微積分/向量函式

簡介

如果我們有一個函式 ${\vec {f}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$，我們說${\vec {f}}$ 的像（集合 ${\Big \{}{\vec {f}}(t){\Big |}t\in \mathbb {R} {\Big \}}$ - 或者 $\mathbb {R}$ 的某個子集）是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的曲線，而 ${\vec {f}}$ 是它的引數化。

引數化不一定是唯一的 - 例如，${\vec {f}}(t)=(\cos(t),\sin(t))$ 其中 $t\in [0,2\pi )$ 是單位圓的一種引數化，而 ${\vec {g}}(t)=(\cos(at),\sin(at))$ 其中 $t\in \left[0,{\frac {2\pi }{a}}\right)$ 是該圓的整個引數化族。

碰撞點和交點

假設我們有兩條不同的曲線。考慮以下幾點可能很重要：

• 兩條曲線共有的點 - 它們相交的地方
• 在相同 $t$ 值下發生的交點 - 它們碰撞的地方。

交點

首先，我們有兩個引數化 ${\vec {f}}(t)$ 和 ${\vec {g}}(t)$，我們想要找出它們何時相交，這意味著我們想知道每個引數化的函式值何時相等。這意味著我們需要解

${\vec {f}}(t)={\vec {g}}(s)$

因為我們正在尋找與它們相交時間無關的函式值。

例如，如果我們有 ${\vec {f}}(t)=(t,3t)$ 和 ${\vec {g}}(t)=(t,t^{2})$，我們想要找到交點

${\vec {f}}(t)={\vec {g}}(s)$

$(t,3t)=(s,s^{2})$

$t=s\ ,\ 3t=s^{2}$

解為 $(t,s)=(0,0)\ ,\ (3,9)$

所以，這兩條曲線在點 $(0,0)\ ,\ (3,9)$ 處相交。

碰撞點

但是，如果我們想知道這些點何時“碰撞”，與 ${\vec {f}}(t)$ 和 ${\vec {g}}(t)$，我們需要知道何時函式值和時間都相同，所以我們需要解

${\vec {f}}(t)={\vec {g}}(t)$

例如，使用與之前相同的函式，${\vec {f}}(t)=(t,3t)$ 和 ${\vec {g}}(t)=(t,t^{2})$， 我們想要找到碰撞點。

${\vec {f}}(t)={\vec {g}}(t)$

$(t,3t)=(t,t^{2})$

$t=t\ ,\ 3t=t^{2}$

這給出瞭解 $t=0,3$。因此碰撞點是 $(0,0)\ ,\ (3,9)$。

我們可能想要這樣做來實際模擬物理問題，例如彈道學。

交叉向量函式

我們也可以使用向量函式來表示兩個曲面的交線。例如，我們想知道圓柱體 $x^{2}+y^{2}=1$ 和平面 $y+z=2$ 的交線。

向量函式依賴於引數化，因此我們可以將圓柱體的方程改寫為： $\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$， 其中 $x=\cos t,y=\sin t$。

從平面的方程，我們知道 $z=2-y=2-\sin t$。因此對應的向量方程為

$\mathbf {r} (t)=\langle \cos t,\sin t,2-\sin t\rangle$

極限和連續性

向量函式的極限 $\mathbf {r}$ 是透過對其分量函式取極限來定義的。

向量函式的極限

存在一個向量函式 $\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$. 如果 $\lim _{t\rightarrow a}f(t),\lim _{t\rightarrow a}g(t),\lim _{t\rightarrow a}h(t)$ 存在，那麼

$\lim _{t\rightarrow a}\mathbf {r} (t)=\langle \lim _{t\rightarrow a}f(t),\lim _{t\rightarrow a}g(t),\lim _{t\rightarrow a}h(t)\rangle$

而連續性的要求也很簡單

向量函式 $\mathbf {r}$ 在 $a$ 處連續，如果 $\lim _{t\rightarrow a}\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (a)$.

