變分法/第一章

第一章：變分法主要問題的介紹。

• 1 變分法與極值理論之間的聯絡。

問題 I. 圍繞給定軸旋轉時，生成最小表面積的曲線。

• 2,3,4 用極值方法解決此問題。
• 5,6 變分法與極值理論的區別。
• 7 座標 $x$, $y$ 表示為引數 $t$ 的函式。以引數 $t$ 形式描述的 問題 I。
• 8,9 問題 II. 最速降線。
• 10 問題 III. 給定曲面上的最短線。
• 11 以引數 $t$ 形式描述問題的優勢。
• 12 問題 IV. 最小阻力的旋轉曲面。
• 13 一般問題的陳述。
• 14 端點的變化。
• 15 問題 V. 等周問題。
• 16 問題 VI. 重心最低的曲線。
• 17 相對極值中一般問題的陳述。
• 18 可能做出的概括。
• 19 曲線的變分。最大值和最小值的解析定義。鄰近曲線。
• 20 一般問題的另一種陳述。
• 21 最大值或最小值預設存在的不允許性。
• 問題

第 1 條.
在微積分，以及部分積分學被推匯出來的時候，提出了一些問題，這些問題雖然不屬於極值理論的範疇，但與該理論的問題有著明顯的相似之處，而且通常可以用屬於該理論的方法來解決。以下是其中第一個被提出的問題。

問題 I. 給定兩點 $P_{0}$ 和 $P_{1}$，其座標分別為 $(x_{0},y_{0})$ 和 $(x_{1},y_{1})$。這兩點都在 $X$ 軸的同一側的平面上 -$xy$（包括 $X$ 軸）。要求用一條位於 $xy$ 平面（包括 $X$ 軸）上半部分的曲線連線 $P_{0}$ 和 $P_{1}$，使得當平面繞 $X$ 軸旋轉一圈時，該曲線生成的旋轉曲面具有最小的表面積。

我們可以用這個問題來說明變分法與極值理論之間的聯絡；同時，這兩種理論之間的區別也顯而易見。

第 2 條.
如果我們嘗試用極值理論的方法來解決上一條中的問題，我們必須按以下步驟進行。

假設可以在 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 之間繪製一條曲線，滿足問題要求。那麼這條曲線的每一部分，無論多麼小，都必須具有產生最小面積表面的性質。因為，假設在曲線的任意一部分進行改變，無論多麼小，並且讓曲線的其餘部分保持不變。如果透過這種改變，由曲線這部分產生的表面積比以前小，那麼包含變形部分的曲線產生的表面積小於原始曲線。此外，如果對於 $x$ 的一個值對應於 $y$ 的多個值，那麼，而不是取屬於相同橫座標的曲線部分，我們可以取連線這兩個點的直線。這條直線產生的表面積小於透過相同兩點的曲線產生的表面積。因此，曲線將產生一個沒有最小面積的表面。因此，我們可以將曲線視為被分成幾部分，使得這些部分在 $X$ 軸上的投影都相等。

第三條.
在上述假設的基礎上，我們假設在曲線上取兩點 $P'(x',y')$ 和 $P''(x'',y'')$，並在曲線上找到另一個點 $P(x,y)$，使得 $x-x'=x''-x=\Delta x$。我們假設用直線將 $P$ 和 $P'$，$P$ 和 $P''$ 連線起來，然後假設這些直線彼此靠得很近，以至於它們從直線過渡到曲線。假設在 $P'$ 左側和 $P''$ 右側的曲線其餘部分保持不變。

直線 $P'P$ 和 $PP''$ 產生的表面積部分為

$\pi (y'+y){\sqrt {(\Delta x)^{2}+(y-y')^{2}}}$ 和 $\pi (y+y''){\sqrt {(\Delta x)^{2}+(y''-y)^{2}}}$

為了使這兩個表示式相加後對y求導的和為零，即最小值，

$\pi {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(y-y')^{2}}}+\pi {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(y''-y)^{2}}}+{\frac {\pi (y'+y)(y-y')}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(y-y')^{2}}}}-{\frac {\pi (y+y'')(y''-y)}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(y''-y)^{2}}}}=0\qquad {\text{[A]}}$

