微積分/多元微積分導論

本章作為多元微積分的介紹。多元微積分比我們處理單變數函式時要複雜，因為更多的變數意味著更多的情況需要考慮。在接下來的章節中，我們將討論多元函式的極限、微分和積分，以單變數微積分作為基礎。

Rⁿ中的拓撲

在你之前學習微積分的過程中，我們已經研究了函式及其行為。我們考察的大多數函式都具有以下形式

$f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

並且只偶爾考察兩個變數的函式。然而，對多個變數函式的研究本身就相當豐富，並且在多個領域都有應用。

我們將向量函式 - 多個變數 - 寫成如下形式

$f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$

以及 $f({\vec {x}})$ 表示將$\mathbb {R} ^{m}$ 中的向量對映到$\mathbb {R} ^{n}$ 中的向量的函式。

在我們可以在$\mathbb {R} ^{n}$ 中進行微積分之前，我們必須熟悉$\mathbb {R} ^{n}$ 的結構。我們需要知道$\mathbb {R}$ 的哪些性質可以擴充套件到$\mathbb {R} ^{n}$ 。本頁假設至少對基本的線性代數有所瞭解。

長度和距離

如果我們在$\mathbb {R} ^{2}$ 中有一個向量，我們可以使用勾股定理來計算它的長度。例如，向量$(2,3)$ 的長度是

${\sqrt {3^{2}+2^{2}}}={\sqrt {13}}$

我們可以將此推廣到 $\mathbb {R} ^{n}$ 。我們定義一個向量的長度，寫成 $\|{\vec {x}}\|$ ，為其每個分量平方和的平方根。也就是說，如果我們有一個向量 ${\vec {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ，

$\|{\vec {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$

現在我們已經建立了長度的概念，我們可以建立兩個向量之間的距離。我們將此距離定義為這兩個向量之差的長度。我們將此距離寫成 $d({\vec {x}},{\vec {y}})$ ，它是

$d({\vec {x}},{\vec {y}})={\big \|}{\vec {x}}-{\vec {y}}{\big \|}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

此距離函式有時被稱為 *度量*。其他度量出現在不同的情況下。我們剛剛定義的度量被稱為 *歐幾里得* 度量。

開球和閉球

在 $\mathbb {R}$ 中，我們有 *區間* 的概念，即我們選擇圍繞某個中心點的特定數量的其他點。例如，區間 $[-1,1]$ 圍繞點 0 為中心，包括 0 左側和右側的點。

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 及更高維度中，這個想法就有點難以理解了。對於 $\mathbb {R} ^{2}$ ，我們需要考慮某個點左側、右側、上方和下方的點。這可能還可以，但是對於 $\mathbb {R} ^{3}$ ，我們需要包括更多方向上的點。

我們將區間的概念推廣到考慮距離某個點固定距離的所有點。現在我們已經知道如何在$\mathbb {R} ^{n}$ 中計算距離，我們可以透過引入 *開球* 和 *閉球* 的概念進行如下推廣，它們分別類似於開區間和閉區間。

*開球*

$B({\vec {a}},r)$

是一種集合，其形式為 ${\Big \{}{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}{\Big |}d({\vec {x}},{\vec {a}})<r{\Big \}}$。

*閉球*

${\overline {B}}({\vec {a}},r)$

是一種集合，其形式為 ${\Big \{}{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}{\Big |}d({\vec {x}},{\vec {a}})\leq r{\Big \}}$。

在$\mathbb {R}$ 中，我們已經看到開球僅僅是關於點 $x=a$ 的一個開區間。在$\mathbb {R} ^{2}$ 中，它是一個沒有邊界的圓，在$\mathbb {R} ^{3}$ 中，它是一個沒有外表的球體。（*那麼閉球是什麼？*）

邊界點

如果我們有一個區域，比如一個田野，那麼 *邊界* 的常識概念是“緊挨”田野內部和外部的點。對於一個集合 $S$ ，我們可以透過說該集合的邊界包含所有滿足以下條件的點來嚴格定義它：對於每個點，我們都能找到該集合內部和外部的點。我們將這些點的集合稱為 $\partial S$ 。

