微積分/發散檢驗

發散檢驗

發散檢驗是使用最簡單的無窮級數檢驗，但學生可能會錯誤地使用它而感到困惑。在本頁中，我們解釋瞭如何使用它以及如何避免與該檢驗相關的最常見陷阱之一。
發散檢驗也稱為第n項檢驗。

發散檢驗定義

如果 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\neq 0}$，則 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}$ 發散。

發散檢驗快速筆記

用於證明收斂性	否
用於證明發散性	是
可能是無結論的	是

如何使用發散檢驗

要使用發散檢驗，只需取極限 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}}$。如果此極限結果為非零值，則級數發散，則檢驗完成。如果極限等於零，則檢驗無結論，無法說明級數的收斂性。它可能收斂，也可能發散。您需要使用其他檢驗來確定收斂性或發散性。

需要注意的事項

發散檢驗似乎非常簡單明瞭。基本上，這個檢驗表明，對於一個級數 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}$，如果 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\neq 0}$，則該級數發散。非常簡單，對吧？但是，有一個陷阱讓很多學生掉入。

陷阱 - - 幾乎每個學生都有一個傾向，就是使用這個定理來證明收斂性。該語句沒有說明關於收斂性的任何內容。讓我們舉幾個例子來演示我們的意思。讓我們比較一下這兩個非常相似的級數的收斂性或發散性。(如果您還不知道p-級數，請相信我們的收斂/發散結論。您很快就會明白。)

A	$\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$	$\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}$	發散	p-級數，其中 $p=1$
B	$\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$	$\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}}}=0}$	收斂	p-級數，其中 $p=2$

需要注意的是，**兩種情況下項的極限都趨於零。但是，級數 A 發散而級數 B 收斂。**（參見無窮級數 - 積分檢驗頁面，其中包含一個影片，演示了這兩個級數收斂/發散的證明。）

因此，您可以看到，僅僅因為極限趨於零，**並不**能保證級數收斂。只有當極限不趨於零時，您才能應用該定理。這保證了發散。當極限趨於零時，您仍然不知道級數是收斂還是發散。您需要使用其他檢驗來確定收斂性。

示例

確定這些級數是發散的，還是發散檢驗無結論。

示例 1

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n}}$

因為 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n+1}{n}}=1$，極限不為零，因此根據發散檢驗，該級數發散。

示例 2

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}$

因為 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}={\frac {1}{3}}$，極限不為零，因此根據發散檢驗，該級數發散。

示例 3

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}$

因為 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}=0$，極限為零，因此檢驗無結論。需要進一步分析才能確定級數是收斂還是發散。