量 $y$ 可以從這個等式中作為 $x$ 的函式確定，因此，假設 $y=f(x)$。因此我們有 $y'=f(x-\Delta x)$ 和 $y''=f(x+\Delta x)$。因此，根據泰勒定理，

$y'=f(x-\Delta x)=f(x)-f'(x)\Delta x+{\frac {1}{2}}f''(x)(\Delta x)^{2}-\cdots$

$y''=f(x+\Delta x)=f(x)+f'(x)\Delta x+{\frac {1}{2}}f''(x)(\Delta x)^{2}+\cdots$

因此，

$y-y'=f'(x)\Delta x-{\frac {1}{2}}f''(x)(\Delta x)^{2}+\cdots$

$y''-y=f'(x)\Delta x+{\frac {1}{2}}f''(x)(\Delta x)^{2}+\cdots$

將這些值代入[A]中，忽略因子 $\pi$，

$\Delta x{\sqrt {1+f'(x)^{2}-f'(x)f''(x)\Delta x+\cdots }}+\Delta x{\sqrt {1+f'(x)^{2}+f'(x)f''(x)\Delta x+\cdots }}$

$+{\frac {[2f(x)-f'(x)\Delta x+\cdots ][f'(x)\Delta x-{\frac {1}{2}}f''(x)\Delta x+\cdots ]}{\Delta x{\sqrt {1+f'(x)^{2}-f'(x)f''(x)\Delta x+\cdots }}}}+{\frac {[2f(x)+f'(x)\Delta x+\cdots ][f'(x)\Delta x+{\frac {1}{2}}f''(x)\Delta x+\cdots ]}{\Delta x{\sqrt {1+f'(x)^{2}+f'(x)f''(x)\Delta x+\cdots }}}}=0$

將此表示式按 $\Delta x$ 的升冪展開，併除以 $\Delta x$，然後令 $\Delta x=0$。然後我們有

$1+f'(x)^{2}-f(x)f''(x)=0$;

或者

$1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}-y{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}=0\qquad {\text{[B]}}$

因此，為了使 $f(x)$ 或 $y$ 具有最小值，它必須滿足這個微分方程；但是，當 $y$ 滿足這個微分方程時，並不總是存在最小值，這將在後面說明。

換句話說，微分方程 [B] 是旋轉最小曲面的假設存在性的必要結果。但是，作為一個條件，它不足以保證存在一條曲線來生成這樣的曲面。

對方程 [B] 關於 $x$ 求導，我們有

${\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\cdot {\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}=y{\frac {{\text{d}}^{3}y}{{\text{d}}x^{3}}}$,

或者

${\frac {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}{y}}={\frac {{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}\right)}{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}}$.

積分後，我們有

$y=c^{2}{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}$

其中 $c^{2}$ 是積分常數。由於 $y=e^{\frac {x}{c}}$ 和 $y=e^{-{\frac {x}{c}}}$ 是這個微分方程的兩個解，通解為

$y=c_{1}e^{\frac {x}{c}}+c_{2}e^{-{\frac {x}{c}}}$,

其中 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是常數。這個最後一個方程是懸鏈線的方程。

第四條.
因此，藉助極值理論，我們確實得到了某個結果；但另一方面，我們還需要問這個曲線是否真的給出了最小值；由於我們得出結論的方式，我們還需要看看這個曲線是否只是在某一段範圍內或者在其整個範圍內都具有問題中所要求的性質。

我們堅持最後陳述的合理性可以從下面的內容中看出，後面將證明上面找到的曲線僅在給定的範圍內滿足所要求的條件。

一個簡單的考慮表明，我們上面所遵循的方法並不嚴謹；因為它預設了，這本身是不可接受的，即滿足問題的曲線在其整個範圍內都是規則的，否則，兩點 $(x-\Delta x,y')$ 和 $(x,y)$ 之間的曲線部分不能用連線這兩點的直線代替；同樣，泰勒定理的展開也不允許。

第五條.
極值問題和變分法問題的本質區別在於，在第一種情況下，我們只需要處理有限個離散點，而在變分法中，問題涉及的是連續的一系列點。

如果我們希望用折線代替曲線，然後對摺線應用類似於上面使用的那些方法，那麼就會發現，在我們找到滿足所有條件的折線之後，還需要證明從折線到曲線的必要極限轉換實際上導致滿足問題條件的確定曲線。

