變分法/第五章

第五章：用解析式表示曲線變分。一階變分。

• 74 迄今為止使用的變分的一般形式。
• 75 函式 $\xi$ 和 $\eta$。它們的連續性。
• 76 相鄰曲線。一階變分。
• 77 函式 $G$，$G_{1}$ 和 $G_{2}$。
• 78 一個重要引理的證明。
• 79 一階變分的消失和微分方程 $G=0$。
• 80 用 $F$ 和 $F_{1}$ 表示的曲率。
• 81 沿法線和切線方向的成分 $w_{N}$ 和 $w_{T}$。
• 82 沿切線方向和沿法線方向的變分。
• 83 積分路徑中的間斷點。不規則曲線。
• 84，85 闡釋上一篇文章的尤拉問題。
• 86 總結。

第 74 條.
在第二章中，我們考慮了特殊變分的例子。所採用的方法只考慮了曲線在一個方向上的位移，即平行於 $X$-軸的方向，因此只適用於比較透過這種變形從彼此獲得的曲線上的積分。

我們現在將對所用變分給出更一般的形式，並將尋求解決第一章中提出的變分一般問題的有力方法。在推匯出必要的條件之後，我們將繼續討論充分條件。為了發展積分出現最大值或最小值的條件

$1)\qquad I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$,

有必要更深入地研究曲線變分的概念，並將這個概念解析地確定下來。

透過用點代替曲線上的每個點$x$，$y$（假設是正則的）另一個點$x+\xi$，$y+\eta$，我們將第一條曲線轉換為另一條正則曲線。如果我們將數量$\xi$和$\eta$做得足夠小，它們就像$x$和$y$，我們認為它們是$t$的單值連續函式。

第75條.
以下是一種實現此結果的方法。令$\xi$和$\eta$是$t$以及一個量$k$的連續函式。我們進一步假設當$k=0$時，$\xi$和${\displaystyle }$\eta 始終為零，對於任何$t$的值，例如

$\xi =ku(t)~;~\eta =kv(t)$,

$u$和$v$是$t$的有限連續函式。

函式 $u$ 和 $v$，以及因此的 $\xi$ 和 $\eta$，都受到進一步條件的限制。一般來說，需要在兩個給定點之間構建一條曲線，這兩個點可以先被視為固定點。之後可以引入其可變性的條件。因此，我們只需要考慮 $t$ 的那些值，使得 $\xi$，$\eta$，以及因此的 $u$，$v$ 在邊界上消失。

如果對於 $x$，$y$ 我們寫成 $x+\xi$，$y+\eta$，那麼對於 $x'$，$y'$ 我們必須寫成 $x'+\xi '$，$y'+\eta '$。此外，函式 $F(x+\xi ,y+\eta ,x'+\xi ',y'+\eta ')$ 必須以 $\xi$，$\eta$，$\xi '$ 和 $\eta '$ 的冪展開。為了保證這個級數收斂，必須保證 $\xi$，$\eta$，$\xi '$ 和 $\eta '$ 具有有限的值。

現在，如果我們寫

$\xi =k\sin {\frac {t}{k^{n}}}~;~\eta =k\cos {\frac {t}{k^{n}}}$,

那麼我們有

${\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}}=k^{1-n}\cos {\frac {t}{k^{n}}}~;~{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}=-k^{1-n}\sin {\frac {t}{k^{n}}}$,

因此，當 $\xi$ 和 $\eta$ 在 $k$ 無限小的值時具有無限小的值，則量 ${\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}}$，${\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}$ 在 $n-1$ 之間波動 $+1$ 和 $-1$，並且在 $n>1$ 時變為無窮大。因此，我們將只考慮 $u$ 和 $v$ 僅是 $t$ 的函式的這種特殊變化，並且其導數在極限 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之間是有限的並且連續的。因此，我們在很大程度上限制了曲線無限小變化的任意性，從而排除了許多相鄰曲線。然而，在所有可能的相鄰曲線中也存在滿足上述條件的曲線，我們將首先用這些曲線建立必要條件，然後證明這樣建立的必要條件對於建立積分最大值或最小值的唯一性也是充分的。(參見第 134 節等)

第 76 條.
如果我們進行以下替換，我們將不再只有一個相鄰曲線，而是有一整束這樣的曲線

$x\rightarrow x+\epsilon \xi$, $y\rightarrow y+\epsilon \eta$, $x'\rightarrow x'+\epsilon \xi '$, $y'\rightarrow y'+\epsilon \eta '$,

並設 $\epsilon$ 為一個與 $F(x,y,x',y')$ 中變數無關的量，在 $+1$ 和 $-1$ 之間變化。

由此在上一篇文章的積分中引入的總變化為

$I+\Delta I=\in _{t_{0}}^{t_{1}}F(x+\epsilon \xi ,y+\epsilon \eta ,x'+\epsilon \xi ',y'+\epsilon \eta ')~{\text{d}}t$,

由麥克勞林定理展開，得

$=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F+\epsilon \left[{\frac {\partial F}{\partial x}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi '+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta '\right]+\epsilon ^{2}(\cdots )\right)~{\text{d}}t$.