導數和積分

微分

回顧一下，標量函式 $f(x)$ 的一階導數定義為

$f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

向量函式 $\mathbf {r} (t)$ 的一階導數的定義方式幾乎相同

$\mathbf {r} '(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t+\Delta t)-\mathbf {r} (t)}{\Delta t}}$

我們可以使用這個定義來證明向量函式的導數可以表示為其分量函式的導數。

${\begin{aligned}\mathbf {r} '(t)&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}[\mathbf {r} (t+\Delta t)-\mathbf {r} (t)]\quad {\text{definition}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}[\langle f(t+\Delta t),g(t+\Delta t),h(t+\Delta t)\rangle -\langle f(t),g(t),h(t)\rangle ]\quad {\text{component form}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\langle {\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}},{\frac {g(t+\Delta t)-g(t)}{\Delta t}},{\frac {h(t+\Delta t)-h(t)}{\Delta t}}\rangle \quad {\text{vector addition and multiplication}}\\&=\langle \lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}},\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {g(t+\Delta t)-g(t)}{\Delta t}},\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {h(t+\Delta t)-h(t)}{\Delta t}}\rangle \quad {\text{definition}}\\&=\langle f'(t),g'(t),h'(t)\rangle \quad {\text{definition}}\\\end{aligned}}$

因此，使用相同的方法，我們可以推匯出二階導數等等。

向量函式的導數

有一個向量函式$\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$。 該向量函式的一階導數為

$\mathbf {r} '(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t+\Delta t)-\mathbf {r} (t)}{\Delta t}}=\langle f'(t),g'(t),h'(t)\rangle$

所以$n$階導數應該看起來像這樣

$\mathbf {r} ^{(n)}(t)=\langle f^{(n)}(t),g^{(n)}(t),h^{(n)}(t)\rangle$

微分法則

就像實值函式一樣，向量函式的世界中也有一些微分法則。使向量微分法則稍微複雜的是乘積法則，因為向量中存在兩種型別的乘法：點積和叉積。

向量函式的微分法則

假設 $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$ 是可微向量函式，$f$ 是實值函式。 那麼

1. ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)]=\mathbf {u} '(t)+\mathbf {v} '(t)\quad$ (加法)
2. ${\frac {d}{dt}}[f(t)\mathbf {u} (t)]=f'(t)\mathbf {u} (t)+f(t)\mathbf {u} '(t)\quad$ (標量乘法)
3. ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)\cdot \mathbf {v} (t)]=\mathbf {u} '(t)\cdot \mathbf {v} (t)+\mathbf {u} (t)\cdot \mathbf {v} '(t)\quad$ (點積)
4. ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)\times \mathbf {v} (t)]=\mathbf {u} '(t)\times \mathbf {v} (t)+\mathbf {u} (t)\times \mathbf {v} '(t)\quad$ (叉積)
5. ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (f(t))]=f'(t)\mathbf {u} '(f(t))\quad$ (鏈式法則)

當然，我們將證明這些規則是正確的。假設 $\mathbf {u} (t)=\langle f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\rangle$ 以及 $\mathbf {v} (t)=\langle g_{1}(t),g_{2}(t),g_{3}(t)\rangle$.

規則 1：加法規則

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)]&={\frac {d}{dt}}[\langle f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\rangle +\langle g_{1}(t),g_{2}(t),g_{3}(t)\rangle ]\quad {\text{component form}}\\&={\frac {d}{dt}}\langle f_{1}(t)+g_{1}(t),f_{2}(t)+g_{2}(t),f_{3}(t)+g_{3}(t)\rangle \quad {\text{vector addition}}\\&=\langle {\frac {d}{dt}}(f_{1}(t)+g_{1}(t)),{\frac {d}{dt}}(f_{2}(t)+g_{2}(t)),{\frac {d}{dt}}(f_{3}(t)+g_{3}(t))\rangle \quad {\text{distribution}}\\&=\langle f_{1}'(t)+g_{1}'(t),f_{2}'(t)+g_{2}'(t),f_{3}'(t)+g_{3}'(t)\rangle \quad {\text{addition rule for real-valued functions}}\\&=\langle f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t)\rangle +\langle g_{1}'(t),g_{2}'(t),g_{3}'(t)\rangle \quad {\text{vector addition}}\\&=\mathbf {u} '(t)+\mathbf {v} '(t)\quad {\text{vector form}}\\\end{aligned}}$

