微積分/空間中的曲線和曲面

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對於許多實際應用，您需要使用三維空間中 **直線**、**平面**、**曲線** 和 **曲面** 的數學描述。這需要一些關於向量的知識，以及在不使用計算器的情況下構建三維圖形的能力。

三維空間中的直線

雖然直線方程在之前的章節中討論過（參見第 7.1 章），但本章將更詳細地解釋直線的性質和重要方面，以及擴充套件到三維空間中的一般曲線。

引數方程的回顧

回想一下，在第 5.1 章中，引數方程使用不同的變數來表示兩個變數之間的關係。例如，看下面的圓的方程

$x^{2}+y^{2}=1$

如果我們用新的變數 $t$ 來表示變數 $x$ 和 $y$ ，並且我們知道 $\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$ ，我們可以將原始方程改寫為

$x=\cos t$

$y=\sin t$

上面的方程是半徑為 $1$ 的圓的引數形式。

現在，我們來談談三維空間中的直線。

三維空間中直線的方程

空間中的一條直線由空間中的兩個點定義，我將它們稱為 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 。設 $\mathbf {r} _{0}$ 為從原點到 $P_{1}$ 的向量， $\mathbf {r} _{2}$ 為從原點到 $P_{2}$ 的向量。給定這兩個點，直線上所有其他點 $P$ 都可以透過以下方式到達：

\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t

其中 $\mathbf {v}$ 是從 $P_{1}$ 到 $P_{2}$ 的向量

\mathbf {v} =\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{2}

為了直觀地理解直線方程，想象有一條直線穿過向量 $\mathbf {r} _{0}$ 的端點，並沿著向量 $\mathbf {v}$ 的方向延伸。只需將其視為點斜式的一個向量版本。例如，假設空間中存在一條直線，其方程為：

$\mathbf {r} =\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$

我們可以透過先找到點 $(2,5,4)$ 來繪製這條直線。然後，我們將直線沿著平行於向量 $\langle 1,1,1\rangle$ 的方向拉伸。最終的圖形是直線 $\mathbf {r} =\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 的圖形。有時方向向量 $\mathbf {v}$ 是未知的。但是，透過找到直線上另一個點，可以很容易地解決這個問題。在本例中，點 $(5,8,7)$ 在直線上。透過計算這兩個點之間的向量，我們可以發現方向向量是 $\langle 3,3,3\rangle$ 。因此，直線的方程可以寫成

$\mathbf {r} =\langle 2,5,4\rangle +\langle 3,3,3\rangle t_{1}$

它與原始方程 $\mathbf {r} =\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 等效，因為如果我們令 $t=3t_{1}$ ，原始方程將變為上面的方程。因此，在三維空間中，可以使用向量形式以無限多種方式編寫直線的方程。現在，有一種表達直線的引數形式。回想一下，還有另一種寫向量的方法： $a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k}$ 。所以，我們可以將原始方程 $\mathbf {r} =\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 重寫為

$\mathbf {r} =\langle 2+t,5+t,4+t\rangle =(2+t)\mathbf {i} +(5+t)\mathbf {j} +(4+t)\mathbf {k}$

然後，我們將各個部分分配給相應的 $x,y,z$ 軸

$x=2+t$
$y=5+t$
$z=4+t$

這是直線方程的引數形式。

最後一種常用的表示直線的方式是對稱方程，它只是引數形式的另一種微小變換。

$x-2=y-5=z-4$

總之，有三種基本方法可以寫出透過點 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 且方向為 $\langle a,b,c\rangle$ 的直線方程。

向量方程	引數方程	對稱方程
$\mathbf {r} =\langle x_{0},y_{0},z_{0}\rangle +\langle a,b,c\rangle t$	$x=x_{0}+at$ $y=y_{0}+bt$ $z=z_{0}+ct$	${\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}={\frac {z-z_{0}}{c}}$

