變分法

變分法

本華夏公益教科書是哈里斯·漢考克在 1904 年撰寫的《變分法講義》（魏爾斯特拉斯理論）的轉錄版本。掃描的原文可以從康奈爾大學的這裡獲得。

內容

前言

第一章：變分法主要問題的提出。

• 1 變分法與極值理論之間的聯絡。

問題 I. 繞給定軸旋轉時產生最小表面積的曲線。

• 2,3,4 用極值方法解決這個問題。
• 5,6 變分法與極值理論的區別。
• 7 座標 $x$，$y$ 表示為引數 $t$ 的函式。用引數 $t$ 表達的問題 I。
• 8,9 問題 II. 最速降線。
• 10 問題 III. 給定曲面上的最短線。
• 11 用引數 $t$ 表達問題的優勢。
• 12 問題 IV. 最小阻力旋轉曲面。
• 13 問題的普遍陳述。
• 14 端點的變化。
• 15 問題 V. 等周問題。
• 16 問題 VI. 重心位置最低的曲線。
• 17 相對極值中一般問題的陳述。
• 18 可以做的推廣。
• 19 曲線的變分。最大值和最小值的分析定義。鄰近曲線。
• 20 一般問題的另一種陳述。
• 21 預設最大值或最小值存在的不可取性。
• 問題

第二章：曲線特殊變分示例。應用於懸鏈線。

• 22 總變分，在第一章問題 I 的情況下。
• 23 一束鄰近曲線。
• 24 一階變分。
• 25 積分 $I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right){\text{d}}x$
• 26 一階變分的消失。
• 27 應用於問題 I。
• 28 該問題的微分方程。
• 29 積分 $I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(y,y'){\text{d}}x$
• 30 解 26 節的微分方程。
• 31 兩條鄰近曲線不交的區域的概念。
• 32 懸鏈線。

第三章：懸鏈線的性質。

• 33 初步說明。
• 34 懸鏈線的一般方程。
• 35 其切線的幾何構造。
• 36 懸鏈線的幾何構造。
• 37 當給定懸鏈線上的一點以及該點處的切線方向時，懸鏈線是唯一確定的。
• 38 懸鏈線必須位於的極限。
• 39,40,41 可以透過兩個固定點繪製的懸鏈線的數量。
• 42 函式 $f_{1}(m)$ 和 $f_{2}(m)$.
• 43 對函式 $f_{1}(m)$ 的討論。
• 44 對函式 $f_{2}(m)$ 的討論。
• 45 對超越方程的根的近似幾何構造。
• 46,47,48 函式 $f_{1}(m)$ 和 $f_{2}(m)$ 的圖形表示。
• 49,50 出現的不同情況以及相應的懸鏈線數量。
• 50,51,52 每個情況中，過兩個固定點的切線的交點位置。
• 53,54 兩條懸鏈線的公切線。
• 55 具有相同引數且僅在一個點相交的懸鏈線。
• 56 林德洛夫定理。
• 57 同一定理的第二種證明。
• 58,59 討論旋轉極小曲面可能性的幾種情況。
• 60,61 應用於肥皂泡。

第四章: 函式 $F(x,y,x',y')$ 的性質。

• 62 函式 $F$ 定義為其引數的函式。
• 63,64,65,66,67 必要條件和充分條件。
• 68 函式 $F(x,y,x',y')$ 必須是關於 $x'$ 和 $y'$ 一次齊次函式。
• 69 函式 $F(x,y,x',y')$ 的可積性。
• 70 當 $x$ 和 $y$ 互為單值函式時，積分 $I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F\left(x,y,1,{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right){\text{d}}x$。
• 71 引入變數 $t$ 或 $s$。
• 72 函式 $F$ 的解析條件。
• 73 引入函式 $F_{1}$。