規則 2：標量乘法規則

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[f(t)\mathbf {u} (t)]&={\frac {d}{dt}}[f(t){\begin{pmatrix}f_{1}(t)\\f_{2}(t)\\f_{3}(t)\end{pmatrix}}]\quad {\text{component form}}\\&={\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}f(t)f_{1}(t)\\f(t)f_{2}(t)\\f(t)f_{3}(t)\end{pmatrix}}\quad {\text{scalar multiplication}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}(f(t)f_{1}(t))\\{\frac {d}{dt}}(f(t)f_{2}(t))\\{\frac {d}{dt}}(f(t)f_{3}(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{distribution}}\\&={\begin{pmatrix}f'(t)f_{1}(t)+f(t)f_{1}'(t)\\f'(t)f_{2}(t)+f(t)f_{2}'(t)\\f'(t)f_{3}(t)+f(t)f_{3}'(t)\\\end{pmatrix}}\quad {\text{multiplication rule for real-valued functions}}\\&={\begin{pmatrix}f'(t)f_{1}(t)\\f'(t)f_{2}(t)\\f'(t)f_{3}(t)\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}f(t)f_{1}'(t)\\f(t)f_{2}'(t)\\f(t)f_{3}'(t)\end{pmatrix}}\quad {\text{vector addition}}\\&=f'(t){\begin{pmatrix}f_{1}(t)\\f_{2}(t)\\f_{3}(t)\end{pmatrix}}+f(t){\begin{pmatrix}f_{1}'(t)\\f_{2}'(t)\\f_{3}'(t)\end{pmatrix}}\quad {\text{scalar multiplication}}\\&=f'(t)\mathbf {u} (t)+f(t)\mathbf {u} '(t)\quad {\text{vector form}}\\\end{aligned}}$

規則 3：點積規則

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)\cdot \mathbf {v} (t)]&={\frac {d}{dt}}[\langle f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\rangle \cdot \langle g_{1}(t),g_{2}(t),g_{3}(t)\rangle ]\quad {\text{component form}}\\&={\frac {d}{dt}}(f_{1}(t)g_{1}(t)+f_{2}(t)g_{2}(t)+f_{3}(t)g_{3}(t))\quad {\text{dot product}}\\&={\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{3}f_{i}(t)g_{i}(t)\quad {\text{simplification}}\\&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {d}{dt}}f_{i}(t)g_{i}(t)\quad {\text{distribution}}\\&=\sum _{i=1}^{3}[f_{i}'(t)g_{i}(t)+f_{i}(t)g_{i}'(t)]\quad {\text{multiplication rule for real-valued functions}}\\&=\sum _{i=1}^{3}f_{i}(t)g_{i}(t)+\sum _{i=1}^{3}f_{i}(t)g_{i}'(t)\quad {\text{vector addition}}\\&=\mathbf {u} '(t)\cdot \mathbf {v} (t)+\mathbf {u} (t)\cdot \mathbf {v} '(t)\quad {\text{vector form}}\\\end{aligned}}$

規則 4：叉積規則

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)\times \mathbf {v} (t)]&={\frac {d}{dt}}[\langle f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\rangle \times \langle g_{1}(t),g_{2}(t),g_{3}(t)\rangle ]\quad {\text{component form}}\\&={\frac {d}{dt}}{\begin{vmatrix}\mathbf {\hat {i}} &\mathbf {\hat {j}} &\mathbf {\hat {k}} \\f_{1}(t)&f_{2}(t)&f_{3}(t)\\g_{1}(t)&g_{2}(t)&g_{3}(t)\\\end{vmatrix}}\quad {\text{cross product}}\\&={\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}f_{2}(t)g_{3}(t)-f_{3}(t)g_{2}(t)\\f_{3}(t)g_{1}(t)-f_{1}(t)g_{3}(t)\\f_{1}(t)g_{2}(t)-f_{2}(t)g_{1}(t)\\\end{pmatrix}}\quad \\&={\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}(f_{2}(t)g_{3}(t)-f_{3}(t)g_{2}(t))\\{\frac {d}{dt}}(f_{3}(t)g_{1}(t)-f_{1}(t)g_{3}(t))\\{\frac {d}{dt}}(f_{1}(t)g_{2}(t)-f_{2}(t)g_{1}(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{distribution}}\\&={\begin{pmatrix}f_{2}'(t)g_{3}(t)+f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\f_{3}'(t)g_{1}(t)+f_{3}(t)g_{1}'(t)-f_{1}'(t)g_{3}(t)-f_{1}(t)g_{3}'(t)\\f_{2}'(t)g_{3}(t)+f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\\end{pmatrix}}\quad {\text{multiplication rule for real-valued functions}}\\&={\begin{pmatrix}f_{2}'(t)g_{3}(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)+f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\f_{3}'(t)g_{1}(t)-f_{1}'(t)g_{3}(t)+f_{3}(t)g_{1}'(t)-f_{1}(t)g_{3}'(t)\\f_{2}'(t)g_{3}(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)+f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\\end{pmatrix}}\quad {\text{rearrangement}}\\&={\begin{pmatrix}f_{2}'(t)g_{3}(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)\\f_{3}'(t)g_{1}(t)-f_{1}'(t)g_{3}(t)\\f_{2}'(t)g_{3}(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\f_{3}(t)g_{1}'(t)-f_{1}(t)g_{3}'(t)\\f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\\end{pmatrix}}\quad {\text{vector addtion}}\\&={\begin{vmatrix}\mathbf {\hat {i}} &\mathbf {\hat {j}} &\mathbf {\hat {k}} \\f_{1}'(t)&f_{2}'(t)&f_{3}'(t)\\g_{1}(t)&g_{2}(t)&g_{3}(t)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\mathbf {\hat {i}} &\mathbf {\hat {j}} &\mathbf {\hat {k}} \\f_{1}(t)&f_{2}(t)&f_{3}(t)\\g_{1}'(t)&g_{2}'(t)&g_{3}'(t)\\\end{vmatrix}}\quad {\text{cross product}}\\&={\begin{pmatrix}f_{1}'(t)\\f_{2}'(t)\\f_{3}'(t)\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}g_{1}(t)\\g_{2}(t)\\g_{3}(t)\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}f_{1}(t)\\f_{2}(t)\\f_{3}(t)\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}g_{1}'(t)\\g_{2}'(t)\\g_{3}'(t)\\\end{pmatrix}}\quad \\&=\mathbf {u} '(t)\times \mathbf {v} (t)+\mathbf {u} (t)\times \mathbf {v} '(t)\quad {\text{vector form}}\\\end{aligned}}$

