微積分/極座標導論

極座標系是一個二維座標系，其中平面上的每個點由一個角度和一個距離確定。極座標系在關係可以用角度和距離最容易表達的情況下特別有用；在更熟悉的笛卡爾座標系或直角座標系中，這種關係只能透過三角公式找到。

由於座標系是二維的，因此每個點由兩個極座標確定：徑向座標和角度座標。徑向座標（通常表示為 $r$ ）表示點到中心點（稱為極點，相當於笛卡爾系統中的原點）的距離。角度座標（也稱為極角或方位角，通常表示為 $\theta$ 或 $t$ ）表示從 0° 射線（有時稱為極軸）到達該點所需的角度，該射線相當於笛卡爾座標平面上的正 $x$ 軸。

用極座標繪製點

極座標系中的每個點都可以用兩個極座標來描述，它們通常被稱為 $r$ （徑向座標）和 θ（角度座標，極角或方位角，有時表示為 $\phi$ 或 $t$ ）。 $r$ 座標表示點到極點的徑向距離，θ 座標表示從 $0^{\circ }$ 射線（有時稱為極軸）的逆時針角度，即笛卡爾座標平面上的正 $x$ 軸。

例如，極座標 $(3,60^{\circ })$ 將被繪製為一個點，它距離極點 3 個單位，位於 $60^{\circ }$ 射線上。座標 $(-3,240^{\circ })$ 也將繪製在該點，因為負徑向距離被測量為在相反射線上的正距離（關於原點反射的射線，與原始射線相差 $180^{\circ }$ ）。

極座標系的一個重要方面，笛卡爾座標系中沒有，就是同一個點可以用無窮多個不同的座標表示。這是因為繞中心極點旋轉任意多次都不會影響實際繪製的點的實際位置。一般來說，點 $(r,\theta )$ 可以表示為 $(r,\theta \pm 360^{\circ }k)$ 或 $(-r,\theta \pm (2k+1)180^{\circ })$ ，其中 $k$ 是任何整數。

約定使用任意座標 $(0,\theta )$ 來表示極點，因為無論 θ 座標如何，半徑為 0 的點始終在極點上。為了得到點的唯一表示，通常將 $r$ 限制為負數和非負數 $r\geq 0$ 以及 $\theta$ 到區間 $[0,360^{\circ })$ 或 $(-180^{\circ },180^{\circ }]$ （或者用弧度表示， $[0,2\pi )$ 或 $(-\pi ,\pi ]$ ）。

極座標表示中的角度通常以度數或弧度表示，使用轉換 $2\pi \ {\text{rad}}=360^{\circ }$ 。選擇在很大程度上取決於上下文。導航應用使用度數測量，而一些物理應用（特別是旋轉力學）和幾乎所有關於微積分的數學文獻都使用弧度測量。

極座標和笛卡爾座標之間的轉換

兩個極座標 $r,\theta$ 可以透過使用三角函式正弦和餘弦轉換為笛卡爾座標 $x,y$

x=r\cos(\theta )

y=r\sin(\theta )

儘管兩個笛卡爾座標 $x,y$ 可以轉換為極座標 $r$ ，但

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

（透過簡單的勾股定理應用）。

為了確定角座標 $\theta$ ，需要考慮以下兩種情況：

當 $r=0$ 時， $\theta$ 可以取任何實數。
當 $r\neq 0$ 時，為了獲得 $\theta$ 的唯一表示，它必須限制在大小為 $2\pi$ 的區間內。通常選擇這樣的區間為 $[0,2\pi )$ 和 $(-\pi ,\pi ]$ 。

為了在區間 $[0,2\pi )$ 內獲得 $\theta$ ，可以使用以下公式（ $\arctan$ 表示正切函式的反函式）

\theta ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+2\pi &{\text{if }}x>0{\text{ and }}y<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\end{cases}}

為了在區間 $(-\pi ,\pi ]$ 內獲得 $\theta$ ，可以使用以下公式：

\theta ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\end{cases}}

可以使用 atan2 函式來避免跟蹤分子和分母的符號，該函式對分子和分母有單獨的引數。

極座標方程

用極座標表示的代數曲線的定義方程稱為極座標方程。在許多情況下，這樣的方程可以透過定義 $r$ 作為 $\theta$ 的函式來簡單地指定。然後，由此產生的曲線將包含形式為 ${\big (}r(\theta ),\theta {\big )}$ 的點，並且可以看作是極座標函式 $r$ 的圖形。

可以從極座標函式 $r$ 的方程推匯出不同的對稱形式。如果 $r(-\theta )=r(\theta )$ ，則曲線將關於水平 $(0^{\circ }/180^{\circ })$ 射線對稱；如果 $r(\pi -\theta )=r(\theta )$ ，則它將關於垂直 $(90^{\circ }/270^{\circ })$ 射線對稱；如果 $r(\theta -\alpha ^{\circ })=r(\theta )$ ，則它將圍繞極點逆時針旋轉 $\alpha ^{\circ }$ 對稱。

由於極座標系的圓形性質，許多曲線可以用一個相當簡單的極座標方程來描述，而它們的笛卡爾形式則要複雜得多。其中最著名的曲線包括極座標玫瑰、阿基米德螺旋線、雙紐線、心臟線和心形線。

對於下面的圓、線和極座標玫瑰，可以理解，曲線沒有對域和範圍的限制。

圓

以 $(r_{0},\phi )$ 為圓心，半徑為 $a$ 的圓的一般方程為

r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}

此方程可以以多種方式簡化，以適應更具體的案例，例如方程

r(\theta )=a

用於以極點為圓心，半徑為 $a$ 的圓。

直線

徑向直線（那些穿過極點的直線）由方程表示

\theta =\varphi

其中 $\phi$ 是直線的仰角；也就是說， $\phi =\arctan(m)$ 其中 $m$ 是直線在笛卡爾座標系中的斜率。垂直穿過徑向線 $\theta =\phi$ 於點 $(r_{0},\phi )$ 的非徑向直線具有方程

r(\theta )=r_{0}\sec(\theta -\varphi )

極座標玫瑰線

極座標玫瑰線是一種著名的數學曲線，它看起來像一朵花瓣花，可以用一個簡單的極座標方程來表示。

r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})

對於任何常數 $\phi _{0}$ （包括 0）。如果 $k$ 是一個整數，這些方程將產生一個 $k$ 瓣玫瑰，如果 $k$ 是奇數，或者一個 $2k$ 瓣玫瑰，如果 $k$ 是偶數。如果 $k$ 是有理數但不是整數，可能會形成玫瑰狀的形狀，但花瓣會重疊。請注意，這些方程永遠不會定義一個有 2、6、10、14 等花瓣的玫瑰。變數 $a$ 代表玫瑰花瓣的長度。

阿基米德螺旋線

阿基米德螺旋線是一種著名的螺旋線，由阿基米德發現，也可以用簡單的極座標方程表示。它由以下方程表示

r(\theta )=a+b\theta

改變引數 $a$ 將旋轉螺旋線，而 $b$ 控制臂之間的距離，對於給定的螺旋線，該距離始終是常數。阿基米德螺旋線有兩條臂，一條對於 $\theta >0$ ，另一條對於 $\theta <0$ 。兩條臂在極點處平滑連線。將一條臂沿 $90^{\circ }/270^{\circ }$ 線映象將產生另一條臂。該曲線值得注意的是，它是在圓錐曲線之後第一個在數學論文中描述的曲線之一，也是用極座標方程定義的曲線的典型例子。