第六條.
任何極限轉換，例如從多邊形到曲線，如果我們使用積分的概念，它本身就會完成，因為積分表示無限多個數量的和的極限值，這些數量按照一定的規律增加，從而數量本身也相應地變小。

因此，如果我們用以下公式定義曲線 $y=f(x)$ 的表面積，我們需要找到這個面積，則

$S=2\pi \int y~{\text{d}}s$,

或者

${\frac {S}{2\pi }}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x$,

那麼，對於在 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 之間繪製的每條曲線，此積分都將具有確定的值，因此問題可以表述如下。

問題 I. $y$ 應該如何確定為 $x$ 的函式，使得上述積分的值最小？

這個問題的解將在後面給出。上面給出的兩種方法是為了說明最大值與最小值理論和變分法之間的共同點，以及它們之間的區別。

在微積分中，給出了一個確定的函式，並尋找變數或變數（如果有多個變數）的特定值，使得函式取最大值或最小值；在變分法中，尋找一個函式，並給出一個表示式，該表示式以某種已知的方式依賴於該函式。我們考慮一個確定的積分，其中被積函式以某種已知的方式依賴於未知函式，並要求未知函式必須具有什麼形式，才能使確定積分取最大值或最小值。

我們只處理變數的實數值。

第七條.
如果 $t_{2}<t_{3}$ 且點 $P_{2}$ 對應於 $t_{2}$ 且 $P_{3}$ 對應於 $t_{3}$，則 $P_{3}$ 相對於 $P_{2}$ 被稱為後點；而 $P_{2}$ 相對於 $P_{3}$ 被稱為前點。

正如第 2 條所述，所需曲線的縱座標 $y$ 是橫座標 $x$ 的單值函式。通常情況下，我們無法預先知道某個縱座標是另一個縱座標的單值函式。龐加萊 已經證明，當兩個變數 $x$，$y$ 之間存在解析關係時，總是可以將這兩個變量表示為第三個變數 $t$ 的單值函式。這個變數唯一需要的性質是，當它遍歷兩個給定極限之間的所有值時，對應的點 $(x,y)$ 沿著曲線從起點到終點遍歷，並且對於更大的 $t$ 值，對應著曲線上更後面的點。

例如，假設 $z-x^{y}$，其中 $x$ 和 $y$ 是兩個獨立變數。那麼，根據這個方程，沒有辦法在不引入超越函式的情況下表達這兩個變數之間的依賴關係。但是，如果我們寫

$x=e^{t}$

那麼

$z=e^{yt}$

或者

$y={\frac {\log(z)}{t}}$

因此，$x$ 和 $y$ 是變數 $t$ 的單值函式。

如果我們在問題 I 的積分中引入這樣一個新的變數 $t$，這個積分就變成了

${\frac {S}{2\pi }}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}y{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}~{\text{d}}t$,

我們用 $x'$ 和 $y'$ 表示量 ${\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}$ 和 ${\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}$.

現在我們可以將問題 I 表述如下

量 $x$ 和 $y$ 需要被確定為引數 $t$ 的單值函式，以使上述積分的值儘可能小。

第 8 條.
為了學習變分法的基本性質，我們將接下來制定其他簡單的問題；然後，當我們尋求這些問題的普遍特徵時，我們將會自然而然地得到變分法需要解決的問題的更精確的陳述。

作為第二個問題，可以給出變分法中非常著名的一個問題，即 *最速降線* (最快下降的曲線)，可以表述如下

問題 II. 兩點 $A$ 和 $B$ 位於一個豎直平面內，點 $B$ 的位置低於點 $A$；需要在這兩點之間畫出一條曲線，使得一個在重力作用下並被限制在這條曲線上運動的質點，在給定的初速度下，從點 $A$ 運動到點 $B$ 所需的時間最短。

設質點的質量為1，其初速度為$\alpha$，重力加速度為$2g$，時間為$t$，點$A$和$B$的座標分別為$(0,0)$和$(a,b)$。設正$Y$軸方向為下落物體（由於重力）的方向，設正$X$軸方向為點$B$所在的邊。那麼，根據能量守恆定律，

$\left({\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right)^{2}=4gy+\alpha ^{2}$,

或者

${\text{d}}t={\frac {\sqrt {{\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}}}{\sqrt {4gy+\alpha ^{2}}}}={\frac {\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}{\sqrt {4gy+\alpha ^{2}}}}~{\text{d}}y$;

因此

$T=\int _{0}^{b}{\frac {\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}{\sqrt {4gy+\alpha ^{2}}}}~{\text{d}}y$.