規則 5：鏈式法則

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (f(t))]&={\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}f_{1}(f(t))\\f_{2}(f(t))\\f_{3}(f(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{component form}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}f_{1}(f(t))\\{\frac {d}{dt}}f_{2}(f(t))\\{\frac {d}{dt}}f_{3}(f(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{distribution}}\\&={\begin{pmatrix}f'(t)f_{1}'(f(t))\\f'(t)f_{2}'(f(t))\\f'(t)f_{3}'(f(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{chain rule for real-valued functions}}\\&=f'(t){\begin{pmatrix}f_{1}'(f(t))\\f_{2}'(f(t))\\f_{3}'(f(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{scalar multiplication}}\\&=f'(t)\mathbf {u} '(f(t))\quad {\text{vector form}}\\\end{aligned}}$

$\blacksquare$

曲線之間的角度

然後我們可以透過考慮兩個切向向量之間的角度來闡述兩條曲線之間的角度的概念。如果兩條曲線由${\vec {f_{1}}}$ 和 ${\vec {f_{2}}}$ 引數化，並在某一點相交，這意味著

${\vec {f_{1}}}(s)={\vec {f_{2}}}(t)=c$

這兩條曲線在$c$ 處的角度是切向向量 ${\vec {f_{1}'}}(s)$ 和 ${\vec {f_{2}'}}(t)$ 之間的角度，使用點積，由以下公式給出

$\arccos \left({\frac {{\vec {f_{1}'}}(s)\cdot {\vec {f_{2}'}}(t)}{{\Big \|}{\vec {f_{1}'}}(s){\Big \|}{\Big \|}{\vec {f_{2}'}}(t){\Big \|}}}\right)$

積分

類似於實值函式，向量函式 $\mathbf {r} (t)$ 的定積分定義為

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}\mathbf {r} (t)dt&=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} (t_{i}^{*})\Delta t\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\biggl [}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}f(t_{i}^{*})\Delta t{\biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}g(t_{i}^{*})\Delta t{\biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}h(t_{i}^{*})\Delta t{\biggr )}\mathbf {k} {\biggr ]}\\&={\biggl (}\int _{a}^{b}f(t)dt{\biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}\int _{a}^{b}g(t)dt{\biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}\int _{a}^{b}h(t)dt{\biggr )}\mathbf {k} \end{aligned}}$

我們可以將微積分基本定理擴充套件到連續向量函式，如下所示

微積分基本定理（包括向量函式）

$\int _{a}^{b}\mathbf {r} (t)dt=\mathbf {R} (t){\biggr ]}_{a}^{b}=\mathbf {R} (b)-\mathbf {R} (a)$

對於不定積分，定義是

$\int \mathbf {r} (t)dt={\biggl (}\int f(t)dt{\biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}\int g(t)dt{\biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}\int h(t)dt{\biggr )}\mathbf {k} +\mathbf {C}$

