變分法/第十七章

第十七章：充分條件。

• 22 不使用二階變分求解問題。
• 221 ${\mathcal {E}}$-函式。
• 222 此函式導致的後果。
• 223 關於最大化或最小化積分的曲線的場。
• 224 關於包絡空間性質的進一步討論。
• 225 位於第一個包絡空間內的包絡空間的性質。
• 226 ${\mathcal {E}}$ 條件的充分性。
• 227 假設透過初始點和包絡空間中的任何其他點，只能繪製一條滿足微分方程的曲線（參見第 230 條）。
• 228 ${\mathcal {E}}$-函式不能在位於包絡空間內的整條曲線上為零（參見第 230 條）。
• 229 已使用積分的含義擴充套件。

第 220 條.
與自由變分情況類似（參見第 159 條），也有一種方法可以完全解決受限變分的一般問題，而無需使用二階變分。設透過積分變分找到微分方程。所求曲線必須滿足此方程。設正在考慮的曲線部分的限制條件為：對於其上的每個點，$F^{(0)}$ 和 $F^{(1)}$ 是 $x,y,x',y'$ 的正則函式，並且在該點上，函式 $F_{1}$ 不會變為零或無窮大。曲線部分包含奇點的案例將在每個特定問題的特殊調查中進行處理。

第 221 條.
設 1 是正在考慮的曲線部分的端點。透過此曲線上的任意點 2，繪製任何正則曲線，並在其上取一點 3，使 3 非常靠近 2，以至於我們可以透過一條滿足微分方程的曲線連線 0 和 3。線 0 3 2 1 是 0 1 的一個可能的變分。透過此變分，積分

$I^{(0)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(0)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

透過此變分所產生的變化將採用以下形式（第 205 條）

$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}^{(0)}(x_{2},y_{2},p_{2},q_{2},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})\sigma +\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

其中 $\sigma$ 是在正方向上取的 2 3 的長度；$p_{2},q_{2}$ 表示 02 在 2 處的方向餘弦；${\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2}$，$3'2$ 在 2 處的方向餘弦，$x_{2},y_{2}$ 是 2 的座標。

如果我們有兩個積分，如果變化使得兩個積分中的一個保持不變，如果 $I_{(1)}$，${\mathcal {E}}^{(1)}$，$G^{(1)}$ 表示第二個積分的對應量，那麼我們有

$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}^{(0)}\sigma +\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

$0={\mathcal {E}}^{(1)}\sigma +\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

因此，如果我們像往常一樣，用 ${\mathcal {E}}$ 表示量 ${\mathcal {(0)}}-\lambda {\mathcal {E}}^{(1)}$，那麼是

$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}\sigma +\int _{t_{0}}^{t_{1}}(G^{(0)}-\lambda G^{(1)}){\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

並且，如果曲線滿足微分方程$G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$，則可以得出

$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}\sigma +\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

從這個等式可以看出，函式${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 在曲線的整個部分上對於任何兩對值 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 都不可能有相反的符號，因為 $\Delta I^{(0)}$ 必須始終具有相同的符號。

第 222 條.
正如第 157 條一樣，我們可以將${\mathcal {E}}$ 寫成以下形式

${\mathcal {E}}(x,t,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=(q{\bar {p}}-p{\bar {q}})^{2}\int _{0}^{1}[F_{1}^{(0)}(x,y,p_{k},q_{k})-\lambda F_{1}^{(1)}(x,y,p_{k},q_{k})](1-k){\text{d}}k$

其中 $p_{k}=(1-k)p+k{\bar {p}}\qquad q_{k}=(1-k)q+k{\bar {q}}$

從前一節立刻可以得出

$F_{1}^{(0)}(x,y,p_{k},q_{k})-\lambda F_{1}^{(1)}(x,y,p_{k},q_{k})$

對於任何 $p,q$ 的值，都不可能具有不同符號的值。

然而，反之則不成立。 （參見第 160 節）。條件 ${\mathcal {E}}$ 不能改變其符號，就所有任意方向 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 而言，具有更進一步的意義。

對於沿著曲線 01 的垂直於該曲線平面的直立線。在這些垂線上取長度等於第二個積分的值，其中在每種情況下，積分從 0 到垂足。然後對於曲線 01，在空間中有一個對應曲線 $01'$，其中空間中的點用與平面中點相對應的索引標記。

因此，對於透過點 0 且位於該平面中的每條曲線，在空間中都有一條對應曲線。我們說，空間中的曲線滿足問題的微分方程，如果它的投影滿足微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$，雖然 $\lambda$ 對所有曲線不必具有相同的值。

