照慣例，我們使用字母 $i$ , $j$ , $k$ , $m$ 來表示啞變數。

示例

$\sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5$

這裡， *啞變數* 是 $i$ ，求和的 *下限* 是 1，而 *上限* 是 5。

示例

有時，你會看到沒有指定啞變數的求和符號，例如：

$\sum _{1}^{4}i^{3}=100$

在這種情況下，正確的啞變數應該從上下文中明確。

您也可能會看到限制未指定的案例。同樣，也必須從上下文中推斷出來。

常見求和

$\sum _{i=1}^{n}c=c+c+\cdots +c=nc\ ,\ c\in \mathbb {R}$

$\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{t\to \infty }\left[\sum _{i=1}^{t}a_{i}\right]$