微積分/數列的定義

有限數列

定義：數列的定義

數列是一個有序的項的集合，允許重複。數列中項的數量稱為數列的長度。

數列通常用括號表示，例如 $\left\{2,3,3,4,4\right\}$ 。此外，如果我們有一個數列 $a$ ，使得 $a=\left\{1,2,3,4,5\right\}$ ，那麼 $a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=3...$ 。下標必須是非負整數。還要注意 $n$ 從 1 開始並向上計數。

我們可以用公式 $a_{n}=n$ 來描述此數列中的項，對於所有非負整數 $n<6$ 。因此根據此定義， $a_{6}$ 沒有定義，實際上 $a_{6}$ 不在數列中。

無限數列

定義：無限數列的定義

無限數列是一個具有無限個元素的數列。

無限數列有無限個項。對於這樣的數列，我們仍然可以給出數列中任何項的公式。對於我們之前的數列 $a$ ，我們可以說 $a_{n}=n$ ，對於所有非負整數 $n$ 。此數列也可以表示為 $\left\{0,1,2,3,4,5,...\right\}$ ，其中省略號表示此數列是無限的。

離散函式

之前，我們定義了無限序列 $a$ 的成員為 $a_{n}=n$ ，其中 $n$ 是所有非負整數。這被稱為離散函式、離散定義或顯式定義。離散函式是指其定義域不包含所有實數或虛數的函式，而是更小的、可數的集合，例如所有整數的集合或所有有理數的集合。請注意，集合與序列不同，但這超出了本次討論的範圍。

離散函式僅接受“可數”的、離散的定義域。所有整數的集合是可數的，因為在集合中的兩個值之間沒有無窮多個值；在 2 和 1 之間沒有額外的值，因為 1.5 不是整數，也不包含在集合中。另外請注意，給定一個離散函式或顯式定義，只要定義域是離散的，則值域也必須是離散的。這意味著，如果離散函式的輸入是可數的，則輸出也必須是可數的。

示例 1

$q_{n}=n+1$

$q=\left\{2,3,4,5,6...\right\}$

這被稱為等差數列。我們將在後面討論它們。

示例 2

$c_{n}=\cos(n-1)$

$c=\left\{1,0.5403...,-0.4161...,-0.9899...,0.2836...,...\right\}$

這個結果可能很有趣：序列不必是整數的集合，事實上它可以是任何集合，只要它是可數的。在這裡，我們只是取所有整數的餘弦，任何離散函式都必須具有離散定義域和離散值域。

遞迴函式

遞迴函式、遞迴公式或遞迴定義是指 $a_{n}$ 用 $a_{n-1}$ 定義的公式。要了解遞迴定義的序列中的任何一項，都需要了解它之前的所有項，這意味著必須知道第一項，有時用 $a_{0}$ 或 $a_{1}$ 表示。為了獲得適當的遞迴序列，必須定義第一項；不能假設第一項是 1。