第 223 節.
現在假設我們可以用以下方式將空間中的曲線 $01'$ 包絡起來：點 0 位於邊界上，點 1' 位於包絡空間內；此外，必須能夠從 0 畫出至少一條滿足微分方程的曲線到該包絡空間內的每個點；而且，當從 0 到包絡空間內的任何點 $P$ 畫出這樣的曲線，就必須能夠在 0 和 $P$ 的鄰近點之間畫出一條也滿足微分方程的曲線。該曲線必須儘可能靠近第一條曲線，並且相關的 $\lambda$ 之間的差異僅為任意小的量。

如果端點在包絡空間內描述一條連續曲線，那麼我們可以畫出一系列曲線，對應於端點的連續位置，這些曲線滿足微分方程。

第 224 節.
我們將在下一章中證明，如果曲線 01 要提供一個最大值或最小值，那麼必須存在一個如上所述的包絡空間。有些例外情況需要單獨處理。

為了使基本要點儘可能清晰，我們首先可以假設這樣一個空間的存在。我們上面看到，函式 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 沿整個曲線對於 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 的任意值不可能具有不同的符號。由此我們推斷，一般情況下 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 對於滿足微分方程的其他曲線，不會具有不同符號的值。這些曲線偏離原曲線位置的方向當然是在一定的限度內，相應的 $\lambda$ 與原曲線的 $\lambda$ 相差很小。如果積分

$\int _{0}^{1}[F_{1}^{(0)}(x,y,p_{k},q_{k})-\lambda F_{1}^{(1)}(x,y,p_{k},q_{k})](1-k){\text{d}}k$

沿第一條曲線處處不為零，則情況肯定屬實。

除了上面積分變為零的情況外，我們還有一個必要的條件，即必須能用一個曲面的部分包圍曲線 01 的一部分，在該曲面的邊界上點 0 位於，這樣在該曲面部分內，函式 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 沿透過 0 的任何曲線不會具有不同符號的值，這些曲線位於所討論的曲面部分內，假設它們都滿足微分方程，並且 $\lambda$ 的值差對於所有曲線來說都足夠小。（參見第 156 節）。

第 225 條.
同樣的考慮也適用於點 ${\bar {0}}$，它位於同一條曲線 01 上點 0 的前面，因此 01 完全位於相應的曲面部分內，我們最初包圍的空間（包括點 1'）可以這樣形成，使其完全位於由該第二個曲面包圍的空間內。

假設上面積分的積分現在從點 ${\bar {0}}$ 開始，而不是像以前一樣從點 0 開始。保留我們以前使用的符號，令點 0' 在空間中對應於點 0，並用一條規則曲線連線 0' 和 1'，這條曲線完全位於包圍的空間內。

這條曲線是完全任意的，並且服從這樣的條件：如果 2 是任何點 2' 在 $xy$ 平面的投影，則和

$I_{{\bar {0}}0}^{(1)}+{\bar {I}}_{02}^{(1)}$

等於將點 2' 投影到垂直線上的長度，其中我們使用符號 $I$ 來表示沿滿足微分方程的確定曲線的積分，而 ${\bar {I}}$ 表示沿任意曲線的積分，其中索引表示積分的極限和方向。可以從 ${\bar {0}}$ 畫出滿足微分方程的曲線到包絡空間中的每個點 2'，並且這條曲線除了點 ${\bar {0}}$ 之外，都位於包絡的空間部分內。這些曲線必須具有以下性質，在假設成立的情況下，這始終是可能的：從 ${\bar {0}}1'$ 開始，後續曲線始終是前面曲線的變體。

第 226 條.
我們將任意曲線的投影點座標視為從點 1 開始計算的弧長函式，並考慮和 $I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}$.

根據空間中點之間的固定關係，無論點 2 在曲線 021 上的何處，我們始終有

$I_{{\bar {0}}2}^{(1)}+{\bar {I}}_{{\bar {2}}1}^{(1)}=I_{{\bar {0}}01}^{(1)}$

因此，積分 $I^{(1)}$ 沒有變化。

設部分 1 2 的長度增加 $\sigma$。由此導致的 $I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}$ 的變化等於

${\mathcal {E}}(x_{2},y_{2},p_{2},q_{2},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

其中 $p_{2},q_{2}$ 是 ${\bar {0}}2$ 在 $2,{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2}$ 的方向餘弦，1 2 在 2 處的方向餘弦。再次設弧長 1 2 減少 $\sigma$。由此，$I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}$ 所經歷的變化等於

$-{\mathcal {E}}(x_{2},y_{2},p_{2},q_{2},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

由於 $\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}$ 隨著 $\sigma$ 變得無限小，量 ${\mathcal {E}}(x_{2},y_{2},p_{2},q_{2},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})$ 表示和 $I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}$ 的微商商，該和被視為弧長 12 的函式（參見第 161 條）。