我們的問題是：如何確定$x$關於$y$的函式，使得上述積分值最小？

關於上述積分中出現的根號的符號，很明顯，這些符號在運動開始時必須相同，可以取正號。從力學角度來看，曲線在開始時必須下降；因此，在運動開始時，$y$ 隨著 $t$ 的增加而增加，因此為正。由於 $4gy+\alpha ^{2}$ 始終為正量，等於 $\left({\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right)^{2}$，並且永遠不會消失，我們總是可以給 ${\sqrt {4gy+\alpha ^{2}}}$ 正號。同樣，在運動開始時，量 ${\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}$ 必須取正號，因為 ${\text{d}}t$ 始終代表時間的正增量。然而，在運動的後續過程中，可能會發生 ${\text{d}}y=0$。那麼量 ${\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}$ 會趨於無窮大，使得 ${\text{d}}y$ 和 ${\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}$ 可以同時改變它們的符號，而 ${\sqrt {4gy+\alpha ^{2}}}$ 繼續保持正號。

第 9 條.
問題陳述中假設 $B$ 必須位於 $A$ 下方，這一點並不重要。因為質點在 $B$ 具有特定的速度 $\beta$，我們可以根據初始速度 $\alpha$ 和 $A$ 相對於 $B$ 的高度計算出來。當質點以該速度到達 $B$ 時，它可以再次上升，當它到達 $B$ 另一側的高度 $A$ 時，它將具有初始速度。如果我們假設上升所經過的曲線與下降所經過的曲線對稱，那麼上升所需的時間與下降所需的時間相同。

因此，如果質點從 $B$ 開始運動，我們可以根據 $\beta$（現在是初始速度）計算出點 $A$ 的速度 $\alpha$。如果我們尋找的是初始速度為 $\beta$ 的質點在最短時間內到達 $A$ 所經過的曲線，那麼我們就得到了問題的答案。

就當前問題而言，從物理角度來看，我們看到$y$ 是 $x$ 的單值函式。由於這在所有情況下都不可能，因此方便起見，此處也用兩個方程表示曲線；也就是說，將 $x$ 和 $t$ 視為第三個變數 $t$ 的單值函式，其中 $t$ 僅受一個條件的約束，即當它遍歷兩個給定極限之間的所有值時，相應的點 $x$，$y$ 沿著曲線從起點移動到終點，並且以這樣一種方式，即 $t$ 的更大值對應於曲線上較後的點。

上述積分變為

$T=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}{\sqrt {4gy+\alpha ^{2}}}}~{\text{d}}t$,

其中我們用 $x'$ 和 $y'$ 分別表示 ${\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}$ 和 ${\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}$。

那麼，我們的問題是：*確定 $x$ 和 $y$ 作為引數 $t$ 的函式，使剛剛寫出的積分具有儘可能小的值。*

第 10 條.
問題 III。*在規則曲面 $f(x,y,z)=0$ 上的兩點之間，需要繪製一條曲線，使它的長度最小。*

考慮一個表面，它可以用兩個引數 $u$ 和 $v$ 的單值正則函式 表示的正交座標 $x$，$y$，$z$。如果我們把這些座標看作平面上一個點的直角座標，那麼表面上的每個點都將對應於 $uv$ 平面上一個確定的點，而這些點集合起來將在平面上構成一個確定的區域，可以把它看作是表面在平面上的投影。表面上的每一條曲線在這個 $uv$ 平面的區域中都對應一條曲線，反之亦然。

此外，把 $u$ 和 $v$ 看作一個量 $t$ 的單值函式；因此，對於每個 $t$ 值，都對應於 $uv$ 平面上一個點，因此，如果這個點位於 $uv$ 平面的確定區域中，那麼它對應於表面上一個確定的點。

因此，如果 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 是對應於表面上兩個固定點的 $t$ 值，那麼在這兩個點之間任何曲線的長度可以透過以下公式確定：

$L=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {P\left({\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+2Q{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\cdot {\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}+R\left({\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}\right)^{2}}}~{\text{d}}t$,

其中

$P=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)^{2}$,

$Q={\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial y}{\partial u}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}$,

$R=\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)^{2}$.