第五章: 用解析方法表示曲線變化。第一變分。

• 74 到目前為止使用的變化的一般形式。
• 75 函式 $\xi$ 和 $\eta$。它們的連續性。
• 76 相鄰曲線。第一變分。
• 77 函式 $G$、$G_{1}$ 和 $G_{2}$.
• 78 證明一個重要的 *引理*。
• 79 一階變分的消失和微分方程 $G=0$.
• 80 用 $F$ 和 $F_{1}$ 表示的 *曲率*。
• 81 沿法線和切線方向的成分 $w_{N}$ 和 $w_{T}$.
• 82 沿切線方向和法線方向的變分。
• 83 積分路徑的間斷點。不規則曲線。
• 84,85 說明上一篇文章的尤拉問題。
• 86 總結。

第 VI 章: 微分方程 $G=0$ 的解的形式。

• 87 微分方程 $G=0$ 的另一種形式。
• 88 函式 $F_{1}$ 的另一種形式。
• 89 用冪級數進行積分。
• 90 微分方程 $G=0$ 的解 $x=\phi (t,\alpha ,\beta )$，$y=\psi (t,\alpha ,\beta )$.
• 91,92 當 $F_{1}=0$ 在曲線的初始點。
• 93 當 $s$ 是自變數時，微分方程 $G=0$ 的形式。
• 94 該方程的解。
• 95 曲線在所討論的區間內不能有奇點。曲線任何點的座標用 $s$ 的冪級數表示。

第七章：去除一些限制，微分方程的積分$G=0$ 在第一章問題的應用。

• 96 曲線可以由有限個規則軌跡組成，而不是單個規則軌跡。
• 97 $F$ 對 $x'$ 和 $y'$ 的一階導數對於曲線 $G=0$ 以連續方式變化，即使此曲線的方向發生突然變化。
• 98 對上一節中給出的結果的解釋。
• 99 總結。
• 100 針對第一章問題 I 的微分方程的解。
• 101,102 不連續解。
• 103 方程 $G=0$ 的解，針對第九節問題 II。
• 104 這兩個固定點必須位於擺線的同一個環上。
• 105 經過兩點可以畫出一條且只有一條擺線環，它不包含尖點。
• 106 問題 III. 表面上的最短線問題。
• 107 用不同的方式得出的相同結果。
• 108 問題 IV. 提供最小阻力的旋轉面。
• 109,110 方程 $G=0$ 的解，針對第一章問題 IV。

第八章：第二變分；它的符號由函式 $F_{1}$ 的符號決定。

• 111 引入的替換的性質和存在性。
• 112 總變分。
• 113,114 函式 $F$ 的第二變分。
• 115 積分 $I$ 的第二變分。在確定最大值或最小值時第二變分的符號。
• 116 不連續性。
• 117 使第二變分的符號依賴於 $F_{1}$ 的符號。
• 118 所做變換的可接受性。微分方程 $J=0$ 。
• 119 第二變分的一種簡單形式。
• 120 二階線性微分方程的一般性質。
• 121 第二變分和函式 $F_{1}$ 。函式 $F{1}$ 不能改變符號，並且必須與 $0$ 和 $\infty$ 不同，以便存在最大值或最小值。

第九章：共軛點。

• 122 微分方程 $J=0$ 的第二變分。
• 123,124 方程 $G=0$ 和 $J=0$ 的解。第二變分源於第一變分。
• 125 $G=0$ 解中的常數變分。
• 126 微分方程 $J=0$ 的解 $u_{1}$ 和 $u_{2}$。
• 127 這些解彼此獨立。
• 128 函式 $\Theta (t,t')$。共軛點。
• 129 曲線上共軛點之間的相對位置。
• 130 比值 ${\frac {u_{1}}{u_{2}}}$ 的圖形表示。
• 131 總結。
• 132 曲線 $G=0$ 和 $\delta G=0$ 的交點。
• 133 當兩個共軛點為積分限時，以及當一對共軛點位於這些積分限之間時的第二變分。