如果點 2 與 1 重合，則 $I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}=I_{01}$，如果 2 與 0 重合，我們有

$I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}=I_{{\bar {0}}0}+{\bar {I}}_{01}$

因此得出 

1) 如果 ${\mathcal {E}}$ 沿 $021$ 不是正的，且不是處處為零，則

${\displaystyle }$

2) 如果 ${\mathcal {E}}$ 沿 $021$ 不是負的，且不是處處為零，則

${\displaystyle }$

第 227 條.
在下章中將證明，我們可以假設包裹 ${\bar {0}}01$ 的曲面帶非常窄，使得點 ${\bar {0}}$ 可以與該包裹空間內的任何其他點透過一條且僅一條曲線連線，該曲線滿足微分方程。當然，該曲線必須完全位於包裹空間內。假設如此，則積分 $I_{01}$ 等同於 $I_{{\bar {0}}01}$，此外，積分 $I_{{\bar {0}}0}$ 等同於 $I_{{\bar {0}}01}$ 的一部分，該部分取自曲線 ${\bar {0}}0$。

因此我們有

在情況 1) 中，$I_{01}>{\bar {I}}_{01}$；

在情況 2) 中，$I_{01}<{\bar {I}}_{01}$。

因此，除了函式 ${\mathcal {E}}$ 在整條曲線上都為零的情況外，滿足微分方程的曲線的最大值和最小值性質都得到了證明。

第 228 條.
我們將證明，對於在構造的域中積分

$\int _{0}^{1}(F_{1}^{(0)}-\lambda F_{1}^{(1)})(1-k){\text{d}}k$

如果 ${\mathcal {E}}$ 不為零，則函式 ${\mathcal {E}}$ 在 0 到 1 之間的整條曲線上不能為零；或者，換句話說，在整條曲線上都不可能滿足：

$p{\bar {q}}-{\bar {p}}q=0$

在證明了這個定理對於一條正則曲線成立後，我們可以將它推廣到由正則部分組成的曲線；因為，正如已經多次證明的那樣，考慮的曲線上方向的突然變化對已經得出的結論沒有影響。

最後，對於任意可以在 0 到 1 之間繪製的曲線，並且足夠靠近滿足微分方程的曲線，同樣也是成立的，但這僅僅是在這兩個積分對於這些曲線有意義的情況下成立。

第 229 條.
與第 165 條中所示類似，積分的意義可以擴充套件，如果將這些積分替換為在考慮的曲線上的一系列點連線的一系列正則曲線部分上取的積分的總和。然後需要證明，當這些總和透過增加點數和減少這些點之間的距離而接近有限的固定值時，這些極限值同時也是原始積分的值。當然，這樣確定的第二個積分 $I^{(1)}$ 的極限值必須與為它規定的值相同。

如果在任意曲線上取的積分在這個意義上具有確定的值，那麼很明顯，例如在最大值的情況下，在該曲線上取的積分 $I^{(0)}$ 不能大於在滿足微分方程的曲線上取的積分。因為我們可以用正則曲線部分形成一條曲線，它的積分與積分 $I^{(0)}$ 的差異儘可能小，因此也大於在滿足微分方程的曲線上取的積分。根據假設，這是不可能的。因此，該積分必須小於這個積分，我們還可以透過以下方式證明：設 2 是任意曲線上的一個點，它足夠靠近 01，那麼我們可以畫出兩條滿足微分方程的曲線部分，一條從 0 到 2，另一條從 2 到 1，對應的空間曲線分別為 0' 2' 和 2' 1'。我們可以在 0' 2' 和 2' 1' 周圍限制一個空間部分，與在 0' 1' 周圍所做的類似，並具有類似的性質。如果圍繞 0' 1' 的空間部分取的足夠小，那麼任意曲線將位於包圍 0' 2' 和 2' 1' 的空間部分內。

因此，在該曲線上取的積分根據上面的內容，不大於在滿足微分方程的兩條曲線部分上取的積分；但這是小於 $I_{01}$ 的，因此任意曲線的積分也小於 $I_{01}$。

我們必須在此指出一個默默做出的限制：我們以這樣的方式追蹤曲線 0 2 1，使得對應的空間曲線位於上面定義的空間部分內。現在，在以 01 為中心的任意小的區域內，可能存在曲線 02 1，使得對應的空間曲線不落在限制的空間部分內，對於這種變化，最大值和最小值性質並不能透過我們的結論得出。我們的證明僅涉及在相應的點處，當座標變化時，第二個積分的值的變化同時變得無限小的變化。