此外（參見第 25 條）

$\Delta I=\epsilon \delta I+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+\cdots$;

因此，比較 $\epsilon$ 的係數，

$2)\qquad \delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi '+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta '\right]~{\text{d}}t$.

但是

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\partial F}{\partial x'}}{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}}~{\text{d}}t=\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi \right]_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\xi {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)~{\text{d}}t$;

所以 2) 變為

$2')\qquad \delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)\right]\xi +\left[{\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right]\eta \right)~{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{t_{0}}^{t_{1}}$;

或者

$3)\qquad \delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(G_{1}\xi +G_{2}\eta \right)~{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{t_{0}}^{t_{1}}$,

其中

$G_{1}={\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)$, $G_{2}={\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)$.

第 77 條.
由於假設 $x'$，$y'$，${\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}}$，${\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}$ 隨 $t$ 連續變化 [即在所考慮的曲線部分，曲線方向沒有突然變化]，積分 $I$ 的第一變分可以以一種顯著的方式變換。

我們有

$>G_{1}={\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)$

以及（第 72 條）

$F(x,y,x',y')=x'{\frac {\partial F}{\partial x'}}+y'{\frac {\partial F}{\partial y'}}$.

因此

${\frac {\partial F}{\partial x}}=x'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial x}}+y'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x}}$;

對 ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 關於 $t$ 求導，我們有

$-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)=-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}{\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x'}}{\frac {{\text{d}}y'}{{\text{d}}t}}$.

因此，

$G_{1}=y'\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}\right)-\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}{\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x'}}{\frac {{\text{d}}y'}{{\text{d}}t}}\right)$.

寫成 ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}=y'^{2}F_{1}$，（第 73 條），以及 ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x'}}=-x'y'F_{1}$，並定義 $G$ 為方程

$G={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}-F_{1}\left(y'{\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}-x'{\frac {{\text{d}}y'}{{\text{d}}t}}\right)$,

可以看到

$G_{1}=y'G$.

以類似的方式，可以證明

$G_{2}=-x'G$.

第 7 條.
引理。如果 $\phi (t)$ 和 $\psi (t)$ 是兩個在 $t$ 的限制範圍 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之間連續的函式，並且如果積分

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t$

始終為零，無論以何種方式選擇 $\psi (t)$，則必然 $\phi (t)$ 必須對 $t$ 的所有值在 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之間消失。

以下證明，由 Schwarz 教授給出，是對 Heine 方法的一種幾何解釋。

假設函式 $\phi (t)$ 在位於 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之間的點 $t=t'$ 處具有有限值。 那麼由於 $\phi (t)$ 的連續性，我們可以在 $t'-d\ldots t'+d$ 內找到一個區間，其中 $\phi (t)$ 也具有有限值。

我們將積分寫成以下形式

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t=\int _{t_{0}}^{t'-d}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t+\int _{t'-d}^{t'+d}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t+\int _{t'+d}^{t_{1}}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t$.

右手邊第二個積分可以寫成

$M=\int _{t'-d}^{t'+d}\psi (t)~{\text{d}}t$,

其中 $M$ 是 $\phi (t)$ 在區間 $t'-d\ldots t'+d$ 內的 $t$ 值的平均值。

我們將證明，可以確定一個函式 $\psi (t)$，它將使該積分變為正值，並且大於上述表示式中第一個積分和第三個積分的總和，同時 $\psi (t_{0})=psi(t_{1})=0$。

讓我們建立方程

$\left(t-1+{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)y=0$,

它表示拋物線 $y=1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}$ 和 $X$ 軸。

接下來考慮方程

$\left(t-1+{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)y=\epsilon ^{2}$,

其中 $\epsilon$ 是一個很小的量。透過取 $\epsilon$ 足夠小，這條曲線可以無限接近拋物線和 $X$ 軸。

對方程求解 $y$，我們得到兩個根（兩個分支）

$y={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}}$.

