變分法/前言

自從牛頓和伯努利兄弟時代起，人們就開始用一種叫做變分法的方法來解決問題。尤拉、拉格朗日、勒讓德及其追隨者將這些方法推廣並系統化；但隨之而來的是許多困難。雅可比及其同時代人解決了一些困難。然而，許多方法還需要擴充套件，而且必須彌補許多不足，使那些仍然模糊的地方變得清晰。分析學的進步歸功於魏爾斯特拉斯的天才，他使這個理論趨於完善。

我在柏林大學學習期間，有幸聆聽了赫爾曼·阿曼德斯·施瓦茨教授關於變分法的講座。這位傑出的數學家遵循其偉大的老師魏爾斯特拉斯的思想來講解，魏爾斯特拉斯已經將這個理論建立在一個堅實的基礎上，不受爭議，既簡單又比以前更全面。我還利用機會學習了魏爾斯特拉斯的講座，在數學協會中有這些講座的副本。

透過奧蒙德·斯通教授的慷慨，我對這個理論的摘要發表在數學年鑑第九卷、第十卷、第十一卷和第十二卷中，並且我一直在我的大學講座課程中定期講解變分法。

我推遲了這些講座的出版，希望能由負責編輯魏爾斯特拉斯全集的委員會來出版魏爾斯特拉斯的講座。然而，這種出版似乎遙遙無期，關於變分法的評註越來越多，因此我認為現在出版我的作品是明智之舉。

正如人們自然會預期的那樣，我遵循了魏爾斯特拉斯對該主題的處理方式；在許多地方，尤其是在本書的後半部分，我的講座不過是對他講座的重複。我從魏爾斯特拉斯的觀點出發，發展了自己的想法，並介紹了從其他作者那裡獲得的想法。因此，我沒有單獨介紹勒讓德和雅可比的作品作為對一般處理的介紹，而是在正文中適當地介紹了他們的發現，我相信透過這種方式，避免了學生在第一次閱讀該主題時可能遇到的困惑。我希望這種對基本原理的闡述能夠證明是引人入勝的。然後，讀者自然會渴望瞭解更多的相關文獻以及歷代數學家所作的各種改進。他將希望追隨他們所採用的方法，並尋求有關歷史發展的更多資訊。文中第 18 頁和第 19 頁給出了參考文獻，可以從中輕鬆獲取原始資料。

在六個問題中用例項說明了最大值或最小值存在的必要條件和充分條件，這些問題在理論中逐一展開。這些問題被選擇來代表該主題的不同方面，可能出現的特殊情況、不連續解等等。例如，在第一個問題中，發現一個不規則曲線可能提供最小值，而看似問題是由一個規則曲線（懸鏈線）滿足的。由此引出這樣一個事實，儘管我們的積分只有在規則曲線上傳遞時才有意義，但我們必須警惕不連續解，因此必須推匯出最大值或最小值存在的進一步條件。在本問題中考慮了不連續解的情況，以及當積分的極限是兩個共軛點時的情況。引入了牛頓的問題來說明一個必要條件不滿足，並且不存在滿足給定要求的曲線。

透過在第一章中對這些問題的表述，我們可以輕鬆地得出變分法的普遍問題陳述。

在一般討論中，注意力主要集中在兩個變數的領域，在這個領域中，只允許變數的一階導數。提出的推廣和擴充套件通常很容易執行。

從第十三章開始的第二部分內容論述了相對最大值和最小值理論，其中考慮了等周問題。這裡也強調了關於使給定積分最大化或最小化的曲線的域的存在，並以與第一部分中發現類似條件的方式推匯出並證明了必要條件和充分條件。

我在這些講座中的願望是提供對可以稱為魏爾斯特拉斯變分法理論的連貫和簡單的處理。省略了許多舊作家的有益定理。我感到遺憾的是，沒有足夠的空間來討論最近出現的一些研究。一本著作的第一版很少是作者希望以最終形式留下的作品。由於我期望在我的大學講座中不時進行增補和修改，因此我將樂於接受任何提出的建議。

最後，我要藉此機會真誠地感謝辛辛那提大學董事會慷慨資助出版本書。

我還要感謝大學出版社經理哈羅德·P·默裡先生對印刷工作的精心監督。

哈里斯·漢考克。

奧本酒店，

辛辛那提，俄亥俄州。

1904 年 4 月 15 日。