兩條直線之間的關係

直線之間有相交的，也有不相交的。直線可以是平行、垂直或異面的，這些將在本部分進行討論。

交點

假設有兩條直線，其方程分別為：

$L_{1}:\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 或引數形式 $L_{1}:{\begin{cases}x=2+t\\y=5+t\\z=4+t\end{cases}}$

$L_{2}:\langle 5,-1,0\rangle +\langle -{\frac {1}{2}},4,3\rangle s$ 或引數形式 $L_{2}:{\begin{cases}x=5-{\frac {1}{2}}s\\y=-1+4s\\z=3s\end{cases}}$

要確定它們是否相交，我們只需要解以下方程組：

${\begin{cases}2+t=5-{\frac {1}{2}}s\\5+t=-1+4s\\4+t=3s\end{cases}}$

如果方程組只有一個解，那麼兩條直線在一個點上相交。如果方程組有無限多個解，那麼兩條直線是相同的。如果方程組沒有解，那麼兩條直線根本不相交。在這種情況下，有一個解

${\begin{cases}t=2\\s=2\end{cases}}$

因此，兩條直線在點 $(4,7,6)$ 相交。如果我們想進一步瞭解兩條直線之間的夾角，我們可以應用點積公式。兩條直線之間的夾角應該是

$\theta =\arccos({\frac {\mathbf {v_{1}} \,\cdot \,\mathbf {v_{2}} }{\|\mathbf {v_{1}} \|\|\mathbf {v_{2}} \|}})$

平行

要在三維空間中發現兩條平行線，我們只需要檢視方向向量 $\mathbf {v}$ 。如果兩條直線的方向向量 $\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}}$ 之間存在這樣的關係： $\mathbf {v_{2}} =k\mathbf {v_{1}} ,k\in \mathbb {R}$ ，那麼這兩條直線相互平行。例如，兩條直線 $L_{1}:\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 和 $L_{2}:\langle 5,-1,0\rangle +\langle -3,-3,-3\rangle s$ 彼此平行，因為 ${\frac {\langle -3,-3,-3\rangle }{-3}}=\langle 1,1,1\rangle$ 。

垂直

為了使兩條直線相互垂直，這兩條直線首先必須相交。如果它們確實相交，請回憶一下向量的點積。點積指出

$\mathbf {a} \,\cdot \,\mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta$

如果兩條直線相互垂直， $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ，這導致 $\mathbf {a} \,\cdot \,\mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos {\frac {\pi }{2}}=0$ 。

所以，如果我們繼續這種思路，我們可以發現，如果我們在每條直線上選擇兩個向量，對它們進行點積，結果為零，那麼我們可以肯定地說這兩條直線相互垂直。但是，有一種更方便的方法來簡化這個過程。我們不需要在每條直線上找到兩個向量，而只需要對兩個方向向量應用點積，因為方向向量是從各自直線上的點計算出來的。

因此，如果我們有兩條直線

$L_{1}:\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 和 $L_{2}:\langle 6,6,5\rangle +\langle -2,1,1\rangle s$

它們相互垂直，因為

${\begin{cases}2+t=6-2s\\5+t=6+s\\4+t=5+s\end{cases}}$ 只有一個解： ${\begin{cases}t=2\\s=1\end{cases}}$ ，這意味著它們相交。而且 $\langle 1,1,1\rangle \,\cdot \,\langle -2,1,1\rangle =0$

因此證明結束。

異面直線

異面直線是不相交且不平行的直線。例如，直線 $L_{1}:\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 和 $L_{2}:\langle 5,-1,0\rangle +\langle 3,-3,-3\rangle s$ 是異面直線。

兩條異面直線之間的距離

為了解決這個問題，我們需要了解三維空間中的平面，這將在下面討論。

三維空間中的平面

介紹

同樣的方法可以用來描述三維空間中的平面，它由空間中三個點（不在一條線上）唯一確定 ( $P_{1},P_{2},P_{3}$ )。令 $\mathbf {x} _{i}$ 為從原點到 $P_{i}$ 的向量。那麼

\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}

其中

\mathbf {a} =\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\,\,{\text{and}}\,\,\mathbf {b} =\mathbf {x} _{3}-\mathbf {x} _{1}

