微積分/多變數微積分導論

本章介紹多變數微積分。多變數微積分比我們處理單變數函式時要複雜，因為變數更多意味著要考慮的情況更多。在接下來的章節中，我們將討論多變數函式的極限、微分和積分，並將單變數微積分作為我們的基礎。

Rⁿ中的拓撲

在你之前學習微積分時，我們已經研究了函式及其行為。我們研究的大多數函式都是以下形式：

$f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

並且只偶爾考察二元函式。然而，多元函式的研究本身就非常豐富，並在多個領域都有應用。

我們將向量函式 - 多元函式 - 寫成以下形式：

$f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$

以及$f({\vec {x}})$，表示將$\mathbb {R} ^{m}$ 中的向量對映到$\mathbb {R} ^{n}$ 中的向量的函式。

在我們可以在$\mathbb {R} ^{n}$ 中進行微積分之前，我們必須熟悉$\mathbb {R} ^{n}$ 的結構。我們需要了解哪些$\mathbb {R}$ 的性質可以擴充套件到$\mathbb {R} ^{n}$。本頁假設你對基本的線性代數有所瞭解。

長度和距離

如果我們在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中有一個向量，我們可以使用勾股定理計算它的長度。例如，向量 $(2,3)$ 的長度為

${\sqrt {3^{2}+2^{2}}}={\sqrt {13}}$

我們可以將其推廣到 $\mathbb {R} ^{n}$ 。我們定義一個向量的長度，記為 $\|{\vec {x}}\|$ ，為其每個分量平方和的平方根。也就是說，如果我們有一個向量 ${\vec {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ，

$\|{\vec {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$

現在我們已經建立了一些長度的概念，我們可以建立兩個向量之間的距離。我們將此距離定義為這兩個向量差的長度。我們將此距離記為 $d({\vec {x}},{\vec {y}})$ ，它是

$d({\vec {x}},{\vec {y}})={\big \|}{\vec {x}}-{\vec {y}}{\big \|}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

這種距離函式有時被稱為度量。其他度量在不同的情況下出現。我們剛剛定義的度量被稱為歐幾里得度量。

開球和閉球

在 $\mathbb {R}$ 中，我們有區間的概念，即我們選擇圍繞某個中心點的一定數量的其他點。例如，區間 $[-1,1]$ 以點 0 為中心，包括 0 左側和右側的點。

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 及更高維度空間中，這個概念要稍微複雜一些。對於 $\mathbb {R} ^{2}$，我們需要考慮某一點的左、右、上、下方向上的點。這可能沒問題，但是對於 $\mathbb {R} ^{3}$，我們需要包括更多方向上的點。

我們透過考慮所有與某一點距離相等且固定的點來推廣區間的概念 - 現在我們知道如何在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中計算距離，我們可以透過引入 *開球* 和 *閉球* 的概念進行如下推廣，它們分別類似於開區間和閉區間。

*開球*

$B({\vec {a}},r)$

是形如 ${\Big \{}{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}{\Big |}d({\vec {x}},{\vec {a}})<r{\Big \}}$ 的集合。

*閉球*

${\overline {B}}({\vec {a}},r)$

是形如 ${\Big \{}{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}{\Big |}d({\vec {x}},{\vec {a}})\leq r{\Big \}}$ 的集合。

在 $\mathbb {R}$ 中，我們已經看到，開球只是一個以 $x=a$ 為中心的開區間。在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，這是一個沒有邊界的圓，在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，它是一個沒有外表的球體。（*閉球會是什麼？*）

邊界點

如果我們有一個區域，比如一塊田地，那麼邊界這個概念通常是指“緊挨著”田地內部和外部的點。對於一個集合，$S$ ，我們可以嚴格地定義它，說集合的邊界包含所有這樣的點，即我們可以找到集合內部和外部的點。我們稱這些點的集合為 $\partial S$ 。

