微積分/多元微積分/偏導數

可微函式

我們將從一點 *p* 的導數的單變數定義開始，即

$\lim _{x\rightarrow p}{f(x)-f(p) \over x-p}=f'(p)$

讓我們將上面的公式改為等價形式

$\lim _{x\rightarrow p}{f(x)-f(p)-f'(p)(x-p) \over x-p}=0$

這是在將 f'(p) 提到裡面並將它放在一個共同分母上之後得到的。

我們不能除以向量，所以這個定義不能立即擴充套件到多變數情況。儘管如此，我們不必這樣做：我們感興趣的是兩個小距離（大小）的商，而不是它們的其他性質（如符號）。值得注意的是，被忽略的向量的“其他”屬性是它的方向。現在我們可以除以向量的絕對值，所以讓我們用絕對值來重寫這個定義

$\lim _{x\rightarrow p}{\frac {\left|f(x)-f(p)-f'(p)(x-p)\right|}{\left|x-p\right|}}=0$

上面公式的另一種形式是，令 $h=x-p$ 我們有 $x=p+h$，並且如果 $x\rightarrow p$，那麼 $h=x-p\rightarrow 0$，所以

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left|f(p+h)-f(p)-f'(p)h\right|}{\left|h\right|}}=0$,

其中 $h$ 可以被認為是一個“微小變化”。

那麼，我們如何在多變數情況下使用這個定義呢？

如果我們將所有變數都切換到向量，並將常量（它在單維中執行線性對映）替換為矩陣（它也表示線性對映），我們得到

$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {p} }{|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )-\mathbf {A} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )| \over |\mathbf {x} -\mathbf {p} |}=0$

或

$\lim _{\mathbf {h} \rightarrow \mathbf {0} }{|\mathbf {f} (\mathbf {p} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )-\mathbf {A} \mathbf {h} | \over |\mathbf {h} |}=0$

如果此極限對於某個 f : R^m → Rⁿ 存在，並且存在一個線性對映 A : R^m → Rⁿ（用 m×n 矩陣 A 表示），我們將此對映稱為導數，並將其記為 D_p f。

關於術語的一點說明 - 在指代求導操作（得到線性對映 A）時，我們寫 D_p f，但在指代矩陣 A 本身時，它被稱為雅可比矩陣，也記為 J_p f。關於雅可比矩陣的更多內容將在後面介紹。

性質

這種導數公式有許多重要的性質。

仿射近似

如果 f 在 p 處可微，對於接近 p 的 x，|f(x)-(f(p)+A(x-p))| 相對於 |x-p| 很小，這意味著 f(x) 近似等於 f(p)+A(x-p)。

當 g(x) 是線性且 c 是常數時，我們將形如 g(x)+c 的表示式稱為仿射表示式。f(p)+A(x-p) 是 f(x) 的仿射近似。

雅可比矩陣和偏導數

函式的雅可比矩陣形式為

$\left(J_{\mathbf {p} }\mathbf {f} \right)_{ij}=\left.{\partial f_{i} \over \partial x_{j}}\right|_{\mathbf {p} }$

對於 f : R^m → Rⁿ，J_p f 是一個 n×m 矩陣。

因此，如果 f 在 p 處可微，則 f 在 p 處的所有偏導數都存在。

然而，一個函式的所有偏導數可能在一個點處存在，而該函式在該點處不可微，因此，在類似於上述情況的情況下，不要混淆導數（線性對映）和雅可比矩陣（矩陣）非常重要。

連續性和可微性

此外，如果所有偏導數都存在，並且在點 p 的某個鄰域內是連續的，那麼 f 在 p 處是可微的。這意味著對於一個函式 f，其分量函式由連續函式構成（例如有理函式、可微函式或其他函式），f 在 f 定義的任何地方都是可微的。

對於一個在 p 處可微的函式，其所有偏導數都存在並且在 p 的某個鄰域內是連續的，我們使用術語“連續可微”。