需要注意的是，起點不一定是 $\mathbf {x} _{1}$ ，可以是平面上的任何點。類似地，向量 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 唯一的限制是它們必須是我們平面中的兩個非共線向量。

回想一下，在二維向量中，如果有兩個向量 $\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ ，笛卡爾平面上的任何向量都可以用向量 $\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ 來表示，方法是 $a\mathbf {i} +b\mathbf {j} \quad (a,b\in \mathbb {R} )$ 。用同樣的方法，我們可以推斷出

$\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}$ 部分告訴我們圖形應該是一個平面，而 $\mathbf {x} -\mathbf {x} _{1}$ 部分描述了“斜率”和軸的交點

然而，還有另外兩種方法可以表達三維空間中的平面：向量方程和標量方程。

平面向量方程和標量方程

平面向量方程需要我們理解點積的力量。我們已經知道，當兩個向量的點積為零時，這兩個向量應該是相互垂直的。現在，想象一個三維空間中的向量 $\mathbf {n}$ 。如果我們繪製出所有與 $\mathbf {n}$ 垂直的向量 $\Delta \mathbf {r}$ ，結果會是什麼？

結果應該是一個平面，其法向量垂直於該平面。因此，平面的向量方程很簡單，即 $\mathbf {n} \,\cdot \,\Delta \mathbf {r} =0$ .

向量 $\mathbf {n}$ 是法向量，它垂直於平面。

向量 $\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}}$ 是變數向量，其中 $\mathbf {r} =\langle x,y,z\rangle$ （平面上的未知點）和 $\mathbf {r_{0}} =\langle x_{0},y_{0},z_{0}\rangle$ （平面上的給定點）。這個表示式只是表示平面上的所有向量。

當然，平面的向量方程可以改寫為 $\mathbf {n} \,\cdot \,(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )=0$ 或 $\mathbf {n} \,\cdot \,\mathbf {r} =\mathbf {n} \,\cdot \,\mathbf {r_{0}}$ ，這取決於寫作者。

要找出標量方程，我們只需要計算點積並進行一些簡化。因此，我們假設

$\mathbf {n} =\langle a,b,c\rangle$ ， $\mathbf {r} =\langle x,y,z\rangle$ ，和 $\mathbf {r_{0}} =\langle x_{0},y_{0},z_{0}\rangle$ 根據向量方程
$\mathbf {n} \,\cdot \,(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )=0$
因此，我們有
$\langle a,b,c\rangle \,\cdot \,\langle x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}\rangle =0$
經過一些代數運算，我們可以得到
$ax+by+cz-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})=0$
由於 $ax_{0}+by_{0}+cz_{0}$ 是一個常數，我們令 $ax_{0}+by_{0}+cz_{0}=-d$ 。因此，平面的標量方程為 $ax+by+cz+d=0$

注意，常數 $a,b,c$ 與法向量的 $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ 分量相同。當討論兩個平面之間的關係時，此性質將非常有用。此外， $-d=\mathbf {n} \,\cdot \,\mathbf {r_{0}}$ .

$\blacksquare$

總而言之，有三種方式表示三維空間中的平面，後兩種更為常用

從直線方程擴充套件	向量方程	標量方程
$\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}$	$\mathbf {n} \,\cdot \,(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )=0$	$ax+by+cz+d=0$

兩個平面之間的關係

平行

法向量很重要，因為它決定了平面的形狀。因此，當我們討論兩個平面之間的關係時，實際上是在試圖找出兩個平面法向量之間的聯絡。在這種情況下，假設三維空間中有兩個平面： $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ 和 $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ 。平面的法向量應該是

$\mathbf {n_{1}} =\langle a_{1},b_{1},c_{1}\rangle ,\,\mathbf {n_{2}} =\langle a_{2},b_{2},c_{2}\rangle$

由於法向量與其對應平面垂直，如果法向量彼此平行，則相應的平面也應該彼此平行。因此，

如果 $\mathbf {n_{1}} =k\mathbf {n_{2}} \quad (k\in \mathbb {R} )$ ，那麼 $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ 和 $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ 平行。