通常，當存在時， $\partial S$ 的維度比 $S$ 的維度低一個維度。例如，一個體積的邊界是一個曲面，一個曲面的邊界是一條曲線。

這並不總是正確的；但對於我們將要使用的所有集合來說，它是正確的。

一個集合 $S$ 是有界的，如果存在某個正數，我們可以用一個以 ${\vec {0}}$ 為中心的閉球體包圍這個集合。——> 如果它中的每個點都處於原點有限的距離內，即存在某個 $r>0$ 使得 ${\vec {x}}$ 在 S 中意味著 ${\vec {x}}<r$ 。

極限

在回顧單變數函式的極限時，我們將重點關注二元函式的極限。由於存在不同的方向，多元函式的極限比單變數函式的極限要困難得多。假設存在一個單變數函式

$y=f(x)$

為了確保 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ 存在，我們需要從兩個方向對其進行測試：一個從左側逼近 $c$ ($x\rightarrow c^{-}$)，另一個從右側逼近 $c$ ($x\rightarrow c^{+}$)。回想一下

$\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ 當 $\lim _{x\rightarrow c^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow c^{+}}f(x)$ 時存在。

例如，$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}$ 不存在，因為 $\lim _{x\rightarrow 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$ 和 $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$。現在，假設有一個有兩個變數的函式

$z=f(x,y)$

如果我們想要計算一個極限，例如，$\lim _{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)$，我們不僅需要考慮從$x$軸方向的極限，還需要考慮從所有方向的極限，包括從$y$軸、直線、曲線等。一般來說，如果存在一個方向計算出來的極限值與其他方向不同，那麼極限就不存在。我們將在這裡詳細討論。

可微函式

一個有兩個變數的函式$f(x,y)=(x^{2}+3y^{2})^{1-x^{2}-y^{2}}$

當我們把範圍擴充套件到三維世界時，我們需要考慮的情況就多得多。例如，導數。在之前的章節中，導數只有一個方向（$x$軸），因為只有一個變數。

${\frac {d(x^{3}+4x)}{dx}}=3x^{2}+4$

當我們有兩個或更多變數時，變化率可以在不同的方向計算。例如，看看右邊圖片。這是兩個變數函式的影像。由於有兩個變數，所以定義域將是整個$xy$平面。我們將在$z$軸上繪製輸出$f(x,y)$。右邊函式的方程為

$f(x,y)=(x^{2}+3y^{2})^{1-x^{2}-y^{2}}$

如何計算導數？答案是使用偏導數。顧名思義，它只能“部分”計算導數，因為我們只能在一個方向上計算圖形的變化率。

偏導數

偏導數的符號很重要。

${\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)$ 表示 $f(x,y)$ 在 $x$ 軸方向上的導數，我們只將 $x$ 視為變數，而將 $y$ 視為常數。

${\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)$ 表示 $f(x,y)$ 在 $y$ 軸方向上的導數，我們只將 $y$ 視為變數，而將 $x$ 視為常數。

為了簡單起見，我們經常使用各種標準縮寫，以便我們可以在一行上寫下大多數公式。這可以使我們更容易看到重要的細節。

我們可以用下標縮寫偏微分，例如：

$f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}},\quad f_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}},\quad f_{xy}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right),\quad f_{yx}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)$

請注意，一般情況下，$f_{xy}\neq f_{yx}$。它們只有在某些情況下才相等。有關詳細資訊，請參見鏈式法則和克萊羅定理。當我們以這種方式使用下標時，我們通常使用 Heaviside D（代表“方向”）而不是 ∂，

$D_{x}h(x,y)={\frac {\partial h}{\partial x}}\quad D_{x}D_{y}h=D_{y}D_{x}h$

$D_{\mathbf {\hat {u}} }f(x,y)$ 表示函式 $f$ 在方向 $\mathbf {\hat {u}} =\langle a,b\rangle$ 上的導數。

如果我們使用下標來標記軸，x₁, x₂ …，那麼，為了避免出現兩層下標，我們將使用數字作為下標。

$h_{1}=D_{1}h=\partial _{1}h=\partial _{x_{1}}h={\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}$

我們也可以使用下標表示向量函式的成分，$\mathbf {u} =\langle u_{x},u_{y},u_{z}\rangle {\text{ or }}\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},...,u_{n})$ 如果我們同時使用下標來表示向量分量和偏導數，我們將用逗號將它們隔開。