分支

$y={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}}$

關於 $Y$-軸對稱，且對於 $x$ 的值，只要滿足 $-d\leq x\leq +d$，曲線上任意一點的縱座標都大於拋物線相應點的縱座標。

對於拋物線 $y=1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}$，積分

$\int _{-d}^{+d}y~{\text{d}}x={\frac {4}{3}}d$

因此，對於該曲線，我們必須有

$\int _{-d}^{+d}\left[frac{1}{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}\right]~{\text{d}}x>{\frac {4}{3}}d$;

對於 $|x|=d$，我們有 $y=\epsilon$；從不等式

$y=-frac{1}{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}<-frac{1}{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon }}$,

對於 $|x|<d$，$y$ 為正且 $<\epsilon$。對於下支，$y$ 為負，曲線

$y=-frac{1}{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)-{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}$

如圖形所示，它沿著拋物線延伸至無窮遠。然而，我們使用的是上支，因為當 $x$ 超過 $d$ 時，$y$ 小於 $\epsilon$，無論是在原點的哪一側。

不要使用最後一個寫的積分，而是使用具有相同值的積分

$\int _{t'-d}^{t'+d}\left({\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {(t-t')^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {(t-t')^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}\right)~{\text{d}}t>{\frac {4}{3}}d$.

寫成

$\chi (t)={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {(t-t')^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {(t-t')^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}$,

我們有

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t)\chi (t)~{\text{d}}t=\int _{t_{0}}^{t'-d}\phi (t)\chi (t)~{\text{d}}t+\int _{t'-d}^{t'+d}\phi (t)\chi (t)~{\text{d}}t+\int _{t'+d}^{t_{1}}\phi (t)\chi (t)~{\text{d}}t$

$=M'\int _{t_{0}}^{t'-d}\chi (t)~{\text{d}}t+M\int _{t'-d}^{t'+d}\chi (t)~{\text{d}}t+M''\int _{t'+d}^{t_{1}}\chi (t)~{\text{d}}t$

$=M'[<\epsilon ](t'-d-t_{0})+M\left[>{\frac {4}{3}}d\right]+M''[<\epsilon ](t_{1}-t'-d)$,

其中 $M'$、$M$ 和 $M''$ 分別是 $\phi (t)$ 在各自區間上的平均值，其中 $[<\epsilon ]$ 表示括號內的量小於 $\epsilon$.

可以看出，透過取足夠小的 $\epsilon$，使得積分 $\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t)\chi (t)~{\text{d}}t$ 的符號由 $M~{\frac {4}{3}}d$ 決定，因此該積分不等於零。

用函式 $\chi (t)$ 代替，寫成

$\phi (t)=\left({\frac {t-t_{0}}{t'-t_{0}}}\right)^{m}\left({\frac {t_{1}-t}{t_{1}-t'}}\right)^{n}\chi (t)$,

其中 $m$ 和 $n$ 是正整數。

我們看到 $\phi (t_{0})=0=\phi (t_{1})$，並且如上所述，它遵循

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t\neq 0$.

因此，假設 $\phi (t)\neq 0$ 對於我們積分的曲線上的一個點，它遵循一個函式 $\psi (t)$ 可以被找到，它導致上面的積分不等於零。

但是由於這個積分應該對於所有函式 $\psi (t)$ 為零，因此我們必須有 $\phi (t)=0$ 對於 $t$ 的所有值，在 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之間。

第七十九條.
在表示式中

$\Delta I=\epsilon \delta I+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+\cdots$,

除非 <math\delta I</math> 和 $\epsilon$ 始終保持相同的符號，有必要使 $\delta I$ 為零，以便 $\Delta I$ 連續為負或連續為正；即，為了使積分 $I$ 為最大值或最小值（參見第 26 條）。

將$G_{1}$ 和$G_{2}$ 的值用$G$ 表示，根據第 77 條，在$\delta I$ 的表示式中，第 76 條，我們有

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G(t'\xi -x'\eta )~{\text{d}}t+\left[\xi {\frac {\partial F}{\partial x'}}+\eta {\frac {\partial F}{\partial y'}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

如果我們假設點$P_{0}$ 和$P_{1}$ 是固定的，因此$\xi =0=\eta$，那麼邊界項就會消失。此外，由於$y'\xi -x'\eta$ 是$t$ 的任意連續函式，根據上面的引理，為了使$\delta t$ 為零，$G=0$ 對於區間$t_{0}\ldots t_{0}$ 內的曲線上的每個點都成立。$G$ 不能在曲線上的孤立點具有不同於零的有限值，因為為了使積分有意義，曲線的這一部分必須是連續的。

二階微分方程$G=0$ 是$I$ 取最大值或最小值的必要條件，如果這樣的曲線存在，它將提供所需的曲線。 我們注意到，它與變化的方式無關，因為量$\xi$ 和$\eta$ 沒有出現在其中。

從關係式（見第 77 條）

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(G_{1}\xi +G_{2}\eta )~{\text{d}}t=0$,

由此可知

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}G_{1}\xi ~{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}G_{2}\eta ~{\text{d}}t=0$.

