微積分/積分技巧/利用複數積分

此方法需要理解和識別複數。特別是尤拉公式

$\cos(\theta )+i\sin(\theta )=e^{\theta i}$

例如，識別實部

${\text{Re}}\left\{e^{\theta i}\right\}=\cos(\theta )$

給定一個一般形式的積分

$\int e^{x}\cos(2x)dx$

我們可以將其複數化

$\int {\text{Re}}{\Big \{}e^{x}{\big (}\cos(2x)+i\sin(2x){\big )}{\Big \}}dx$

$\int {\text{Re}}{\big \{}e^{x}(e^{2xi}){\big \}}dx$

根據指數的基本法則

$\int {\text{Re}}\{e^{x+2ix}\}dx$

可以證明，“實部”運算子可以移到積分符號之外

${\text{Re}}\left\{\int e^{x(1+2i)}dx\right\}$

積分很容易求解

${\text{Re}}\left\{{\frac {e^{x(1+2i)}}{1+2i}}\right\}$

用$1-2i$ 乘以和除以

${\text{Re}}\left\{{\frac {1-2i}{5}}e^{x(1+2i)}\right\}$

可以改寫為

${\text{Re}}\left\{{\frac {1-2i}{5}}e^{x}e^{2ix}\right\}$

應用尤拉公式

${\text{Re}}\left\{{\frac {1-2i}{5}}e^{x}{\big (}\cos(2x)+i\sin(2x){\big )}\right\}$

展開

${\text{Re}}\left\{{\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\cos(2x)+2\sin(2x){\big )}+i\cdot {\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\sin(2x)-2\cos(2x){\big )}\right\}$

取該表示式的實部

${\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\cos(2x)+2\sin(2x){\big )}$

所以

$\int e^{x}\cos(2x)dx={\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\cos(2x)+2\sin(2x){\big )}+C$