微積分/序列

序列是指按一定順序排列的物件（或事件）列表。類似於集合，它包含成員（也稱為元素或項），項的數量（可能是無限的）稱為序列的長度。與集合不同，順序很重要，並且完全相同的元素可以在序列的不同位置出現多次。

例如，(C, R, Y) 是一個字母序列，它與 (Y, C, R) 不同，因為順序很重要。序列可以是有限的，如本例所示，也可以是無限的，例如所有偶正整數的序列 (2, 4, 6, ...)。

一個無限實數序列（藍色）。該序列既不遞增，也不遞減，也不收斂。但是它是有限制的。

示例和符號

在數學中，存在各種各樣且截然不同的序列概念，其中一些（例如，精確序列）不在下面介紹的符號中。

一個序列可以用 (a₁, a₂, ...) 表示。為了簡潔起見，也使用符號 (a_n)。

有限序列的更正式定義是在集合 S 中的項，是一個從 {1, 2, ..., n} 到 S 的函式，其中 n ≥ 0。S 中的無限序列是從 {1, 2, ...}（自然數集，不包括 0）到 S 的函式。

序列也可以從 0 開始，因此序列中的第一項是 a₀。

有限序列也稱為 n 元組。有限序列包括空序列 ( )，它沒有元素。

從所有整數到集合的函式有時被稱為雙無限序列，因為它可以被認為是由負整數索引的序列嫁接到由正整數索引的序列上。

序列 $a_{n}\ =\ {\frac {1}{n}}$ 稱為調和序列。

如果 c 和 d 是給定的數字，那麼序列 $a_{n}\ =\ c+nd$  是一個等差數列。

如果 b 和 r ≠ 0 是給定的，那麼序列 $a_{n}\ =\ br^{n}$  是一個等比數列。

序列的型別和性質

給定序列的子序列是指透過刪除一些元素（如引言中所述，這些元素也可以稱為“項”），而不改變剩餘元素的相對位置，從給定序列形成的序列。

如果序列的項是某個有序集合的子集，則單調遞增序列是指每個項都大於或等於它前面的項的序列；如果每個項都嚴格大於它前面的項，則該序列稱為嚴格單調遞增。單調遞減序列的定義類似。滿足單調性性質的任何序列都稱為單調的或單調的。這是更一般的單調函式概念的一個特例。既遞增又遞減（在序列的不同位置）的序列被稱為非單調的或非單調的。

術語非遞減和非遞增通常用於避免與嚴格遞增和嚴格遞減的任何可能的混淆。如果序列的項是整數，則該序列是整數序列。如果序列的項是多項式，則該序列是多項式序列。

如果 S 被賦予一個拓撲（例如，與實數一樣），那麼就可以考慮 S 中無限序列的收斂。這些考慮涉及序列極限的概念。

可以證明，有界單調序列必須收斂。

分析中的序列

在分析中，當談到序列時，通常會考慮以下形式的序列

$(x_{1},x_{2},x_{3},...)\,$ 或 $(x_{0},x_{1},x_{2},...)\,$

也就是說，由自然數索引的無限序列元素。（讓序列從 1 或 0 以外的索引開始可能很方便。例如，由 x_n = 1/log(n) 定義的序列僅在 n ≥ 2 時定義。當談論這些無限序列時，通常足夠（並且對於大多數考慮因素而言沒有太大區別）假設序列的成員至少在所有足夠大的索引處定義，也就是說，大於某個給定的 N。）

最基本型別的序列是數字序列，即實數或複數序列。