在所有可能的變分中，有一些變分滿足 $\eta =0$，因此

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}G_{1}\xi ~{\text{d}}t=0$.

與上面類似，我們有

$G_{1}=0$,

類似地，我們有

$G_{2}=0$.

此外，如果我們將 $y'G=G_{1}$ 和 $-x'G=G_{2}$ 分別乘以 $v'$ 和 $-x'$，然後相加，得到

$(y'^{2}+x'^{2})G=0$,

因為 $x'$ 和 $y'$ 不能同時消失，因此 $G=0$。因此，方程 $G_{1}=0$、$G_{2}=0$ 以及 $G=0$ 是互相推導的結果。

方程 $G_{1}=0=G_{2}$ 通常比 $G=0$ 更方便；特別是當函式 $F$ 不顯式包含兩個量 $x$ 和 $y$ 之一。例如，如果 $x$ 不存在，則 ${\frac {\partial F}{\partial x}}=0$，從

$G_{1}={\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial F}{\partial x'}}=0$,

得出 ${\frac {\partial F}{\partial x'}}=$ 常數。

第 80 條.
曲線上任意一點的曲率表示為

$\kappa ={\frac {1}{\rho }}={\frac {x'y''-y'x''}{[x'^{2}y'^{2}]^{3/2}}}$,

並且由於方程

$G=0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}-F(x'y''-x''y')$,

我們有

${\frac {1}{\rho }}={\frac {{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}}{[x'^{2}+y'^{2}]^{3/2}F_{1}}}$,

該表示式取決於 $x$、$y$、$x'$、$y'$，而與更高階導數無關。

因此，透過方程 $G=0$，可以表達出曲線在某一點的曲率與該點座標以及切線方向之間的明確關係。

第 81 條.
設曲線上的點 $P$ 透過一個變分變換到點 $P'$，並設位移 $pp'$ 由 $v$ 表示；此外，設該位移在 $x$ 和 $y$ 方向上的分量分別為 $\xi$ 和 $\eta$，而 $w_{N}$ 和 $w_{T}$ 表示該位移在點 $P$ 處曲線法線和切線方向上的分量。

設 $\lambda$ 表示這兩個方向之間的夾角，並設法線方向的餘弦為

${\frac {{\text{d}}x}{\sqrt {\left({\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right)^{2}}}}$ 和 ${\frac {{\text{d}}y}{\sqrt {\left({\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right)^{2}}}}$；也就是說，透過 ${\frac {x'}{s'}}$ 和 ${\frac {y'}{s'}}$.

然後從解析幾何，

$w_{T}=\xi \cos(\lambda )+\eta \sin(\lambda )={\frac {x'\xi +y'\eta }{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$,

因此

$w_{N}=\eta \cos(\lambda )-\xi \sin(\lambda )={\frac {x'\eta -y'\xi }{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$;

和

$w_{T}^{2}+w_{N}^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}$.

這些表示式代入 $\delta I$ 的公式（第 79 條）得到

$\delta I=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}w_{N}G~{\text{d}}s+\left[{\frac {Fw_{T}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}+{\frac {x'{\frac {\partial F}{\partial y'}}-y'{\frac {\partial F}{\partial x'}}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

由此可見，只有在積分符號下才會有方向變化的法向分量。

第 82 條.
透過以下公式，我們將證明切線方向的變化只會產生一階變分中的不含積分符號的項。

與第 76 條一樣，寫出

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi '+{\frac {\partial F}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta '\right)~{\text{d}}t$,

然後，將該表示式中的$\xi =v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}$，$\eta =v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}$代入，我們得到

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[v\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right)+{\frac {\partial F}{\partial x'}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\right)+{\frac {\partial F}{\partial y'}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right)\right]~{\text{d}}t$.