$u_{x,y}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$

最常用的符號是 $f_{x}$。

我們將根據所處理的方程選擇最合適的符號。

方向導數

方向導數的幾何解釋。

通常，函式關於其變數之一（例如，x_j）的偏導數，是在平行於x_j軸的“切片”上求導。

更準確地說，我們可以想象在空間中沿x_j軸切割函式f(x₁,...,x_n)，保持除x_j變數之外的所有變數不變。

根據定義，我們有函式沿此切片在點p處的偏導數為

${\partial \mathbf {f} \over \partial x_{j}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {e} _{j})-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

只要這個極限存在。

我們不用對應於沿該軸求導的基向量，而是可以選擇任何方向上的向量（通常取為單位向量），然後求出函式的方向導數，其表示式為

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {d} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

其中 d 是方向向量。

如果我們要計算方向導數，從極限定義中計算它們相當痛苦，但是，我們有以下結論：如果 f : Rⁿ → R 在點 p 處可微分，|p|=1，

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=D_{\mathbf {p} }\mathbf {f} (\mathbf {d} )$

在下一節中，我們將看到一個與之密切相關的公式。

梯度向量

標量的偏導數告訴我們，如果沿著某個軸移動，它會發生多少變化。如果我們沿著不同的方向移動呢？

我們將這個標量稱為 f，並考慮如果我們沿著無窮小方向 dr=(dx,dy,dz) 移動會發生什麼，使用鏈式法則。

$\mathbf {df} =dx{\frac {\partial f}{\partial x}}+dy{\frac {\partial f}{\partial y}}+dz{\frac {\partial f}{\partial z}}$

這是 dr 與一個向量的點積，該向量的分量是 f 的偏導數，稱為 f 的梯度。

$\operatorname {grad} \mathbf {f} =\nabla \mathbf {f} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{n}}}\right)$

我們可以透過將梯度與 d 的點積來形成點 p 處沿方向 d 的方向導數

${\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over \partial \mathbf {d} }=\mathbf {d} \cdot \nabla \mathbf {f} (\mathbf {p} )$.

請注意，grad f 看起來像是向量乘以標量。這種偏導數的特殊組合很常見，所以我們將其簡寫為

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

我們可以將取梯度向量的操作寫成一個運算子。回想一下，在一元情況下，我們可以將 d/dx 寫成對 x 求導的操作。這種情況類似，但 ∇ 像向量一樣起作用。

我們也可以將取梯度向量的操作寫成

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\cdots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$

梯度向量的性質

幾何

• Grad f(p) 是一個指向 f 最陡斜率方向的向量。|grad f(p)| 是該點該斜率的變化率。

例如，如果我們考慮 h(x, y)=x²+y²。h 的等高線是同心圓，圓心在原點，並且

$\nabla h=(h_{x},h_{y})=2(x,y)=2\mathbf {r}$

grad h 指向遠離原點的方向，與等高線垂直。

• 沿著等高線，(∇f)(p) 垂直於等高線 {x|f(x)=f(p) 在 x=p}。

如果 dr 指向沿著 f 的等高線，其中函式是常數，則 df 將為零。由於 df 是點積，這意味著兩個向量 df 和 grad f 必須垂直，即梯度垂直於等高線。

代數性質

就像 d/dx 一樣，∇ 是線性的。對於任何一對常數 a 和 b，以及任何一對標量函式 f 和 g

${\frac {d}{dx}}(af+bg)=a{\frac {d}{dx}}f+b{\frac {d}{dx}}g\quad \nabla (af+bg)=a\nabla f+b\nabla g$

由於它是一個向量，我們可以嘗試對它和其他向量以及自身進行點積和叉積。

乘積法則和鏈式法則

就像普通微分一樣，對於 grad、div 和 curl 都有乘積法則。

• 如果 g 是標量，v 是向量，則

gv 的散度為

$\nabla \cdot (g\mathbf {v} )=g\nabla \cdot \mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )g$

gv 的旋度為

$\nabla \times (g\mathbf {v} )=g(\nabla \times \mathbf {v} )+(\nabla g)\times \mathbf {v}$