弧長

回想一下在第 5.3 章中，我們推匯出具有引數方程的曲線的長度 ${\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}$, $a\leq t\leq b$ 應該是

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\biggl (}{\frac {dx}{dt}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {dy}{dt}}{\biggr )}^{2}}}dt$

由於向量函式本質上是具有方向的引數方程，我們可以將上述公式應用於空間曲線的長度。

空間曲線的弧長

如果曲線具有向量方程 $\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle ,a\leq t\leq b$，或等價地，引數方程 $x=f(t),y=g(t),z=h(t)$，其中 $f',g',h'$ 是連續的，則從 $t=a$ 到 $t=b$ 的曲線長度是

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {[f'(t)]^{2}+[g'(t)]^{2}+[h'(t)]^{2}}}dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\biggl (}{\frac {dx}{dt}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {dy}{dt}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {dx}{dz}}{\biggr )}^{2}}}dt$

對於那些喜歡簡潔的人來說，這個公式可以改寫成

$L=\int _{a}^{b}|\mathbf {r} '(t)|dt\quad$ 或 $\quad {\frac {dL}{dt}}=|\mathbf {r} '(t)|$

引數重整

假設存在一個向量函式描述了粒子相對於時間的位移，其方程為

$\mathbf {r} (t)=\cos t\ \mathbf {i} +\sin t\ \mathbf {j} +t\ \mathbf {k}$

然而，出於某種原因，我們不想知道這個粒子相對於時間的位移。相反，我們想知道它相對於其行進距離 ($s$) 的位移，從 $(1,0,0)$ 沿 $t$ 遞增方向。為了做到這一點，我們需要找到一種方法來描述時間作為距離的函式。換句話說，我們需要找到 $t=t(s)$。我們可以使用弧長公式來建立時間和距離之間的關係，因為在這種情況下，弧長描述了粒子行進的距離。

在我們開始計算之前，我們需要引入弧長函式。

弧長函式

假設一條分段光滑曲線，其向量函式為 $\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle ,a\leq t\leq b$，並且當 $t$ 從 $a$ 增加到 $b$ 時，該曲線恰好被遍歷一次。弧長函式 $s(t)$ 為

$s(t)=\int _{a}^{t}{\sqrt {{\biggl (}{\frac {dx}{du}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {dy}{du}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {dz}{du}}{\biggr )}^{2}}}du$

根據定義，我們曲線的弧長函式 $\mathbf {r} (t)$ 應該是

$s(t)=\int _{0}^{t}|\mathbf {r} '(u)|du=\int _{0}^{t}{\sqrt {(-\sin u)^{2}+(\cos u)^{2}+1^{2}}}du={\sqrt {2}}u{\bigg ]}_{0}^{t}={\sqrt {2}}t$

注意，$a=0$，因為初始點 $(1,0,0)$ 對應於引數值 $t=0$。由於它處於 $t$ 增加的方向，因此積分方向應該是從 $0$ 到 $t$。

$t(s)={\frac {s}{\sqrt {2}}}$

然後我們將原始函式代入，得到答案

$\mathbf {r} (s)=\cos {\frac {s}{\sqrt {2}}}\ \mathbf {i} +\sin {\frac {s}{\sqrt {2}}}\ \mathbf {j} +{\frac {s}{\sqrt {2}}}\ \mathbf {k}$

引數變換在現實生活中有著重要的應用，因為我們有時需要根據不同的變數來了解某個值。在本例中，我們不是用時間來描述粒子的路徑，而是用其距離來描述其路徑，這在某些情況下將非常有用。

曲率

術語

在我們開始討論曲率之前，有一些重要的向量和概念我們至少需要了解。

單位切向量

在本節的微分部分，我們討論了向量函式的導數。我們知道 $\mathbf {v} (t)=\mathbf {r} '(t)$ 在 $t=t_{0}$ 處與曲線 $\mathbf {r} (t)$ 在 $t=t_{0}$ 處相切。 $\mathbf {r} '(t)$ 稱為切向量。然而，單位切向量消除了幅度的方面，因為它被定義為

$\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}$

我們可以看到，單位切向量的幅度始終為 $1$。我們可以將 $\mathbf {r} (t)$ 想象成粒子隨時間推移的位移。因此，單位切向量可以被認為是粒子速度隨時間的變化方向。它也可以被認為是粒子切向加速度隨時間的變化方向。我們將在下一節討論空間中的運動，但這是一種直觀理解一些向量的有用方法。