注意

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\partial F}{\partial x'}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\right)~{\text{d}}t=\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)~{\text{d}}t$,

可以看到

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)\right]+v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\left[{\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right]\right)~{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}+{\frac {\partial F}{\partial y'}}v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$

$=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G(y'\xi -x'\eta )~{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}+{\frac {\partial F}{\partial y'}}v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

但是

$t'\xi -x'\eta =y'v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}-x'v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}={\frac {v}{{\text{d}}s}}\left[y'{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}-x'{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right]{\text{d}}t\equiv 0$,

因此，積分符號下的所有項都消失了，只剩下

$\delta I=\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}+{\frac {\partial F}{\partial y'}}v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

因此，如果我們透過以下替換對曲線進行滑動

$x\rightarrow x+\epsilon \xi \qquad y\rightarrow y+\epsilon \eta$,

並將此滑動分解為兩個分量，其中一個平行於切線方向，另一個平行於法線方向，則沿切線方向滑動的結果僅體現在與極限有關的項中，所有這些項都是積分符號下的精確微分，而沿法線方向滑動的影響則體現在上一篇文章的公式中。

第 83 條.
第一個變分的表示式是在假設積分元素對於積分路徑的每個點都具有單值意義的情況下得到的。如果所涉及的路徑包含間斷點，則可以將其分解為有限個規則曲線的片段，並且沿著每個片段 $\delta I$ 將具有與上一篇文章類似的意義。因此，假設所需的曲線，它將提供積分的最大值或最小值，在其整個軌跡中都是規則的，或者至少它由規則的曲線片段組成。在後一種情況下，我們首先將自己限制在考慮這樣一個片段。在這個曲線片段內，不僅 $x$，$y$ 而且 $x'$，$y'$ 將是 $t$ 的單值函式。這個假設已經隱含地包含在假設可以將 $\Delta I$ 用泰勒定理展開；因為否則，$F$ 對 $x'$ 和 $y'$ 的導數將無法形成，而這正是需要展開的曲線。

之所以做出這些假設，是因為否則曲線將無法成為數學研究的物件，因為沒有表示不規則曲線的一般性的方法。因此，如果一個人滿足於微分和積分規則，他必須將這些考慮擴充套件到只有這些規則可以應用的函式，即具有上述性質的函式。在幾何和力學中，有許多問題無法做出上述假設。

第 84 條.
尤拉提出的以下問題說明了剛才所說的內容

要求連線兩個固定點的曲線，使得曲線、其漸伸線以及端點處曲率半徑之間的面積為最小。

如果存在最小值，則該問題的解析解是擺線的弧。我們現在將證明情況並非如此。因為用一條直線連線兩個固定點 $A$ 和 $B$，將其分成 $n$ 等份，並交替繪製

在直線 $n$ 上方和下方，以直線的 $n$ 個部分為直徑的半圓。

每個半圓（即要最小化的每個曲線片段）的所有曲率半徑都相交於直線 $AB$ 上，很明顯

${\frac {n}{2}}\pi \left({\frac {AB}{2n}}\right)^{2}={\frac {\pi {\overline {AB}}^{2}}{8n}}$

必須是最小值。

如果我們增加數字 $n$ 足夠大，我們可以使上面的表示式變得任意小；在極限 $n=\infty$ 時，曲線將趨向於成為直線 $AB$。由此可見，不存在最小表面積。

第 85 條.
如果我們不取直線 $AB$，而是取過這兩點的擺線的弧線，然後畫出一個小的擺線系統，它們的尖點位於大擺線上。(參見 Todhunter, 變分法研究, p. 252。) 大擺線沒有給出最小值的原因是，這樣的最小值是由一條不規則曲線提供的，而這條不規則曲線並不包括在我們的分析研究中。 這表明我們對曲線規律性的假設是不恰當的，並導致了一些不正確的結果。

但是，儘管滿足給定命題的曲線可能是 不規則 的可能性並不小，我們還是必須假設曲線是規則的，因為我們只有透過將研究限制在這些規則曲線上來獲得分析微分方程，而最一般的函數理論表明，反過來，這些微分方程定義了在整個範圍內都具有現有導數的分析函式。

第 86 條.
為了避免任何誤解，我們重複我們在上一章已經說過的內容：並不是說問題本身的性質能夠讓我們 *先驗* 地推斷出所求曲線必須是規則的。有了這些假設，我們確定了我們的想法並得出結論。在解決問題之後，我們還需要額外證明推匯出的曲線具有所有所需的屬性，並且它是唯一具有這些屬性的曲線。

正如我們在上面關於逼近問題（或極限過渡）的特殊問題中所展示的那樣，所有此類問題的主要困難在於證明找到的規則曲線（實際上是根據必要條件找到的）也同時滿足充分條件，因此滿足問題的 *所有* 要求。