通常，當存在時，$\partial S$ 的維數比$S$ 的維數低一個。例如，體積的邊界是表面，表面的邊界是曲線。

這並不總是正確的，但對於我們將使用的所有集合都是正確的。

如果存在某個正數，使得我們可以用以 ${\vec {0}}$ 為中心的閉球包圍該集合，則集合 $S$ 被稱為 有界。 --> 如果集合中的每個點到原點的距離都小於某個有限值，即存在某個 $r>0$ 使得 ${\vec {x}}$ 屬於 S 蘊含 ${\vec {x}}<r$ 。

極限

在回顧單變數函式的極限時，我們將重點關注二元函式的極限。由於方向不同，多元函式的極限比單變數函式的極限要難得多。假設存在一個單變數函式

$y=f(x)$

為了確保 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ 存在，我們需要從兩個方向測試：一個從左側逼近 $c$ ($x\rightarrow c^{-}$)，另一個從右側逼近 $c$ ($x\rightarrow c^{+}$)。回想一下

$\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ 當 $\lim _{x\rightarrow c^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow c^{+}}f(x)$ 時存在。

例如，$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}$ 不存在，因為 $\lim _{x\rightarrow 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$ 且 $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$。現在，假設存在一個具有兩個變數的函式

$z=f(x,y)$

如果我們要取一個極限，例如，$\lim _{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)$，我們不僅需要考慮從$x$軸方向的極限，還需要考慮從所有方向的極限，包括$y$軸、直線、曲線等等。一般來說，如果存在一個方向，計算的極限與其他方向不同，則極限不存在。我們將在這裡詳細討論這一點。

可微函式

一個二元函式$f(x,y)=(x^{2}+3y^{2})^{1-x^{2}-y^{2}}$

當我們擴充套件到三維世界時，我們需要考慮的情況要多得多。例如，導數。在之前的章節中，導數只有一個方向（$x$軸），因為只有一個變數。

${\frac {d(x^{3}+4x)}{dx}}=3x^{2}+4$

當我們有兩個或更多變數時，變化率可以在不同的方向上計算。例如，看看右邊的影像。這是一個二元函式的影像。由於有兩個變數，所以定義域將是整個$xy$平面。我們將輸出$f(x,y)$繪製在$z$軸上。右邊函式的方程是

$f(x,y)=(x^{2}+3y^{2})^{1-x^{2}-y^{2}}$

我們如何計算導數？答案是使用偏導數。顧名思義，它只能“部分”地計算導數，因為我們只能計算圖形在一個方向上的變化率。

偏導數

符號對於偏導數很重要。

${\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)$ 表示$f(x,y)$ 對$x$ 的導數，其中我們只將$x$ 看作變數，而$y$ 看作常數。

${\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)$ 表示 $f(x,y)$ 在 $y$ 軸方向上的導數，其中我們只將 $y$ 視為變數，而將 $x$ 視為常數。

為了簡便，我們通常會使用各種標準縮寫，這樣我們就可以將大多數公式寫在一行上。這可以更容易地看到重要的細節。

我們可以用下標縮寫偏微分，例如：

$f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}},\quad f_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}},\quad f_{xy}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right),\quad f_{yx}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)$

請注意，一般情況下，$f_{xy}\neq f_{yx}$。它們只在某些情況下相等。有關詳細資訊，請參閱 The_chain_rule_and_Clairaut's_theorem。當我們用這種方式使用下標時，我們通常會使用 Heaviside D（代表“方向”）而不是 ∂，

$D_{x}h(x,y)={\frac {\partial h}{\partial x}}\quad D_{x}D_{y}h=D_{y}D_{x}h$

$D_{\mathbf {\hat {u}} }f(x,y)$ 表示 $f$ 在方向 $\mathbf {\hat {u}} =\langle a,b\rangle$ 上的導數。

如果我們使用下標來標記軸，x₁, x₂ …，那麼，我們不會使用兩層下標，而是使用數字作為下標。

$h_{1}=D_{1}h=\partial _{1}h=\partial _{x_{1}}h={\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}$

我們也可以使用下標來表示向量函式的各個分量，例如 $\mathbf {u} =\langle u_{x},u_{y},u_{z}\rangle {\text{ or }}\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},...,u_{n})$。如果我們同時使用下標來表示向量分量和偏導數，我們將用逗號分隔它們。