單位法向量

單位法向量定義為

$\mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{|\mathbf {T} '(t)|}}$

單位法向量與單位切向量正交，因為由於 $|\mathbf {T} (t)|=1$，我們可以得到

${\frac {d}{dt}}|\mathbf {T} (t)|^{2}=0={\frac {d}{dt}}[\mathbf {T} (t)\cdot \mathbf {T} (t)]=2\mathbf {T} '(t)\cdot \mathbf {T} (t)$

$\Leftrightarrow \mathbf {T} '(t)\cdot \mathbf {T} (t)=0$

這意味著 $\mathbf {T} '(t)$ 與 $\mathbf {T} (t)$ 正交。 因此，$\mathbf {N} (t)$ 與 $\mathbf {T} (t)$ 正交。我們可以想象單位法向量是粒子相對於時間的法向加速度的方向。

副法向量

副法向量定義為

$\mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)$

由於叉積的性質，副法向量垂直於單位切向量和單位法向量。副法向量的模長始終為 1，因為

$|\mathbf {B} (t)|=|\mathbf {T} (t)||\mathbf {N} (t)|\sin \theta =1$

法平面、密切平面和密切圓

• 法平面是由法向量和副法向量 $\mathbf {N} {\text{ and }}\mathbf {B}$ 確定的平面。法平面包含所有與切向量 $\mathbf {T}$ 正交的直線。
• 密切平面是由單位切向量和單位法向量$\mathbf {T} {\text{ and }}\mathbf {N}$決定的平面。它是最接近包含曲線在點$t=t_{0}$附近的曲線的平面。
• 密切圓是位於密切平面內、朝向$\mathbf {N}$方向的圓，其半徑為$r={\frac {1}{\kappa }}$（曲率的倒數，我們將在後面立即討論）。它能最好地描述曲線在點$t=t_{0}$附近的行為，因為它在該點具有相同的切線、法線和曲率。

這些概念在微分幾何分支及其在航天器運動中的應用中非常重要。

曲率

曲線在給定點處的曲率是衡量曲線在該點處改變方向速度的度量。我們將其定義為單位切線相對於弧長的變化率的大小。我們使用弧長，以便曲率與引數化無關。

假設一條空間曲線具有向量函式$\mathbf {r}$，單位切向量$\mathbf {T}$和弧長$s$。這條曲線的曲率為：$\kappa ={\biggl |}{\frac {d\mathbf {T} (s)}{ds}}{\biggr |}$.

還有兩種方法可以表示曲率。我們可以利用鏈式法則（回想一下${\frac {dL}{dt}}=|\mathbf {r} '(t)|$）用$t$而不是$s$來表示曲率。

$\kappa ={\biggl |}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}{\biggr |}={\Biggl |}{\frac {{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}{\frac {ds}{dt}}}{\frac {ds}{dt}}}{\Biggr |}={\Biggl |}{\frac {\frac {d\mathbf {T} (t)}{dt}}{\frac {ds}{dt}}}{\Biggr |}={\frac {|\mathbf {T} '(t)|}{|\mathbf {r} '(t)|}}$

第三種方法推導起來比較複雜，但它在實際應用中通常比較方便，因為它只需要$\mathbf {r} (t)$及其導數。

$\kappa (t)={\frac {|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)|}{|\mathbf {r} '(t)|^{3}}}$

現在來證明這個定理。

根據單位切向量的定義，我們知道 $\mathbf {r} '=|\mathbf {r} '|\mathbf {T}$. 所以 $\mathbf {r}$ 的二階導數應該是

${\begin{aligned}\mathbf {r} ''&=(|\mathbf {r} '|\ \mathbf {T} )'\\&=|\mathbf {r} ''|\ \mathbf {T} +|\mathbf {r} '|\ \mathbf {T} '\quad {\text{the product rule}}\\\end{aligned}}$

現在我們計算 $\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''$.

${\begin{aligned}\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''&={\bigl (}|\mathbf {r} '|\mathbf {T} {\bigr )}\times {\bigl (}|\mathbf {r} ''|\ \mathbf {T} +|\mathbf {r} '|\ \mathbf {T} '{\bigr )}\quad {\text{substitution}}\\&={\bigl (}|\mathbf {r} '|\mathbf {T} \times |\mathbf {r} ''|\mathbf {T} {\bigr )}+{\bigl (}|\mathbf {r} '|\mathbf {T} \times |\mathbf {r} '|\mathbf {T} '{\bigr )}\quad {\text{distribution}}\\&=|\mathbf {r} '||\mathbf {r} ''|(\mathbf {T} \times \mathbf {T} )+|\mathbf {r} '|^{2}(\mathbf {T} \times \mathbf {T} ')\quad {\text{rearrangement}}\\&=|\mathbf {r} '|^{2}(\mathbf {T} \times \mathbf {T} ')\quad {\text{realizing that }}\mathbf {T} \times \mathbf {T} =0\\\end{aligned}}$

然後我們計算 $|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|$.