• 如果 u 和 v 都是向量，則

它們的點積的梯度為

$\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u}$

它們的叉積的散度為

$\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )$

它們的叉積的旋度為

$\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\mathbf {u} (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} (\nabla \cdot \mathbf {u} )$

我們也可以寫鏈式法則。在一般情況下，當兩個函式都是向量，並且它們的複合定義時，我們可以使用之前定義的雅可比矩陣。

$\left.\nabla \mathbf {u} (\mathbf {v} )\right|_{\mathbf {r} }=\mathbf {J} _{\mathbf {v} }\left.\nabla \mathbf {v} \right|_{\mathbf {r} }$

其中，J_u 是 u 在點 v 處的雅可比矩陣。

通常，J 是一個矩陣，但如果 u 的值域或定義域是 R¹，那麼它就會變成一個向量。在這些特殊情況下，我們只需要使用向量表示法就可以簡潔地寫出鏈式法則。

• 如果 g 是一個關於向量的標量函式，而 h 是關於 g 的標量函式，那麼

$\nabla h(g)={\frac {dh}{dg}}\nabla g$

• 如果 g 是一個關於向量的標量函式，那麼

$\nabla =(\nabla g){\frac {d}{dg}}$

這個替換可以在任何包含 ∇ 的方程中進行。

積分

我們已經考慮了多變數函式的微分，這讓我們考慮如何有意義地看待積分。

在單變數情況下，我們把函式的定積分解釋為函式下方的面積。在多變數情況下也有類似的解釋：例如，如果我們在 R³ 中有一個拋物面，我們可能希望檢視該拋物面在 xy 平面上的某個區域上的積分，這將是該曲線下方並位於該區域內的 體積。

黎曼和

在檢視這些積分形式時，我們檢視黎曼和。回想一下，在單變數情況下，我們將要積分的區間分成矩形，並將這些矩形的面積相加，它們的寬度越來越小。對於多變數情況，我們需要做類似的事情，但問題在於如何劃分 R² 或 R³，例如。

為此，我們擴充套件了區間的概念，並考慮了我們所謂的 n-區間。一個 n-區間是某個矩形區域內的一組點，每個維度上都有固定寬度的邊，即形式為 {x∈Rⁿ|a_i ≤ x_i ≤ b_i，其中 i = 0,...,n} 的集合，其面積/大小/體積（為了避免混淆，我們簡單地稱之為 測度）是其所有邊長的乘積。

因此，在 R² 中的一個 n-區間可能是平面的某個矩形劃分，例如 {(x,y) | x ∈ [0,1] 且 y ∈ [0, 2]|}。它的測度為 2。

如果我們要考慮黎曼和，現在是在區域 Ω 的子 n-區間方面，它是

$\sum _{i;S_{i}\subset \Omega }f(x_{i}^{*})m(S_{i})$

其中，m(S_i) 是將 Ω 分成 k 個子 n-區間 S_i 的測度，x^*_i 是 S_i 中的一個點。索引很重要 - 我們只在 S_i 完全位於 Ω 內時執行求和 - 任何不完全包含在 Ω 內的 S_i 我們都忽略。

當我們將 k 趨於無窮大時，也就是說，我們將 Ω 分成越來越細的子 n-區間，而這個和無論我們如何劃分 Ω 都是一樣的，我們得到了 f 在 Ω 上的 積分，我們記作

$\int _{\Omega }f$

對於二維，我們可以寫成

$\int \int _{\Omega }f$

類似地，對於 n 維。

重複積分

謝天謝地，我們並不總是需要每次計算多變數積分時都使用黎曼和。有一些結果讓我們生活更輕鬆。

對於R²，如果我們有一個區域位於另一個變數的兩個函式之間（所以兩個函式的形式為f(x) = y或f(y) = x），在常數邊界之間（所以，在x = a和x =b或y = a和y = b之間），我們有

$\int _{a}^{b}\,\int _{f(x)}^{g(x)}h(x,y)\,dydx$

一個重要的定理（稱為Fubini 定理）向我們保證這個積分與以下積分相同

$\int \int _{\Omega }f$,

如果 f 在積分域上是連續的。