然後，我們要確定 $u$ 和 $v$ 作為 $t$ 的函式，使得 $L$ 為最小值。

第11條.
對於上述問題，需要應用此處給出的表示方法，而在問題 I 和問題 II 中，將$x$ 和 $y$ 表達為 $t$ 的單值函式可以被認為是方便的。在問題 III 中，變數 $u$ 和 $v$ 必須被認為是第三個變數的函式。我們不能將 $v$ 視為 $u$ 的函式，因為我們對曲線的軌跡一無所知。如果我們想將 $v$ 僅僅視為 $u$ 的雙值函式，我們仍然會遇到許多困難。因此，必須要求 $u$ 和 $v$ 被確定為 $t$ 的單值函式，使得上一篇文章中的積分取最小值。

第 12 條.
問題 IV. 求旋轉曲面的形狀，該曲面繞一個固定方向的軸旋轉，並在液體中沿軸方向運動時阻力最小，假設曲面元素的阻力與其法線方向的速度分量的平方成正比。

這個問題是牛頓提出的。

假設可以忽略物體與流體之間的摩擦以及流體內部的摩擦。

令 $Y$ 軸為旋轉軸，${\text{d}}s$ 為母線的元素，$\theta$ 為法線與 $Y$ 軸之間的夾角，使得 ${\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}=\cos(\theta )$。

因此，曲面的一段區域由下式給出

$2\pi x{\text{d}}s={\sqrt {2\pi x{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}~{\text{d}}t$.

法線方向的速度分量為 $v\cos(\theta )$，該區域在法線方向的阻力為

$v^{2}\cos ^{2}(\theta )2\pi x{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}~{\text{d}}t$.

將這個數量乘以 $\cos(\theta )$，即可得到沿 $Y$ 軸方向的阻力。因此，我們可以用積分來表示物體的所需阻力。

${\frac {R}{2\pi v^{2}}}=\int {\frac {xx'^{3}}{x'^{2}+y'^{2}}}~{\text{d}}t$.

我們的問題是，用一條曲線連線兩點 $P_{1}$ 和 $P_{2}$，使得它繞 $Y$ 軸旋轉產生的區域阻力最小。忽略常數因子 ${\displaystyle }$2\pi v^{2}，我們需要確定 $x$ 和 $y$ 作為 $t$ 的單值函式，使得積分

$R=\int {\frac {xx'^{3}}{x'^{2}+y'^{2}}}~{\text{d}}t$

為最小值。

第 13 條.
上述四個問題的共同點在於確定 $x$ 和 $y$ 作為量 $t$ 的單值函式，使得一個依賴於它們的積分形式為

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$

將具有最小可能的值。這裡$t_{0}$ 和 $t_{1}$ 具有固定值，使得相應的座標 $x$，$t$ 曲線的起點和終點應該是已知的。

$F(x,y,x',y')$ 表示四個引數 $x$，$t$，$x'$，$y'$ 的單值正則函式，其中 $x'$ 和 $y'$（因為它們代表曲線的切線方向）被認為是無限制的，而點 $x$，$y$ 的區域可能是整個平面，也可能只是它的一個連續部分。

第十四條.
條件$t_{0}$，$t_{1}$ 應該具有固定值並不重要；此外，兩個端點都可以移動，就像第三個問題的例子，如果我們給它以下形式： *在曲面上給定兩條曲線；在一條曲線上的點和另一條曲線上的點之間所有可能的曲線中，找到長度最短的曲線。* 我們習慣稱之為兩條曲線的測地距離。