${\begin{aligned}|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|&=|\mathbf {r} '|^{2}|\mathbf {T} \times \mathbf {T} '|\quad {\text{substitution}}\\&=|\mathbf {r} '|^{2}|\mathbf {T} ||\mathbf {T} '|\sin \theta \quad {\text{the magnitude for the cross product}}\\&=|\mathbf {r} '|^{2}|\mathbf {T} '|\quad {\text{when you realize }}|\mathbf {T} |=1{\text{ and }}\mathbf {T} \perp \mathbf {T} '\\\end{aligned}}$

我們將方程重新排列成

$|\mathbf {T} '|={\frac {|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|}{|\mathbf {r} '|^{2}}}$

由於 $\kappa ={\frac {|\mathbf {T} '|}{|\mathbf {r} '|}}$, 我們可以用 ${\frac {|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|}{|\mathbf {r} '|^{2}}}$ 代替 $|\mathbf {T} '|$ 並得到：$\kappa ={\frac {|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|}{|\mathbf {r} '|^{3}}}$

以下是關於計算曲率的方法的小結。

定義	關於 $\mathbf {t}$ 的引數化	根據 $\mathbf {r} (t)$ 及其導數
$\kappa ={\biggl |}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}{\biggr |}$	$\kappa ={\frac {|\mathbf {T} '|}{|\mathbf {r} '|}}$	$\kappa ={\frac {|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|}{|\mathbf {r} '|^{3}}}$

空間運動

速度和加速度

請記住，在二維微積分中，我們提到，位移函式為 $f(x)$ 的粒子，其速度為 $f'(x)$，加速度為 $f''(x)$。在向量函式中，定義基本相同。假設一個粒子在空間中移動，使其在時間 $t$ 的位置向量為 $\mathbf {r} (t)$，其速度函式和加速度函式為

$\mathbf {v} (t)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}=\mathbf {r} '(t)\quad$ 和 $\quad \mathbf {a} (t)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {v} (t+h)-\mathbf {v} (t)}{h}}=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {r} ''(t)$

簡而言之： $\mathbf {r} ''(t)=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {a} (t)$。

粒子的速度不考慮方向。它是速度向量的幅度：$|\mathbf {v} (t)|$。粒子從 $t=a{\text{ to }}b$ 行進的距離為 $\int _{a}^{b}|\mathbf {v} (t)|dt$，這也是弧長的公式。

藉助微積分基本定理，我們可以推匯出粒子的速度函式和位置函式，前提是我們知道粒子的加速度。

$\mathbf {v} (t)=\mathbf {v} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {a} (u)du\quad$ 和 $\quad \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {v} (u)du$

切向加速度和法向加速度

我們可以將加速度向量分成兩個分量：切向加速度 $a_{T}$ 和法向加速度 $a_{N}$。切向加速度與單位切向量方向相同 ($\mathbf {T}$)，法向加速度與單位法向量方向相同 ($\mathbf {N}$)。由於 $\mathbf {T}$ 和 $\mathbf {N}$ 都是單位向量，加速度向量可以寫成兩個向量的和

$\mathbf {a} =a_{T}\mathbf {T} +a_{N}\mathbf {N}$

我們的目標是弄清楚如何描述這兩個分量。

回想一下 $\mathbf {T} ={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}$，因此

$\mathbf {v} =|\mathbf {v} |\mathbf {T}$

現在我們對等式的兩邊求導，

${\begin{aligned}\mathbf {v} '&={\bigl (}|\mathbf {v} |\mathbf {T} {\bigr )}'\\&=|\mathbf {v} |'\mathbf {T} +|\mathbf {v} |\mathbf {T} '\\\end{aligned}}$

所以我們得到 $\mathbf {a} =|\mathbf {v} |'\mathbf {T} +|\mathbf {v} |\mathbf {T} '$.

回想一下 $\kappa ={\frac {{\big |}\mathbf {T} '{\big |}}{{\big |}\mathbf {r} '{\big |}}}={\frac {{\big |}\mathbf {T} '{\big |}}{{\big |}\mathbf {v} {\big |}}}$，因此 ${\big |}\mathbf {T} '{\big |}=\kappa |\mathbf {v} |$.