第十章: 在某些特殊變分假設下推匯出的準則也足以建立迄今為止使用的公式。

• 134 所用方法是逐步排除法。
• 135 對三個已經推匯出的必要條件的總結。
• 136,137 特殊變分。總變分。
• 138 二次型的定理。
• 139 建立從第二變分推匯出的條件。
• 140,141,142,143,144 對第一章的前四個問題的應用。

第十一章: 關於提供積分最小值或最大值的曲線場的概念。共軛點的幾何意義。

• 145 場的概念。
• 146 屬於曲線族 $G=0$ 的相鄰曲線。
• 147 級數反演中的一個一般定理。
• 148 用 $k$ 的冪級數表示相鄰曲線的座標，其中 $k$ 是相鄰曲線和原始曲線初始方向之間的三角函式正切。
• 149 一條滿足方程 $G=0$ 的曲線，一旦知道它的初始點和該點處的切線方向，就可以確定。
• 150 對 $k$ 賦予的限制。場的概念的擴充套件。
• 151 兩條相鄰曲線的交點。共軛點。
• 152 一個點不能是它自身的共軛點。函式 $\Theta (t,t')$ 的導數在導致函式本身消失的點處不消失。

第十二章: 存在最大值或最小值的第四個也是最後一個條件，以及證明給出的條件是充分的。

• 153 場的概念從前一章繼續。
• 154 函式 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$.
• 155 函式 ${\mathcal {E}}$ 必須對曲線的每個點都有相同的符號。
• 156 上述條件的充分性。
• 157 函式 ${\mathcal {E}}$ 的另一種形式。
• 158 另一種形式。
• 159,160 函式 ${\mathcal {E}}$ 和 $F_{1}$ 的符號。
• 161 另一種證明如第 156 條所述條件的充分性。
• 162 函式 ${\mathcal {E}}$ 不能在給定場中的整個曲線上為零。
• 163 共軛點的包絡線。
• 164 曲線可以由有限數量的規則軌跡組成。
• 165 軌跡不規則的情況。
• 166 積分學中的推廣。
• 167,168,169,170,171,172 對已經考慮的四個問題的應用。
• 173 當 $F(x,y,x',y')$ 是 $x'$ 和 $y'$ 的有理函式，則積分不可能存在最大值或最小值。
• 174 一般總結。
• 175 擴充套件和推廣：除了在兩個變數域中確定第一類結構外，還可以要求在 $n$ 個量域中確定第一類結構。
• 176 當變數之間存在條件方程時。
• 177 當出現二階及更高階導數時。
• 178 變分法應用於確定更高階結構。極小曲面。

相對極值

第 XIII 章：問題陳述。必要條件的推導。

• 179 一般問題陳述。
• 180 存在替換，透過這些替換，一個積分保持不變，而另一個積分發生變化。特殊情況。
• 181 兩個變數的情況。出現的級數的收斂性。
• 182 引入的替換的性質。
• 183 形成僅取決於曲線性質的某些商。
• 184 泛化，其中幾個積分保持固定值。
• 185 兩個定積分的商用 $\lambda$ 表示，證明了 $\lambda$ 對整條曲線都有相同的常數值。
• 186 微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$.
• 187 第 97 條定理的推廣。
• 188 間斷等。
• 189 二階變分：第 135 條中提出的三個條件在這裡也是必要的。

第 XIV 章：等周問題。

• 190 問題陳述。
• 191 出現的積分的更簡單形式。
• 192 此問題的函式 $F_{1}$。
• 193 積分出現的微分方程。
• 194 一個直接的結果是施泰納定理：可以自由變化的曲線部分是等圓的圓弧。
• 195 如果存在一條曲線，它在給定周長下包圍了最大的表面積，那麼這條曲線就是圓形。
• 196 圓形具有此性質的允許性。