為了解決這個問題，我們必須首先解決特殊的第三問題，因為，如果一條曲線具有如上所述的最小長度的屬性，那麼當我們將端點固定時，它也必須保留相同的屬性。因此，從 III 中可以確定曲線的性質。端點的變化此外還給出了一些曲線必須具有的特殊屬性。

例如，位於同一平面上的兩條曲線之間的最短距離顯然是一條直線；透過端點的變化，可以得出這條直線必須同時垂直於兩條曲線。

第十五條.
與前面給出的四個問題本質上不同的問題是以下問題

第五問題。*需要繪製一條閉合曲線，該曲線在給定周長的情況下，能夠包含最大的面積。*

令 $x$ 和 $y$ 是 $t$ 的單值函式，例如 $x(t)$ 和 $y(t)$，使得對於 $t$ 的兩個確定值 $t_{0}$ 和 $t_{1}$，曲線上的對應點 $x$，$y$ 重合，並且如果 $t$ 從較小的值 $t_{0}$ 增加到較大的值 $t_{1}$，點 $x$，$y$ 沿著正方向完全遍歷了曲線。那麼曲線所包含的曲面的兩倍面積由積分表示為

$I^{(0)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(xy'-yx')~{\text{d}}t$,

而曲線的周長由積分給出

$I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}~{\text{d}}t$.

那麼，我們的問題是：*確定$x$和$y$作為$t$的單值函式，使得$I^{(0)}$的值最大，同時$I^{(1)}$具有給定的值。*

第16條.
問題VI：*一根無限薄、絕對柔韌但不可伸展的線段，兩端固定，在僅受重力作用下，會呈現什麼樣的形狀？*

這個問題具有最小值的特點，因為在穩定平衡狀態下，重心必須儘可能低。如果將$Y$-軸取為豎直向上方向，並且如果用$S$表示曲線的長度，並且用$\xi$，$\eta$表示重心的座標，則$\eta$由以下方程確定

$\eta S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}y{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}~{\text{d}}t$,

其中

$S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}~{\text{d}}t$.

這個問題可以表述為：*變數${\displaystyle }$和${\displaystyle }$需要被確定為一個量$t$的單值函式，以使上述第一個積分取最小值，同時第二個積分保持一個給定的固定值。*

第17條.
問題 V 和 VI 通常歸類為 _相對極大值和極小值_，這個術語不需要進一步解釋。一般來說，它們包含在以下問題中：_令 $F^{(0)}(x,y,x',y')$ 和 $F^{(1)}(x,y,x',y')$ 是與第 13 節中函式 $F(x,y,x',y')$ 同一性質的兩個函式。要求確定 $x$ 和 $y$ 為數量 $t$ 的單值函式，使得積分_

$I^{(0)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(0)}(x,y,x',y')~{\text{d}}t$

具有極大值或極小值，同時積分_

$I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(1)}(x,y,x',y')~{\text{d}}t$

保持給定的值。

第 18 節.
在下文中，我們將給出我們認為是對已提出的問題的嚴格處理。讀者可以為自己提出自然擴充套件；例如，不是取兩個變數，而是考慮一個以 $n$ 個變數的函式作為被積函式的積分。此外，將這些變數置於輔助條件下，並允許變數相對於數量 $t$ 的二階和更高階導數進入討論。然後，導致極小曲面研究的二重積分可以透過變分方法處理（參見第 175 節以下）。

第 19 節.
我們可以透過引入一個基本概念 _曲線變分的概念_，以更普遍的方式定義變分法的物件。在過去，變分法被認為是分析中最難的分支之一。人們錯誤地認為，困難在於基本概念（尤其是曲線變分概念）的缺乏清晰度。出現的困難大多是其他方面的。

在極大值和極小值理論中，我們說，對於變數的某個確定值系統，如果該函式對於該值系統的值大於或小於它對於所有相鄰值系統的值，則該函式的值是極大值或極小值。

我們說^[6]一個變數的函式 $f(x)$ 在某個確定位置 $x=a$ 有一個最大值或最小值，如果這個值對於 $x=a$ 分別大於或小於 $x$ 的所有其他值，這些值位於 $|x-a|<\delta$ 的鄰域內，並且這個鄰域我們可以無限接近 $a$。