回想一下 $\mathbf {N} ={\frac {\mathbf {T} '}{{\big |}\mathbf {T} '{\big |}}}$，因此 $\mathbf {T} '={\big |}\mathbf {T} '{\big |}\mathbf {N} =\kappa |\mathbf {v} |\mathbf {N}$.

我們用 $\mathbf {T} '$ 替換 $\kappa |\mathbf {v} |\mathbf {N}$ 以得到：$\mathbf {a} =|\mathbf {v} |'\mathbf {T} +\kappa |\mathbf {v} |^{2}\mathbf {N}$

這留下了我們

$a_{T}=|\mathbf {v} |'\quad$ 以及 $\quad a_{N}=\kappa |\mathbf {v} |^{2}$

$\blacksquare$

當然，如果這些分量可以用 $\mathbf {r} (t)$ 及其導數表示，會更加方便。假設 $\theta$ 是 $\mathbf {T}$ 與 $\mathbf {a}$ 之間的角度，那麼我們可以這樣寫 $a_{T},a_{N}$

${\begin{aligned}a_{T}&=|\mathbf {a} (t)|\cos \theta \\&={\frac {|\mathbf {v} (t)||\mathbf {a} (t)|\cos \theta }{|\mathbf {v} (t)|}}\quad {\text{algebraic manipulation}}\\&={\frac {\mathbf {v} (t)\cdot \mathbf {a} (t)}{|\mathbf {v} (t)|}}\quad {\text{dot product}}\\&={\frac {\mathbf {r} '(t)\cdot \mathbf {r} ''(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\quad {\text{in terms of }}\mathbf {r} (t){\text{ and its derivatives}}\\\end{aligned}}$${\begin{aligned}a_{N}&=|\mathbf {a} (t)|\sin \theta \\&={\frac {|\mathbf {v} (t)||\mathbf {a} (t)|\sin \theta }{|\mathbf {v} (t)|}}\quad {\text{algebraic manipulation}}\\&={\frac {|\mathbf {v} (t)\times \mathbf {a} (t)|}{|\mathbf {v} (t)|}}\quad {\text{cross product}}\\&={\frac {|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)|}{|\mathbf {r} '(t)|}}\quad {\text{in terms of }}\mathbf {r} (t){\text{ and its derivatives}}\\\end{aligned}}$

$\blacksquare$

總結一下

$a_{T}=|\mathbf {v} |'={\frac {\mathbf {r} '(t)\cdot \mathbf {r} ''(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\quad$ 和 $\quad a_{N}=\kappa |\mathbf {v} |^{2}={\frac {|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)|}{|\mathbf {r} '(t)|}}$

擴充套件

我們只討論了包含三個變數的向量函式 $\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$。 那如何將我們對向量函式的理解擴充套件到 $n$ 個變數？ 假設我們有一條向量函式為

$\mathbf {r} (t)={\begin{pmatrix}f_{1}(t)\\f_{2}(t)\\\vdots \\f_{n}(t)\\\end{pmatrix}}$

極限

向量函式的極限定義為

$\lim _{t\rightarrow c}\mathbf {r} (t)={\begin{pmatrix}\lim _{t\rightarrow c}f_{1}(t)\\\lim _{t\rightarrow c}f_{2}(t)\\\vdots \\\lim _{t\rightarrow c}f_{n}(t)\\\end{pmatrix}}$

微分和積分

向量函式的導數定義為

$\mathbf {r} '(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t+\Delta t)-\mathbf {r} (t)}{\Delta t}}$， 因此 $\quad \mathbf {r} '(t)={\begin{pmatrix}f_{1}'(t)\\f_{2}'(t)\\\vdots \\f_{n}'(t)\\\end{pmatrix}}$

所有微分規則都適用。

我們可以將積分擴充套件到

$\int \mathbf {r} (t)dt={\begin{pmatrix}\int f_{1}(t)dt\\\int f_{2}(t)dt\\\vdots \\\int f_{n}(t)dt\\\end{pmatrix}}+\mathbf {C}$

那麼，弧長將變為

$L=\int _{a}^{b}|\mathbf {r} '(t)|dt\quad$或 $\quad L=\int _{a}^{b}{\sqrt {[f_{1}'(t)]^{2}+[f_{2}'(t)]^{2}+\cdots +[f_{n}'(t)]^{2}}}dt$