$u_{x,y}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$

最常用的符號是 $f_{x}$。

我們將根據所處理的方程選擇最合適的符號。

方向導數

方向導數的幾何解釋。

通常，函式相對於其一個變數（例如，x_j）的偏導數，是對平行於x_j軸的該函式“切片”進行求導。

更準確地說，我們可以想象在空間中沿著x_j軸切開函式f(x₁,...,x_n)，保持除x_j之外的所有變數不變。

根據定義，我們有沿著這個切片的函式在點p處的偏導數為

${\partial \mathbf {f} \over \partial x_{j}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {e} _{j})-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

前提是這個極限存在。

我們可以選擇任何方向上的向量（通常取為單位向量），而不是對應於沿著該軸求導的基向量，我們就可以獲得函式的方向導數

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {d} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

其中d是方向向量。

如果我們想要計算方向導數，從極限定義計算起來比較麻煩，但是，我們有以下結論：如果f : Rⁿ → R 在點p處可微，|p|=1，

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=D_{\mathbf {p} }\mathbf {f} (\mathbf {d} )$

在下一節中我們將討論一個密切相關的公式。

梯度向量

標量的偏導數告訴我們，如果我們沿著其中一個軸移動，它會發生多少變化。如果我們沿著其他方向移動會怎麼樣？

我們將這個標量稱為f，並考慮如果我們使用鏈式法則沿著一個無窮小的方向dr=(dx,dy,dz)移動會發生什麼。

$\mathbf {df} =dx{\frac {\partial f}{\partial x}}+dy{\frac {\partial f}{\partial y}}+dz{\frac {\partial f}{\partial z}}$

這是dr與一個向量的點積，該向量的分量是f的偏導數，稱為f的梯度。

$\operatorname {grad} \mathbf {f} =\nabla \mathbf {f} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{n}}}\right)$

我們可以用梯度與d的點積來計算點p方向上的方向導數。

${\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over \partial \mathbf {d} }=\mathbf {d} \cdot \nabla \mathbf {f} (\mathbf {p} )$.

注意，grad f 類似於一個向量乘以一個標量。這種特殊的偏導數組合很常見，因此我們將其簡寫為

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

我們可以將計算梯度向量的操作寫成一個運算元。回想一下，在單變數情況下，我們可以用d/dx表示對x求導的操作。這種情況類似，但∇像一個向量。

我們也可以將計算梯度向量的操作寫成

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\cdots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$

梯度向量的性質

幾何

• Grad f(p) 是一個指向f最陡斜率方向的向量。|grad f(p)| 是該點斜率的變化率。

例如，如果我們考慮 h(x, y)=x²+y²。h 的等高線是同心圓，圓心在原點，並且

$\nabla h=(h_{x},h_{y})=2(x,y)=2\mathbf {r}$

grad h 指向遠離原點的方向，與等高線垂直。

• 沿著等高線，(∇f)(p) 與等高線 {x|f(x)=f(p) 在 x=p} 垂直。

如果 dr 指向沿著 f 的等高線，即函式為常數的地方，那麼 df 將為零。由於 df 是一個點積，這意味著兩個向量 df 和 grad f 必須成直角，即梯度與等高線垂直。

代數性質

類似於 d/dx，∇ 是線性的。對於任何一對常數 a 和 b，以及任何一對標量函式 f 和 g

${\frac {d}{dx}}(af+bg)=a{\frac {d}{dx}}f+b{\frac {d}{dx}}g\quad \nabla (af+bg)=a\nabla f+b\nabla g$

由於它是一個向量，我們可以嘗試用其他向量以及它本身進行點積和叉積。

乘積規則和鏈式規則

就像普通的微分一樣，對於梯度、散度和旋度也有乘積規則。

• 如果g是一個標量，v是一個向量，那麼

gv 的散度是

$\nabla \cdot (g\mathbf {v} )=g\nabla \cdot \mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )g$

gv 的旋度是

$\nabla \times (g\mathbf {v} )=g(\nabla \times \mathbf {v} )+(\nabla g)\times \mathbf {v}$