分析條件是 $f(x)$ 在位置 $x=a$

最大值，用 $f(x)-f(a)<0$ 表示，對於 $|x-a|<\delta$

最小值，用 $f(x)-f(a)>0$ 表示，對於 $|x-a|<\delta$

同樣，我們說一個 $n$ 個變數的函式 $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 在某個確定位置 $x_{1}=a_{1},x_{2}=a_{2},\ldots ,x_{n}=a_{n}$ 有一個最大值或最小值，如果這個值對於 $x_{1}=a_{1},x_{2}=a_{2},\ldots ,x_{n}=a_{n}$ 分別大於或小於所有其他位於鄰域 $|x_{\lambda }-a_{\lambda }|<\delta _{\lambda }~(\lambda -1,2,\ldots ,n)$ 內的值，並且這個鄰域我們可以無限接近第一個位置。

就像我們在這裡談論的是一個相鄰的值系統，同樣我們在變分法中談論的是位於給定曲線鄰域內的曲線。我們要求在最小值情況下，積分在給定曲線上取值應該小於，而在最大值情況下，積分在給定曲線上取值應該大於在任何相鄰曲線上的取值。

為了確定相鄰曲線的概念，並使之與相鄰值系的觀念類比清晰，讓我們首先考慮一條折線 A-$A_{1}A_{2}A_{3}\ldots A_{n}$，而不是給定的曲線，並讓它從其原始位置稍微滑動。

然後在新位置，每個角點 $B_{k}$ 將對應於舊位置中的一個確定角點 $A_{k}$，而且新位置 $B_{1}B_{2}B_{3}\ldots B_{n}$ 將與舊位置 $A_{1}A_{2}A_{3}\ldots A_{n}$ 的差異儘可能小，如果我們規定任何兩個對應點 $A_{k}$ 和 $V_{k}$ 之間的距離應小於任何數量 $\delta$，其中 $\delta$ 儘可能小。現在，透過增加邊數，讓折線過渡到給定的曲線；然後，點 $B_{1}B_{2}B_{3}\ldots B_{n}$ 也會形成一條曲線，它與第一條曲線相差很小，因此我們稱之為第一條曲線的 *相鄰曲線*。

因此，我們可以說一條曲線 *與* 另一條曲線 *相鄰*，或者透過一個 *變化* 從另一條曲線中產生，這個變化可以任意小，如果後一條曲線上的每個點都對應於前一條曲線上的一個確定點，而且任何兩個對應點之間的距離都小於 $\delta$，其中 $\delta$ 可以任意小。

相鄰曲線的幾何概念並不模糊。同樣，很容易看出，對於曲線的每一個變化，積分

$\int F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$,

也會發生相應的變化，當第二條曲線與第一條曲線相鄰時，這種變化將無限小。

當然，如果積分要取最大值，那麼積分值的這種變化必須是 *連續的、負的*；如果積分要取最小值，那麼積分值的這種變化必須是 *連續的、正的*。

第 20 條.
觀察上面所說，我們可以將第 13 和 17 條的問題表述如下

變數 $x$ 和 $y$ 應被確定為量 $t$ 的單值函式，以使當我們用方程 $x=x(t)$，$y=y(t)$ 定義曲線時，並使曲線儘可能地發生變化，積分中產生的變化

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$

必須是連續正數，如果要進入最小值，並且是連續負數，如果我們要求最大值。

在相對極大值和極小值的情況下，對於曲線的任何無限小的變化，積分

$I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(1)}(x,y,x',y')~{\text{d}}t$

保持其值不變，積分

$I^{(0)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(0)}(x,y,x',y')~{\text{d}}t$

根據是出現最大值還是最小值，必須始終小於或始終大於由方程 $x=x(t)$，$y=y(t)$ 給出的曲線。

第 21 條.
我們必須尋求嚴格的方法來解決上述問題。雅可比和較早的數學家，伯努利及其同時代，牛頓和萊布尼茨所採用的解決這些問題的方法，僅僅導致了某些微分方程的形成，在有利的情況下，導致了這些方程的積分。但這些方法不足以確定性地確定所找到的曲線實際上是否具有所要求的性質。