垂直

如果法向量相互垂直，那麼相應的平面將相互垂直。換句話說，如果 $\mathbf {n_{1}} \perp \mathbf {n_{2}}$ ，那麼這些平面相互垂直。

交點

要完全理解如何找到兩條直線的交點，我們應該熟悉法向量及其潛力。如果兩個平面不平行並且不是同一個平面，那麼它們必須相互相交。交點應該形成一條直線。想象有兩個平面 $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ 和 $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ ，以及它們各自的法向量 $\mathbf {n_{1}} \neq k\mathbf {n_{2}} \quad (k\in \mathbb {R} )$ （這意味著它們不平行）。

因為法向量完全垂直於平面上的所有向量，所以反之亦然：平面上的所有向量都垂直於它們各自的法向量。這就是為什麼 $\mathbf {n} \,\cdot \,(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )=0$ 是平面的向量方程。由於兩個平面的交點是一條直線，我們可以說方向向量 $\mathbf {v}$ 應該在這兩個平面上。

因為 $\mathbf {v}$ 在兩個平面上， $\mathbf {v}$ 應該垂直於兩個法向量
$\mathbf {v} \perp \mathbf {n_{1}} ,\,\mathbf {v} \perp \mathbf {n_{2}}$
回想一下，兩個向量的叉積將產生一個垂直於兩個原始向量的新的向量。我們可以計算 $\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}}$ 的叉積來建立 $\mathbf {v}$ 。
$\mathbf {n_{1}} \times \mathbf {n_{2}} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}=(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})\mathbf {i} -(a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k}$
因此，這條直線的方向向量為 $\mathbf {v} =\mathbf {n_{1}} \times \mathbf {n_{2}} =\langle b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle$

我們還需要知道直線上的一點來完成直線方程，因為 $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t$ 。為了找到一個點，只需令 $z=0$ ，然後在以下方程組中求解 $x,y$
${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+d_{1}=0\\a_{2}x+b_{2}y+d_{2}=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}x={\frac {b_{1}d_{2}-b_{2}d_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}\\y={\frac {a_{1}d_{2}-a_{2}d_{1}}{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}}\end{cases}}$
由於解過於複雜無法寫出，我們將令 $x={\frac {b_{1}d_{2}-b_{2}d_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}=x_{0}$ 以及 $y={\frac {a_{1}d_{2}-a_{2}d_{1}}{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}}=y_{0}$ 。因此，點 $(x_{0},y_{0},0)$ 在兩個平面上（回想一下，我們令 $z=0$ ）並且 $\mathbf {P_{0}} =\langle x_{0},y_{0},0\rangle$ .

現在，我們知道直線上一點 $(x_{0},y_{0},0)$ 以及方向向量 $\mathbf {v} =\mathbf {n_{1}} \times \mathbf {n_{2}} =\langle b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle$ ，兩平面的交線為： $L:\langle {\frac {b_{1}d_{2}-b_{2}d_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},{\frac {a_{1}d_{2}-a_{2}d_{1}}{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}},0\rangle +\langle b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle t$

對於那些喜歡更簡潔表達的人來說

$L:\langle x_{0},y_{0},0\rangle +\langle b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle t$

$L:\mathbf {P_{0}} +(\mathbf {n_{1}} \times \mathbf {n_{2}} )t$

如果我們想要知道兩個平面的夾角，類似於我們如何找出兩條直線的夾角，我們應用點積。

$\theta =\arccos({\frac {\mathbf {n_{1}} \,\cdot \,\mathbf {n_{2}} }{\|\mathbf {n_{1}} \|\|\mathbf {n_{2}} \|}})$

$\blacksquare$

兩個平行平面的距離

兩個非平行平面的距離為零，因為它們相交。因此，我們應該關注平行平面之間的距離。在我們這樣做之前，如果我們知道從點到平面的距離，會更方便。

設距離為 $D$ ，點為 $P=(x_{1},y_{1},z_{1})$ ，平面為 $ax+by+cz+d=0$ .