第 XV 章：限制變分。施泰納定理。

• 197 沿著曲線兩個不同部分的 197 種變分。
• 198 一點必須保持在固定曲線上的變分。
• 199 應用於特定情況。
• 200 曲線的一部分與固定曲線重合的變分。
• 201 涉及多個變數和多個積分的推廣。
• 202 當圓（第 195 節）無法內接於固定邊界時，等周問題。
• 203 施泰納提出的兩個問題的陳述。批評他關於變分法不足以證明這些問題的斷言。
• 204 魏爾斯特拉斯提出的兩個比施泰納更一般的問題，以及它們透過變分法得到的證明。
• 205 ${\mathcal {E}}$ 函式在固定邊界上的行為。
• 206 進一步討論有關此函式的內容。
• 207 當邊界曲線在被可變曲線逼近的點處突然改變方向時的情況。
• 208 曲線在一點與邊界相交然後離開的情況。
• 209 兩部分曲線的切線與固定曲線的切線形成相等的角。
• 210 等周問題的反向。
• 211 考慮問題：在平面上給定三個不在同一直線上的點。要求用一定長度的直線依次穿過它們，幷包圍儘可能大的表面積。
• 212 重疊曲線部分的表示式。
• 213 微分方程的解可以是直線或圓弧。
• 214 將問題簡化為極值理論中的一個問題。
• 215 問題的解決。

第十六章：確定給定長度和給定端點的曲線，其重心位於最低位置。

• 216 問題的陳述。
• 217 必要條件
• 218 相對於固定準線，可以透過兩個給定點且具有規定長度的懸鏈線的數量。
• 219 常數被唯一確定。

第十七章：充分條件。

• 220 問題的解決，無需使用二次變分。
• 221 ${\mathcal {E}}$ 函式。
• 222 由此函式帶來的後果。
• 223 關於最大化或最小化積分的曲線的場。
• 234 進一步討論包絡空間的性質。
• 225 位於第一個包絡空間內的包絡空間的性質。
• 226 ${\mathcal {E}}$ 條件的充分性。
• 227 假設，透過初始點和包絡空間中的任何其他點，只能繪製一條曲線，該曲線滿足微分方程（參見第 230 節）。
• 228 ${\mathcal {E}}$ 函式不能沿著位於包絡空間內的整個曲線為零（參見第 230 節）。
• 229 擴充套件所用積分的含義。

第十八章：證明上一章中假設的兩個定理。

• 230 本章證明的兩個定理是

1) 可以構造關於滿足問題微分方程的曲線的一個空間部分，以至於始終可以將該有限空間中的任何點與初始點用一條且僅一條同樣滿足微分方程的曲線連線起來。

2) 函式 ${\mathcal {E}}$ 不能在該空間部分內的整個曲線中消失。

• 231 空間中曲線的方程。座標用冪級數表示。
• 232 透過初始點和初始方向確定曲線。兩條曲線透過同一個初始點且初始方向相差給定小量的條件。
• 233 其中一條曲線穿過另一個曲線上的一個點附近的點的條件。由此條件產生的行列式 $D(t_{0},t)$。
• 234 與此行列式相關的共軛點。
• 235 端點彼此共軛的情況。
• 236 微分方程 $G=0$ 和行列式 $D(t_{0},t)$。
• 237 行列式 $D(t_{0},t)$ 的簡化。
• 238,239,240,241,242 行列式 $D(t_{0},t)$ 在消失時改變符號。
• 241 一個例外情況。
• 243 與初始點共軛的點是穿過初始點的相鄰曲線的交點的極限。
• 244 當在行列式 $D(t_{0},t)$ 中，量 $t_{0}$ 以連續的方式變化，與 $t_{0}$ 共軛的點也以連續的方式變化。
• 245,246,247,248 關於 *包含共軛點的曲線的一部分可以被改變，使得其中一個積分的總變化量可以是正的或負的，而另一個積分保持不變* 的定理證明。
• 249,250,251,252 函式 ${\mathcal {E}}$ 不能在上述空間部分內的整個曲線中消失。
• 253,254,255,256 對於 *等周問題* 的 ${\mathcal {E}}$ 函式。
• 256,257 對於 *重心最低的曲線* 的 ${\mathcal {E}}$ 函式。