我們知道，在普通極大值和極小值理論的問題中，並不總是需要存在極大值或極小值 肯定的是，任何變數在一個變數有意義的區域內都有一個上限和一個下限。因此，存在一個極限 $l$ 使得變數可以取的所有值都大於 $l$，並且在 $l$ 的鄰域中，變數都可以取值。我們將 $l$ 稱為變數的下限。同樣，也存在一個上限。這些極限並不總是能達到。因此，有兩種情況可能發生：變數可以實際上達到表示為上限和下限的值，或者變數只能無限接近而永遠無法達到這些極限。因此，假設存在極大值或極小值是不可取的。例如，上面提到的牛頓問題沒有解，在第一個問題中，有時存在最小值，有時不存在最小值。

問題.

建議學生選擇以下兩個或三個問題，並採用與對已提出的六個問題所做相同的解題方法。

1. 最小作用原理。求積分

$u=\int {\sqrt {(x+a)(1+p^{2})}}~{\text{d}}x$

當$x$ 和 $p={\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}$ 的極限值固定，並確定在什麼條件下，拋物線實際上是該問題的解。這個問題也可以這樣表述：確定一個粒子的路徑，使得其作用 $\int v{\text{d}}s$ 在固定點之間最小，如果粒子在任何一點的速度 $v$ 是由於從直線 $x+a=0$（$X$ 軸垂直向下）自由下落產生的。[見 Todhunter，變分法的研究，第 147 頁；另見數學季刊，1868 年 11 月] 這裡的不連續性與我們在問題 I（第 1 頁）中發現的不連續性非常相似。

2. 行星橢圓運動的最小作用原理。一個粒子從給定點以給定速度被髮射，並受到固定點的吸引，吸引力與距離的平方成反比。確定到第二個固定點的最小作用路徑。[見 Todhunter，研究等，第 160 頁；Todhunter，變分法的歷史，第 251 頁；Jellett，變分法，第 76 頁；Jacobi，Crelle，第 17 卷，第 68 頁；Liouville 的期刊，第三卷，第 44 頁；Delaunay，Liouville 的期刊，第六卷，第 209 頁。]

3. 確定使積分 $u=\int yx{\text{d}}x$ 達到最大值的曲線，其中變數的極限值已固定。[見 尤拉，求解最大最小線的方法，洛桑，1794，第 52 頁；Woodhouse，等周問題與變分法的論述，第 124 頁。]

4. 給定曲線的長度，確定其性質，當它繞固定軸旋轉產生的體積最大或最小。[見 尤拉，方法等，第 196 頁；Woodhouse，論述等，第 125 頁；Moigno et Lindelof，變分法，第 216 頁；Jellett，變分法，第 160 頁。]

5. 求繞固定軸旋轉時產生最大或最小體積的曲線，曲面的面積保持不變。[見 尤拉，方法等，第 194 頁；Moigno et Lindelof，變分法，第 218 頁；Delaunay，Liouville 的期刊，第六卷，第 315 頁；哲學雜誌，1866 年；Todhunter，研究等，第 68 頁；Jellett，變分法，第 161 頁及註釋，第 364 頁。]

6. 找到繞軸旋轉時生成最大體積固體的曲線，曲線的長度和麵積都已知。[見 Lacroix，微分積分，第二卷，第 713 頁；另請參閱上述參考文獻以瞭解此問題和後續問題。]

7. 找到當曲線長度已知時的最速降曲線。[見 約翰·伯努利著作，第二卷，第 255 頁；巴黎科學院回憶錄，1718 年，第 120 頁。]

8. 給定平面曲線，確定第二條長度已知的曲線，使得兩條曲線之間包圍的面積最大。

9. 在所有長度相同的曲線中，找到一條曲線，使其繞軸旋轉時生成最大或最小的表面積。

10. 求最大或最小化積分

$u=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\phi (x,y,z){\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}~{\text{d}}x$,

其中 $\phi$ 是變數 $x$、$y$、$z$ 的已知函式，它們由方程 $f(x,y,z)=0$ 聯絡，$f$ 是已知函式。

11. 找到空間中兩固定點之間長度最短的曲線，曲率半徑為常數。

12. 找到給定體積的均勻物體必須採取的形式，使其對一個特定方向上的物質點的吸引力最大。