知道平面的方程可以幫助我們知道法向量，因為法向量垂直於平面，是我們需要的精確方向。 $\mathbf {n} =\langle a,b,c\rangle$ .

現在，我們開始求解。首先，假設有一個點 $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ 在平面 $ax+by+cz+d=0$ 上。然後，我們建立從 $P_{0}$ 到 $P$ 的向量： ${\overrightarrow {P_{0}P}}=\langle x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0}\rangle$ 。我們還將向量 ${\overrightarrow {P_{0}P}}$ 和 $\mathbf {n}$ 之間的角度為 $\theta$ 。如果我們繪製出它的樣子，我們可以很容易地理解距離是如何推匯出來的。

$D=|\|{\overrightarrow {P_{0}P}}\|\ \cos \theta |$ （需要使用絕對值，因為距離總是大於零）

但是，我們不知道 $\theta$ 。我們可以透過應用點積來計算 $\theta$ 。但是，有一個更簡單的方法。

使用一些非常有趣的推導，我們可以得到
$D={\frac {|\|\mathbf {n} \|\|{\overrightarrow {P_{0}P}}\|\cos \theta |}{\|\mathbf {n} \|}}$
正如我們所見，分子實際上是表達兩個向量點積的另一種方式。因此，我們可以不再擔心不知道 $\theta$ 的值。
$D={\frac {|\mathbf {n} \ \cdot \ {\overrightarrow {P_{0}P}}|}{\|\mathbf {n} \|}}$
現在我們可以用它們的座標代替這些向量。經過一些代數運算，我們得到
$D={\frac {|\mathbf {n} \ \cdot \ {\overrightarrow {P_{0}P}}|}{\|\mathbf {n} \|}}={\frac {|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$
由於 $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ 在平面上， $ax_{0}+by_{0}+cz_{0}=-d$ 。我們可以進一步簡化公式為 $D={\frac {|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ ，從而完成我們的推導。

還有其他方法可以寫下這個公式。對於喜歡更簡單表示的人來說，以下公式也是表達距離的方式

$D={\frac {|\mathbf {n} \ \cdot \ {\overrightarrow {P_{0}P}}|}{\|\mathbf {n} \|}}$ 或 $D=\mathrm {comp} _{\mathbf {n} }{\overrightarrow {P_{0}P}}$

$\blacksquare$

對距離公式進行進一步“研究”後，我們可以發現，只需要平面的方程和一個點就可以計算出它們之間的距離，這非常方便，因為我們需要解決的問題越少，問題就越方便。當我們試圖找到兩個平行平面之間的距離時，我們只需要一個平面上的一點和另一個平面的方程來解決。

兩條異面直線之間的距離（續）

假設直線 $L_{1},L_{2}$ 是異面直線，我們可以透過假設這些直線屬於兩個平行平面 $P_{1},P_{2}$ 來計算距離。然後，問題從解決兩條異面直線之間的距離變為解決兩個平行平面之間的距離。

我們仍然需要知道兩個平面的法向量。我們可以簡單地將兩個直線的兩個方向向量進行叉積運算： $\mathbf {n} =\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}}$ 。 $\mathbf {n} \neq 0$ 因為 $\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}}$ 方向不一致。現在我們可以將新推匯出的距離公式應用於兩條異面直線。

