微積分/發散檢驗

發散檢驗

發散檢驗是最容易使用的無限級數檢驗，但學生可能會因錯誤使用而感到困惑。在本頁中，我們將解釋如何使用它以及如何避免與該檢驗相關的最常見陷阱之一。
發散檢驗也稱為第 n 項檢驗。

發散檢驗定義

如果 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\neq 0}$，則 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}$ 發散。

發散檢驗快速筆記

用於證明收斂性	否
用於證明發散性	是
可能是無結論的	是

如何使用發散檢驗

要使用發散檢驗，只需取極限 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}}$。如果此極限結果為非零，則級數發散，您就完成了。如果極限等於零，則該檢驗是無結論的，並且不會說明級數的任何資訊。它可能收斂也可能發散。您需要使用其他檢驗來確定收斂或發散。

需要注意的事項

發散檢驗似乎非常直接。基本上，此檢驗指出，對於一個級數 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}$，如果 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\neq 0}$，則該級數發散。非常簡單，是嗎？但是，有一個幾乎每個學生都會陷入的陷阱。

陷阱 - - 幾乎每個學生都有使用此定理來證明收斂性的傾向。該陳述沒有說明關於收斂性的任何資訊。讓我們給你一些例子來證明我們的意思。讓我們比較這兩個非常相似的級數的收斂或發散。（如果您還不知道關於p級數的知識，請相信我們關於收斂/發散結論的說法。您很快就會明白這一點。）

A	$\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$	$\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}$	發散	p級數，其中$p=1$
B	$\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$	$\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}}}=0}$	收斂	p級數，其中$p=2$

需要注意的是，兩種情況下，項的極限都趨於零。然而，級數A發散，而級數B收斂。（有關這兩個級數收斂/發散的證明，請參閱無窮級數-積分檢驗頁面中的影片。）

因此，您可以看到，僅僅因為極限趨於零，並不能保證級數收斂。只有當極限不趨於零時，才能應用此定理。這保證了發散。當極限趨於零時，您仍然不知道級數收斂還是發散。您需要使用其他檢驗來確定收斂性。

示例

確定以下級數是發散，還是發散檢驗無法確定。

示例1

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n}}$

因為$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n+1}{n}}=1$，極限不為零，因此根據發散檢驗，該級數發散。

示例2

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}$

因為$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}={\frac {1}{3}}$，極限不為零，因此根據發散檢驗，該級數發散。

示例3

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}$

因為$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}=0$，極限為零，因此檢驗無法確定。需要進一步分析才能確定級數收斂還是發散。