微積分/黎曼-達布積分、可積性判據、單調/利普希茨函式

積分

我們上次介紹了什麼

$L(f)=\sup _{P}L(P,f)$

$U(f)=\inf _{P}U(P,f)$

實際上被稱為下積分和上積分。只要它們所構建的函式滿足以下條件，則它們同時都是積分，即可積性的定義（但不是可積性判據）。

在 $[a,b]$ 上的有界函式 $f$ 是可積的，如果 $L(f)=U(f)$.

這就是積分的全部內容！

再次回到那個求和練習

這是一個快速的小問題，可能很簡單。這意味著什麼 $f(x)=x$ ?

可積性

正如我們之前定義的，我們可以透過注意到 $U(f)=L(f)$ 來證明一個函式或一類函式的可積性。

然而，有一個更有用的方法來證明一個函式或一類函式是可積的。這就是被稱為可積性判據的定理。

在 $[a,b]$ 上的有界函式 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 在 $[a,b]$ 上是可積的，當且僅當對於所有 $\varepsilon >0$，存在 $[a,b]$ 的一個劃分 $P$，使得 $U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$

你會注意到它具有與極限定義類似的性質。

由於這是必要性的證明，假設 $f$ 在 $[a,b]$ 上可積。令 $\varepsilon >0$ 為任意給定的正數，並令 $I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ 。同樣地， $I=\inf _{Q}U(Q,f)=\sup _{R}L(R,f)$ 。現在根據近似性質，存在一個劃分 $Q$ 使得 $U(Q,f)<I+{\tfrac {\varepsilon }{2}}$ ，以及一個劃分 $R$ 使得 $L(R,f)>I-{\tfrac {\varepsilon }{2}}$ 。如果我們取精化 $P=Q\sup R$ 並應用之前證明的精化性質

$U(P,f)<I+{\frac {\varepsilon }{2}}$

和

$L(P,f)>I-{\frac {\varepsilon }{2}}$

我們可以將它轉化為

$U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$

現在，為了完成這個雙條件式的證明...

可積性準則證明

你做吧。如果對於所有$\varepsilon >0$，存在$P$ 的$[a,b]$ 分割，使得 $U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$，那麼$f$ 在$[a,b]$ 上可積。

一些提示：證明它意味著$U(f)-L(f)<\varepsilon$ 對於所有$\varepsilon >0$，然後證明只有當$U(f)=L(f)$ 時才成立。