柱面和二次曲面

本章節需要對圓錐曲線有一定的瞭解（參見第1.6 章）。

柱面

柱面是指所有平行於給定直線並穿過給定平面曲線的直線組成的曲面。有一些特殊的柱面，例如拋物柱面和圓柱面。例如，右邊的影像是一個拋物柱面。拋物柱面通常具有方程

$z=x^{2}$ 等。

如果我們想在不旋轉的情況下移動柱面，我們可以使用以下方程

$z-k=(x-h)^{2}$ ，其中 $h,k$ 是常數。

這與我們在第1.6 章中討論過的拋物線類似，但多了一個維度。圓柱面類似於我們推匯出拋物柱面的方法，看起來就像一個圓柱，它的“底面”是圓形，方程為

$x^{2}+y^{2}=1$ 等。

如果我們想讓圓柱面更“橢圓”，就像我們推匯出橢圓方程的方法一樣，橢圓柱面具有方程

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ，其中 $a,b$ 是常數。

它就像在 $xy$ 平面上的橢圓，但沿著 $z$ 方向無限延伸。

二次曲面

二次曲面的通用方程

二次曲面的通用方程是

Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0

其中 $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$ 是常數。

它看起來類似於圓錐曲線的通用方程 ( $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ )，除了它還有另一個變數 $z$ 。經過一些平移和旋轉，我們可以將通用方程簡化為標準方程

二次曲面的標準方程

二次曲面的標準方程是

Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+J=0\quad {\text{or}}\quad Ax^{2}+By^{2}+Iz=0

其中 $A,B,C,I,J$ 是常數。

當然，根據具體的二次曲面，標準方程有不同的形式，我們將在接下來的討論中看到。

橢球

橢球的方程為

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

繪製二次曲面比較困難，因為除了兩個變數，還有三個變數，這使得在沒有計算器的幫助下，這個過程變得非常複雜。然而，有一個方法可以讓我們更容易理解。我們可以分析每個平面，看看形狀是什麼樣的，然後將我們從每個平面分析的結果結合起來，形成一個比較完整的曲面圖形。以這個為例。

$x^{2}+{\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{4}}=1$

我們首先來考察 $xy$ -平面。要考察 $xy$ -平面，我們需要想象 $z$ 是一個常數。在這種情況下，想象 $z=k$ ，因此

$x^{2}+{\frac {y^{2}}{9}}=1-{\frac {k^{2}}{4}}$ ，其中 $-2\leq k\leq 2$ 。

我們可以看到，在 $xy$ -平面上，圖形將類似於橢圓。我們稱之為平面 $z=k$ 上的水平截面是一個橢圓。

讓我們進一步分析平面 $x=k,y=k$ 上的垂直截面。

${\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{4}}=1-k^{2}\quad x=k$ ，其中 $-1\leq k\leq 1$ 。

$x^{2}+{\frac {z^{2}}{4}}=1-{\frac {k^{2}}{9}}\quad y=k$ ，其中 $-3\leq k\leq 3$ 。

我們可以看到，在平面 $x=k,y=k$ 上的兩個垂直截面都是橢圓。換句話說，在 $xz$ 平面和 $yz$ 平面的圖形都像橢圓。由於所有截面都是橢圓，因此該曲面是一個橢球，其頂點為 $(\pm 1,0,0),(0,\pm 3,0),(0,0,\pm 2)$ 。

橢圓拋物面

橢圓拋物面的方程為

${\frac {z}{c}}={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

根據哪個截面是橢圓，方程會有所不同。對於上面的方程，水平截面是一個橢圓，如右側影像所示。

以 $z=x^{2}+y^{2}$ 為例。水平截面，意味著 $z=k$ ，是

$x^{2}+y^{2}=k$ ，其中 $k>0$ 。

對於兩個垂直截面，我們可以看到它們都具有拋物線的形狀。

$z=x^{2}+k^{2}\quad y=k$

$z=y^{2}+k^{2}\quad x=k$

該橢圓拋物面的頂點為 $(0,0,0)$ 。

雙曲拋物面

雙曲拋物面的方程為

${\frac {z}{c}}={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

各個截面分別為

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}={\frac {k}{c}}\quad z=k$ ，其中 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}={\frac {k}{c}}{\text{ when }}k>0\quad {\text{and}}\quad {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}={\frac {k}{c}}{\text{ when }}k<0$ 。水平截面是雙曲線。

${\frac {z}{c}}={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {k^{2}}{b^{2}}}\quad y=k$ 。垂直截面是拋物線。

${\frac {z}{c}}={\frac {k^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\quad x=k$ 。垂直截面是拋物線。