• 如果u 和 v 都是向量，那麼

它們點積的梯度是

$\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u}$

它們叉積的散度是

$\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )$

它們叉積的旋度是

$\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\mathbf {u} (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} (\nabla \cdot \mathbf {u} )$

我們也可以寫出鏈式規則。在一般情況下，當兩個函式都是向量並且組合定義時，我們可以使用之前定義的雅可比矩陣。

$\left.\nabla \mathbf {u} (\mathbf {v} )\right|_{\mathbf {r} }=\mathbf {J} _{\mathbf {v} }\left.\nabla \mathbf {v} \right|_{\mathbf {r} }$

其中 J_u 是 u 在點 v 處的雅可比矩陣。

通常 J 是一個矩陣，但如果 u 的值域或定義域是 R¹，則它變成一個向量。在這些特殊情況下，我們可以使用僅向量表示法來簡潔地編寫鏈式法則。

• 如果 g 是向量的一個標量函式，而 h 是 g 的一個標量函式，則

$\nabla h(g)={\frac {dh}{dg}}\nabla g$

• 如果 g 是向量的一個標量函式，則

$\nabla =(\nabla g){\frac {d}{dg}}$

此替換可以應用於包含 ∇ 的任何方程。

積分

我們已經考慮了多變數函式的微分，這讓我們考慮如何有意義地看待積分。

在單變數情況下，我們將函式的定積分解釋為函式下方的面積。在多變數情況下，也有類似的解釋：例如，如果我們在 R³ 中有一個拋物面，我們可能想檢視該拋物面在 xy 平面上的某個區域上的積分，這將是該曲線下方和該區域內的 體積。

黎曼和

在檢視這些形式的積分時，我們檢視黎曼和。回想一下，在單變數情況下，我們將我們要積分的區間分成矩形，並將這些矩形的面積相加，因為它們的寬度越來越小。對於多變數情況，我們需要做類似的事情，但問題是，例如，如何拆分 R² 或 R³。

為了做到這一點，我們擴充套件了區間的概念，並考慮我們所說的 n-區間。一個 n-區間是某個矩形區域中的一組點，這些點在每個維度上都有固定寬度的邊，即一個形式為 {x∈Rⁿ|a_i ≤ x_i ≤ b_i，其中 i = 0,...,n} 的集合，它的面積/大小/體積（為了避免混淆，我們簡單地稱之為它的 測度）是所有邊的長度的乘積。

因此，R² 中的 n-區間可以是平面的某個矩形劃分，例如 {(x,y) | x ∈ [0,1] 且 y ∈ [0, 2]|}。它的測度是 2。

如果我們要考慮黎曼和，現在是區域 Ω 的子 n-區間，它是

$\sum _{i;S_{i}\subset \Omega }f(x_{i}^{*})m(S_{i})$

其中 m(S_i) 是 Ω 分成 k 個子 n-區間 S_i 的測度，x^*_i 是 S_i 中的一個點。索引很重要 - 我們只在 S_i 完全落在 Ω 內的情況下執行求和 - 任何不完全包含在 Ω 中的 S_i 我們都忽略。

當我們取 k 趨於無窮大的極限時，也就是說，我們將 Ω 分成越來越細的子 n-區間，並且無論我們如何劃分 Ω，此求和都是一樣的，我們得到了 f 在 Ω 上的 積分，我們寫成

$\int _{\Omega }f$

對於二維，我們可以寫成

$\int \int _{\Omega }f$

同樣適用於 n 維。

重複積分

謝天謝地，我們並不總是需要每次計算一個以上的變數的積分時都使用黎曼和。有一些結果使我們的生活變得輕鬆一些。

對於 R²，如果我們有一個區域位於另一個變數的兩個函式之間（因此兩個函式的形式為 f(x) = y 或 f(y) = x），位於一個常數邊界之間（因此，位於 x = a 和 x =b 或 y = a 和 y = b 之間），我們有

$\int _{a}^{b}\,\int _{f(x)}^{g(x)}h(x,y)\,dydx$

一個重要的定理（稱為 富比尼定理）向我們保證，此積分與

$\int \int _{\Omega }f$,

相同，如果 f 在積分域上是連續的。